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第一节大数定律,大数定律依概率收敛定义及性质小结,大量随机试验中,大数定律的客观背景,大量抛掷硬币正面出现频率,字母使用频率,生产过程中的废品率,一、大数定律,定理1（切比雪夫定理的特殊情况）,切比雪夫,则对任意的0，有,做前n个随机变量的算术平均,证,由切比雪夫不等式,上式中令,得,说明,二、依概率收敛定义及性质,定义,性质,请注意:,问题:,伯努利,设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，,是事件A发生的频率.,设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数0，有,定理2（贝努里大数定律）,或,伯努利,证明,证毕,注,贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.,或,下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.,设随机变量序列X1,X2,相互独立，服从同一分布，具有数学期E(Xi)=,i=1,2,，则对于任意正数，有,定理3（辛钦大数定律）,辛钦大数定律,辛钦,请看演示,1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.,注,2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.,3、辛钦定理具有广泛的适用性.,要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性块，例如n块地.计算其平均亩产量，则当n较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.,例在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.,问对序列Xk能否应用大数定律？,即对任意的0,解:,诸Xk独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.,三、小结,大数定律,大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：,平均结果的稳定性,
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