数理方程与特殊函数.ppt

1,Email:yc517922,数理方程与特殊函数,任课教师：杨春,数学科学学院,2,热传导、稳态场方程及其定解条件,(一)、热传导方程,本次课主要内容,(二)、稳态场方程,(三)、影响物理系统的其它条件,3,常用物理规律(二),1、热传导定律,定义热流密度：,4,2、牛顿冷却定律,单位时间内流过单位面积放出的热量为：,3、比热公式,5,4、高斯定律,6,(一)、热传导方程,截面积为A的均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求杆内温度的变化规律。,(1)、细杆的热传导问题,u(x,t),x,n,7,在dt时间内流入微元的热量为：,在dt时间内放出微元的热量为：,在dt时间内微元吸收的净热量为：,8,由比热公式：,由热量守恒定律得：,一维齐次热传导方程,9,设均匀且各向同性的导热体,置于温度比它高的热场中,求物体中温度u(x，y，z,t)的分布的规律。,(2)、三维空间中的热传导问题,导热体,热场,10,分析：,(1)、t1,t2时间里流入导热体的热量Q1计算,先要给出在t1,t2时间里流入导热体的热量，然后再给出在该时间中导热体温度升高所需要的热量。,流入dS的热量微元为：,11,在t1,t2时间里流入S的热量为：,12,(2)、t1,t2里导热体升温需要的热量Q2计算,导热体微元dV在dt时间升温需要的热量为：,t1,t2里导热体升温需要的热量Q2为：,13,由热量守恒定律：Q1=Q2,于是得到：,三维齐次热传导方程,14,如果导热体内部有热源，不难得到非齐次方程形式为：,其中，f(M,t)被称为自由项。,物质扩散与热传导现象相似。所以，热传导方程也称为扩散方程。,15,(二）、稳态场方程,稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特征是所研究的物理量不随时间而变化。,1、稳定温度分布,三维齐次热传导方程为：,热传导达到稳定状态时有：,称后一方程为稳态场中的拉普拉斯方程.,16,由静电场的高斯公式：,如果设：,2、静电场中的电势分布规律,可以得到：,17,静电场是保守场，于是存在势函数u(x,y,z)满足：,把(2)代入(1)得：,这就是静电场中电势满足的泊松方程,如果=0，则泊松方程变为拉普拉斯方程。,泊松方程与拉普拉斯方程称为稳态场方程。,18,1、波动方程：,三类典型物理方程总结,2、热传导方程：,3、稳态场方程(泊松方程)：,19,1、不含初值条件,带第一类边界条件：狄里赫列问题，简称狄氏问题；,稳态场方程的定解条件问题,2、边界条件,带第二类边界条件：牛曼问题；,带第三类边界条件：洛平问题。,稳态场方程求解将在第六章讨论！,20,(三）、影响物理系统的其它条件,1、衔接条件,反映两种介质交界处物理状况的条件称为衔接条件。,当物理系统涉及几种介质时，定解条件中就要包括衔接条件。,例1、写出由两种不同材料,等截面积杆连接成的杆的纵振动的衔接条件。连接处为x=x0,分析：连接处面上点的位移相等，面上协强相等。,x=x0,Y1,Y2,x,u1(x,t),u2(x,t),21,所以，衔接条件为：,例2、讨论静电场中电介质表面的衔接条件,设1，2与u1,u2分别表示两种介质的介电常数与电势；f表示分界面S上电荷面密度。,22,(1)、在界面处，两种介质中的电势应相等,事实上：根据电场强度与电势梯度的关系有：,于是，若假定E为p1p2上的平均电场强度(显然它有限)，则：,两边对L取极限得：,23,(2)、在界面处，可以导出如下等式：,事实上：根据有介质高斯公式就可以推出上式。,Qf是面S内的总电荷,有介质高斯公式为：,24,取一个包含S的上下底平行的高为h的扁平盒：,由于h可以很小，因此，通过侧面的电通量忽略！,于是由高斯公式有：,而:,25,所以：,说明：如果u1为导体的电势，u2是绝缘体电势，那么，因为导体是等势体，所以有：,2、周期性条件,在极坐标、柱面坐标和球坐标系的经度坐标中，实际物理量常满足周期性条件，即：,26,(1)、在极坐标中：,(2)、在柱坐标中：,(3)、在球坐标中：,27,例如，在静电场中，由电势的唯一性有：,3、有界性条件,在没有源处，物理量一般有界。常考虑物理量在坐标原点处有界。,例如，在静电场中，电势在原点(无电荷）有界；在温度场中，中心温度有界等！,4、无穷远条件,或者在无穷远处u有渐进行为f(r,t)(已知函数）,28,例3、半径为r0的球面，在0/2的半球上电势为u0，在另一半球上为-u0,写出定解问题。,分析：空间中的电势分布分球内(u1)与球外(u2),由于是静电场问题，所以泛定方程为稳态场方程。又空间中没有分布电荷，因此方程为拉普拉斯方程。,29,所以：,其它条件：,30,定解问题的简要总结,对于一个具体物理问题，写出其定解问题，应该分如下三步进行：,1、根据问题背景写出物理方程(泛定方程);,2、如果有边界条件，要根据物理背景写出边界条件，即考虑描述物理量在边界上状况的三类边界条件和衔接条件。,31,除边界条件外，由于物理上合理性的需要，有时还需要对方程中的未知函数加以一些限制。这些限制包括：,周期性限制;有界性限制；无穷远限制等。,上面限制条件称为自然边界条件。,3、初始条件,如果物理问题涉及时间变量，则需写出初始条件。,如果方程中对时间的导数为n阶，则需要n个初始条件表达式。,32,作业,P26习题2.2第1，2，3，4；,P30习题2.3第1，2，4。,33,ThankYou!,