概率论与数理统计第15讲.ppt

此幻灯片可在网址上下载,第15讲,概率论与数理统计讲义,第五章大数定律和中心极限定理,第一节大数定律,在第一章曾讲过，事件A在多次独立重复试验中发生的频率fn(A)具有“稳定性”，即当n时，fn(A)在“一定的意义下收敛于P(A)=p”，注意，此处的“收敛”不是指通常意义下的数列的收敛，即,不一定成立.这一点可说明如下：若(1)式成立，由数列极限的定义，对于任意给定的e0,总存在N0，使当nN时,总有|fn(A)-p|e.所以fn(A)不可能在通常的收敛意义下收敛到p.事实上，上述在“一定意义下fn(A)收敛于P(A)=p”是指,对任意的e0成立，此即为下述依概率收敛的定义。,定义1设Y1,Y2,Yn,是一个随机变量序列,a是一个常数,若对任何正数e,有,则称序列Y1,Y2,Yn,依概率收敛于a,记为,依概率收敛序列具有如下性质：,定理1(伯努利大数定律)设试验E是可重复进行的，事件A在每次试验中出现的概率P(A)=p(00,由切比雪夫不等式可得,在上式令n,并注意概率不能大于1，可得,定理3(辛钦大数定律)设随机变量X1,X2,Xn,相互独立，服从同一分布，具有数学期望E(Xk)=m(k=1,2,),则对于任意正数e，有,辛钦大数定律的证明超过了我们的知识范围.它在数理统计中十分有用。,第二节中心极限定理,对于中心极限定理的掌握，不需要去了解任何定理，只需要记住如下的描述即可：当一个随机变量X是由n个相互独立的随机变量的和构成，即X=X1+X2+Xn，则只要n足够大(最好超过100，但是，如果n大于20就足够好,大于10有时也凑合)，而且这n个随机变量的数学期望和方差都存在，且它们的方差都差不多大，则X近似服从正态分布。(这里不管这n个随机变量的分布有多么地不同，甚至有的是离散型有的连续型。),说严格点，假设X1,X2,Xn是n个相互独立的随机变量，其中E(Xi)=mi,D(Xi)=si2,i=1,2,n,X=X1+X2+Xn,则根据数学期望和方差的性质可得E(X)=m=m1+m2+mn,D(X)=s2=s12+s22+sn2,则只要n相当大(10)，就近似有XN(m,s2).最常见的情况是X1,X2,Xn相互独立同分布它们的期望和方差都是m,s2,则X=X1+Xn近似服从N(nm,ns2).这其实就是定理1的意思.,一种情况是Xb(n,p),则X可被视为由n个相互独立的0-1分布的随机变量相加构成，因为E(X)=np,D(X)=np(1-p)，因此只要n足够大(20)，就近似有XN(np,np(1-p).这其实就是定理2(德莫佛-拉普拉斯中心极限定理).,例1独立地掷10颗骰子，求掷出的点数之和在30到40点之间的概率.解以Xi表示第i颗骰子掷出的点数(i=1,2,10),则,点数之和为X=X1+X2+X10,则近似有,或XN(35,29.16667),XN(35,29.16667)因此有,例2在一家保险公司有一万人参加保险，每年每人付12元保险费.在一年内这些人死亡的概率都为0.006，死亡后家属可向保险公司领取1000元，试求：(1)保险公司一年的利润不少于6万元的概率;(2)保险公司亏本的概率.解设参保的一万人中一年内死亡的人数为X，则Xb(10000,0.006)，E(X)=60,D(X)=59.64,因此近似有XN(60,59.64),保险公司年收入10000元保险费，付给死者家属1000X元，一年的利润为120000-1000X=1000(120-X).,解设参保的一万人中一年内死亡的人数为X，则Xb(10000,0.006)，E(X)=60,D(X)=59.64,因此近似有XN(60,59.64),保险公司年收入10000元保险费，付给死者家属1000X元，一年的利润为120000-1000X=1000(120-X).(1)保险公司一年利润不少于6万元的概率为,解设参保的一万人中一年内死亡的人数为X，则Xb(10000,0.006)，E(X)=60,D(X)=59.64,因此近似有XN(60,59.64),保险公司年收入10000元保险费，付给死者家属1000X元，一年的利润为120000-1000X=1000(120-X).(2)保险公司亏本的概率为,例3独立地测量一个物理量，每次测量产生的误差都服从区间(-1,1)上的均匀分布.(1)如果取n次测量的算术平均值作为测量结果,求它与其真值的差小于一个小的正数e的概率;(2)计算(1)中当n=36,e=1/6时的概率的近似值;(3)取e=1/6,要使上述概率不小于a=0.95,应进行多少次测量？解(1)用m表示所测量物理量的真值，X表示第i次测量值,ei表示第i次测量所产生的随机误差(i=1,2,n),于是Xi=m+ei,由题设eiU(-1,1),(1)如果取n次测量的算术平均值作为测量结果,求它与其真值的差小于一个小的正数e的概率;解(1)用m表示所测量物理量的真值，X表示第i次测量值,ei表示第i次测量所产生的随机误差(i=1,2,n),于是Xi=m+ei,由题设eiU(-1,1),所以,(1)如果取n次测量的算术平均值作为测量结果,求它与其真值的差小于一个小的正数e的概率;,作业:第126页开始习题5-1,2第3,5,7题,