D34定积分的应用.ppt

1/26,第四节,定积分的应用,一、建立积分表达式的微元法,二、定积分在几何中的应用举例,第六章,三、定积分在物理中的应用举例,2/26,（2）已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积(微元)元素为,因此所求立体体积为,上连续,这个是重点，还有微元法是重点,3/26,一、建立积分表达式的微元法,1)所求量是区间a,b上的非均匀连续分布的量,2)对区间a,b具有可加性,即分布在a,b,上的总量等于分布在各个子区间上的局部量之和。,1.具备哪些特征的量能用定积分来表达？,4/26,“分,匀,合,精”,2.如何建立所求量的积分表达式？,可将上述步骤简化为两步：,第一步（分，匀）：,第二步（合，精）：,5/26,(一)任意分割区间a,b为若干子区间，任取一个子区间x,x+dx，求Q在该区间上局部量Q的近似值,所确定的在区间a,b上非均匀连续分布的量，并且对区间具有可加性。为简单计，省略各子区间的下标k，记第k个子区间为x,x+dx.由于f为连续函数，因而可积，可取子区间的左端点x为k。这样，建立所求量Q的积分表达式的步骤就可归纳为如下：,上述简化具有一般性.设Q为由,(二)以为被积式，在a,b上做积分即得总量Q的精确值,积分微元,微元法,6/26,把分布在区间a,x上的量Q记作Q(x)，可知,关键步骤：求局部量Q的近似值？,由于f在a,b上连续，根据微积分第一基本定理，函数Q(x)的微分为,而Q就是Q(x)在x,x+dx上的改变量，所以Q所需的近似值就是上面Q(x)的微分。根据改变量Q与微分的关系，只要能找到与dx成线性关系并且与Q之差为dx高阶无穷小的量，那么它就是Q所需要的近似值。,7/26,在实际应用中，通过在子区间x,x+dx上以“匀”代“非匀”或者把子区间x,x+dx近似看成一点，用乘法所求得的近似值往往就符合上述要求，可以作为Q所需的近似值，即为所寻求的积分微元,8/26,（1）平面图形的面积,1.直角坐标情形,设曲线,与直线,及x轴所围曲,则,边梯形面积为A,右下图所示图形面积为,二、定积分在几何中的应用举例,9/26,例1求由抛物线所围成的平面图形的面积A.,解:由,得交点,10/26,例2.计算两条抛物线,在第一象限所围,图形的面积.,解:由,得交点,11/26,例3.计算抛物线,与直线,的面积.,解:由,得交点,所围图形,为简便计算,选取y作积分变量,则有,12/26,例4.求椭圆,解:利用对称性,所围图形的面积.,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当a=b时得圆面积公式,13/26,2.极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积.,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,14/26,对应从0变,例5.计算阿基米德螺线,解:,到2所围图形面积.,15/26,心形线,例6.计算心形线,所围图形的,面积.,解:,(利用对称性),心形线,16/26,（2）已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积(微元)元素为,因此所求立体体积为,上连续,17/26,特别,当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,当考虑连续曲线段,绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有,18/26,例7两个半径为R的圆柱体中心轴垂直相交，求它们公共部分的体积V.,解:由对称性，我们只画出该图形的1/8并建立坐标系如图，,图中正方形截面面积：,体积微元：,公共部分的体积,19/26,例8一个平面图形由双曲线xy=a(a0)与直线x=a、x=2a及x轴围成，计算该图形绕下列直线旋转一周所产生的旋转体体积：（1）x轴（2）直线y=1(3)y轴,解：,（1）分割区间a,2a,任取子区间x,x+dx.过点x,x+dx分别作垂直于x轴的平面，则该立体被这两个平面截出一个“薄片”，其上下底面近似相等，所以可以近似地看成一个圆柱体。其底面积为,20/26,例8一个平面图形由双曲线xy=a(a0)与直线x=a、x=2a及x轴围成，计算该图形绕下列直线旋转一周所产生的旋转体体积：（1）x轴（2）直线y=1(3)y轴,高为dx，于是体积微元,所求旋转体体积为,21/26,（2）过x,x+dx且垂直于x轴的两平面截出该立体的一个“薄片”，其上下底面均为圆环，面积看做近似相等，所以该“薄片”体积的近似值，即所求的体积微元为,积分即得旋转体的体积为,22/26,（3）分割区间a,2a,任取子区间x,x+dx.把该子区间对应的小曲边梯形近似地看成是小矩形。因而它绕y轴转一周产生的立体可以看成是一个内半径为x，外半径为x+dx，高为y=a/x的“圆柱壳”。从而所求的体积微元为,积分即得所求立体的体积为,23/26,三、定积分在物理中的应用举例,例9有一等腰梯形闸门，,下底长,高为,该闸门所在的面与水面垂直，且上底与水面相齐，,求该闸门一侧所受到的水的压力。,分析若压强是均匀的，压力F=压强P,受力面积S,解,AB的直线方程为,其上底长,24/26,例10一个半球形容器，其半径为10米,容器中盛满了水，,现将容器中水全部从容器口抽出，需作功多少？,分析当位移恒定时，克服重力作功为,功W=重力G,位移H,解,