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第二章点、直线、平面之间的位置关系,本章需解决的主要问题：能利用教材中的定理判定或证明线面的平行与垂直关系；能正确地作出各种角并能求得角的相应的三角函数值解决上述问题的关键是：贯彻转化与化归思想在立体几何中的应用，进一步培养空间想象能力及分析问题、解决问题的能力,1共点、共线、共面问题例1正方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，求证：C1、O、M三点共线,【证明】如图，AA1CC1，AA1、CC1确定一个平面A1C，显然有A1C平面A1C，又A1C平面BC1DO，ACBDM，,点C1、O、M三点在平面A1C内，也在平面BC1D内，从而C1、O、M三点都在这两个平面的交线上，即C1、O、M三点共线【方法归纳】证明线共点，点共线，线共面问题，主要是应用平面的基本性质，先证部分元素共点、共线、共面，再利用公理1,2,3证明其他元素也具有这个性质，关键是要熟悉三个公理的作用,2平行问题例2如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB平面ABCD，MAPB，PB2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由,【解】当点F是PB的中点时，平面AFC平面PMD.连接BD交AC于点O，连接OF，,四边形AFPM是平行四边形AFPM.又AF平面PMD，PM平面PMD，AF平面PMD.又AFOFF，AF平面AFC，OF平面AFC，平面AFC平面PMD.,【方法归纳】在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反相互关系如下：,3垂直问题例3如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且DAB60，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.,(1)若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论,【证明】(1)在菱形ABCD中，G为AD的中点，BAD60，BGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BG平面PAD.,(2)连接PG，如图，PAD为正三角形，G为AD的中点，PGAD.由(1)知BGAD，PGBGG，PG平面PGB，BG平面PGB.AD平面PGB，PB平面PGB，ADPB.,(3)解：当F为PC的中点时，平面DEF平面ABCD.证明：在PBC中，EFPB，又在菱形ABCD中，GBDE，而FE平面DEF，DE平面DEF，FEDEE，平面DEF平面PGB.,由(2)推知PG平面ABCD，而PG平面PGB，平面PGB平面ABCD.平面DEF平面ABCD.,【方法归纳】直线和平面垂直，平面和平面垂直，既可从直线和平面、平面和平面所成的角为90来论证，又可从已有的线线垂直，线面垂直关系来推理和论证在解题过程中，要注意线线垂直、线面垂直和面面垂直的转化，如下：,4空间角的求法例4如图，已知四棱锥VABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧面VAB是等边三角形，且平面VAB平面ABCD，BD和AC交于O点(1)求VO与平面VAB所成的角；(2)求二面角BVAC的正切值,【解】如图，在底面ABCD内作OHAB于H，连结VH.平面VAB平面ABCD，OH平面VAB.则OVH为VO与平面VAB所成的角四边形ABCD是正方形，AOOB.又OHAB，AB2BH.,(2)在平面VAB内过H作HEVA于E，连OE.由(1)知，OH面VAB，OHVA，OHHEH，VA面OHE，得OEVA，HEO是二面角BVAC的平面角,(1)找出这个角；(2)证明该角符合题意；(3)作出这个角所在的三角形，求出角求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角的问题，即在线线角中找到答案,【证明】取CD的中点M，BE的中点N，连接MN，则MNBC.,ANBE，DABC且E为AD的中点，BE必与DC相交AN平面BCDE.又AN平面ABE，平面ABE平面BCDE.【方法归纳】处理折叠问题要注意折叠前后的“不变量”和“不变的位置关系”,
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