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,第二章,第二节,随机变量的概率分布,一、随机变量的分布函数,二、离散型随机变量的分布律,三、连续型随机变量及概率密度,函数,一、随机变量的分布函数,有了随机变量的概念，就可以将上一章中的随机事件转化为随机变量来研究。,如：掷一枚骰子，设表示点数不超过3，表示点数不超过6，表示点数少于3.5。,显然由上一章知识有:,现在有了随机变量的概念，就可以用随机变量,来表示随机试验。,设表示掷一枚骰子的点数，则:,下面定义一个很重要的概念分布函数，这个,函数在以后对随机变量的研究中起着很重要的作用。,由上面的例子可以看出概率值的大小,与的取值有关，因此是的函数，就将,其定义为随机变量的分布函数。,称为随机变量的分布函数。,定义1：设为一随机变量，为任意实数，,当时，的取值为1,2,3,4,5,6，不可能小于，,则；,比如刚才例子，掷一枚骰子，用表示点数，,求的分布函数。,当时，若取1则满足，有的概率,因此；,当时，若取1或2则满足，有的概率，因此；,当时，；,当时，；,当时，；,当时，。,综上：,比如求,分布函数表示落在内的概率,定理2.2.1任一随机变量的分布函数具有如下性质：,（1）为非减函数，若,则；,（2），；,（3）为右连续函数，对任意实数有,其实，若某一函数满足上述三个性质，一定可以做为某随机变量的分布函数。可以用此方法判断一个函数是否分布函数。,例1：设随机变量的分布函数为,试求（1）系数；,（2）落在内的概率。,解：（1）由性质可得,解得，,因此；,（2）,。,二、离散型随机变量及其分布,若随机变量的全部可能取值为有限多或可列无穷多，称为离散型随机变量。,称为离散型随机变量的概率分布或分布律。,分布律经常可写成表格形式：,分布律性质：,(1),反之，若某一数列具有以上两条性质，均可做为某离散型随机变量的分布律。,例2：（的自然数）,是随机变量的分布律吗？,解:,由,可得,又,满足以上两个条件，因此是的分布律。,注：分布函数与分布律的不同之处,分布律描述的是随机变量取某个值的概率；,因此通过分布律可求分布函数,分布函数描述的是随机变量不超过某个值的概率;,例3：进行两次射击，每次命中目标的概率为0.4,用表示击中目标的次数，求的分布律及分布函数。,解:,的可能取值为0，1，2,则的分布函数为,例4：甲乙两人从装有个白球与个黑球的口袋,中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后不,放回，直到两人中有1人取到白球时停止。试求取,球次数的分布律和甲先取到白球的概率。,解:,令表示取球次数,因此分布律为,下面求甲先取到白球的概率，由于甲先取到白球，因此取奇数，则,P甲先取到白球,三、连续型随机变量及概率密度函数,定义2.2.3设是随机变量的分布函数，若存在一个非负函数，使对一切，有,则称为连续型随机变量，为的概率密度函数或分布密度函数。,概率密度函数的图像称为分布曲线，则连续型随机变量的分布函数的几何意义是:以分布曲线为顶，以轴为底，从到的一块区域的面积（见下图）。,定理2.2.2概率密度函数具有如下性质,（1）；,（2）；,（3）；,（4）若在处连续，则；,对于定义在上的可积函数，若满足性质（1）和（2），则必可作为某连续型随机变量的概率密度函数。,证毕,证明：只证（4）,例5：设随机变量的概率密度函数为,试确定常数，并求的分布函数及。,解:,由于,即,则,得,所以,下面求的分布函数,当时，,当时，,所以,概率既可通过分布函数来求，也可通过概率密度函数来求,或,证明:,设的概率密度函数为，对任意,有,由于,由夹逼准则,注：并不表示。,概率为0的事件是有可能发生的.,(几乎不可能事件),概率为1的事件有可能不发生。,（几乎必然事件）,由例6的结论知:,注：该结论只对连续型随机变量成立，离散型随机变量无此结论。,
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