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无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究函数性质,数值计算,数项级数,幂级数,付氏级数,第九章无穷级数,第一节常数项级数的概念与基本性质,一、级数的概念,二、级数的基本性质,三、级数收敛的必要条件,一尺之椎，日取其半，永世不竭.,一、级数的概念1.级数的定义:,称为(实)常数项无穷级数.简称(实数项)级数.,(4)sn称为级数的部分和数列.,称为级数的前n项部分和.,问题：上述级数定义中的“和式”只是形式上的，该如何理解无穷多个数量相加呢？,2.级数的收敛与发散:,(1)若级数的部分和数列sn有极限s,(有限数),(2)若部分和数列sn没有极限,(不存在),(发散),(3)余项,显然，级数收敛则其每个余项收敛；,级数是以“和”的形式出现的一个特殊数列(部分和数列)的极限，本质上是一个极限.,讨论级数的敛散性,可以先求sn,再求.,解,级数发散;,级数发散;,级数收敛;,级数发散.,综上,解,技巧可利用将通项an拆项以求出sn.,解,例3判别无穷级数的收敛性.,技巧可利用对数运算性质求出sn.,例4证明调和级数发散.,课本Page230例3,证明假设调和级数收敛于S,则有,但,矛盾!,所以假设不真.,故调和级数发散.,解,练习：判别无穷级数的收敛性.,技巧可利用等比数列求和公式求出sn.,二、级数的基本性质,证明,在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性.,结论:级数的每一项同乘一个非零常数,敛散性不变.,结论:收敛级数可以逐项相加或逐项相减.,思考:,注意,收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,推论如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.,性质4收敛级数任意加括号后所成的级数仍然收敛于原来的和.,例1判断下列级数的敛散性.,注当级数的通项为若干项之和时,可分别考虑以其中每一项为通项的级数的敛散性,再利用级数逐项相加(减)的性质.,(收敛),(发散),例2判断下列级数的敛散性.,解考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散.,三、级数收敛的必要条件,证明,可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.,级数发散.,注意,并非级数收敛的充分条件.,但此级数发散.,例1判断下列级数的敛散性.,(三个级数均发散),注,(4)判断级数的敛散性.,(发散),四、小结,常数项级数的基本概念,级数的基本审敛法,3.按基本性质.,杂例：,例3,例4,练习,解:(1)令,则,故,从而,这说明级数(1)发散.,判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:,因,进行拆项相消,这说明原级数收敛,其和为,(2),练习题,练习题答案,
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