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第0章场论（FIELD）,目的：场论是描述物理流动的数学工具。内容：介绍力学中常用的场论知识。场：具有物理量的空间。流场：充满流体物理量的空间。,物理量作为空间点位置M和时间t的函数，t作为参变量。,流体力学中常见的物理量,density,temperature,pressure,stress,velocity,strain,向量场（函数）,标量场（函数）,张量场（函数）,field1:1func.,spacepoint,向量(vector)：3个元素表示的既有大小又有方向的量,0.1标量、向量、张量,（1）概念标量（scalar）：1个元素表示的只有大小没有方向的量,二阶张量（tensorof2ndorder）：9个元素表示的量,n阶张量（tensorofnthorder）：3n个元素表示的量,（2）场的几何描述,标量场的等值线（面）：时刻场中数值相同的点组成的曲面。,等值线,在某一高度上沿什么方向高度变化最快？,表示标量在场中的分布。,向量场的向量线：向量线上每一点处曲线与对应于该点的向量相切。,描述向量在场中的分布。,向量线连续分布，一般互不相交。,l,(1)Einstein求和符号：式子中成对出现的哑指标。,0.2向量及张量的基本运算,0.2.1向量运算符号规定,式中i,j是自由指标，表示坐标方向。可写作:,任意两个正交坐标轴单位向量的点积,(2)Kronecker符号：,参与表达式运算的结果：冲掉一个自由指标,置换法则：3个自由指标顺时针排列为正，否则为负。任意2个自由指标对换后差一个负号，如,式中i,j是自由指标，称为置换符号。,(3)Ricci（置换）符号：任意两个正交单位向量的叉积,和符号之间有关系,两个自由指标相同，如,自由指标偶次置换，如,自由指标奇次置换，如,0.2.2向量运算的常用公式,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,0.2.3向量分量的坐标转换,讨论新、老坐标轴中单位向量及向量分量之间的转换关系。,(i,j=1,2,3),或,表0.1坐标轴间方向余弦,又,点乘,得,单位向量之间的转换关系：,即可得如下六个关系式,或,向量分量之间的转换关系：,表0.1坐标轴间方向余弦,a与坐标系无关，有,0.2.4二阶张量及其基本运算,二阶张量及其基本运算规则,二阶张量的坐标变换,(,),(,),eg.,方向导数：,l方向单位向量,03标量场的方向导数和梯度,剃度表示物理量在一点邻域内的变化。,（1）梯度的定义,Hamilton算子（Nabla）,记,则,当,即与方向一致时,为最大。,注：算子具有微分和向量双重运算性质，适用于任意正交坐标系，在不同坐标系中表达形式不同。推导或证明公式时用直角坐标系简便。,梯度(Gradient),高度场的梯度,与过该点的等位线垂直；,数值等于该点的最大方向导数；,梯度垂直于标量的等值面，且指向增大的方向。,（3）梯度的应用（性质）梯度在方向的投影等于标量在该方向的方向导数,计算增量,计算曲面法线,由梯度可计算物理量沿l方向经过dl距离的增量。,（为常数）,（为常数）,（5）向量的梯度是一个二阶张量,（4）梯度运算的基本公式,Example0.2Given:Prove:,Example0.1：求曲面的法线单位向量,Solution:,Solution:（书p4）,称为向量a通过曲面S的通量。若a为流速v，Q流量。,04向量场的通量和散度,通量：在向量场a中曲面S的法向量为n，则,图0.4.1通量,物理量的散度可用来判别向量场是否有源。,若向量场中a=0，称之为有源场，称为源（强）密度；若向量场中处处a=0，称之为无源场。,（为常数）,散度的基本运算公式：,（2),(为标量）,（3),05向量场的环量和旋度,物理量的旋度可用来判别向量场是否有旋。,无源无旋的向量场是调和场,（Laplaceoperator）,（Laplace方程）,满足Laplace方程,且具有二阶连续偏导数的函数称为调和函数，这时向量场a称为调和场。,Gauss公式JonhanGauss(1777-1855),n为体积V闭边界面S的单位外法向量，若物理量a或在V+S上一阶偏导数连续，则有,散度定理,源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，体积分后，为穿出闭合面S的通量,06广义Gauss公式及Stokes公式,Stokes公式SirGeorgeStokes(1819-1903）,若l为曲面S的边界线，且可缩，向量a在S+l上一阶偏导数连续，则,0.7Hamilton算子、梯度、散度、旋度和调和量在正交曲线坐标系中的表示式,向量：（正交曲线坐标系）,0.7.2正交曲线坐标系中的弧微分和拉梅系数,空间曲线的弧微分：（直角坐标系）,曲线坐标和直角坐标之间有变换关系:,当为坐标曲线上的微分弧长时，,坐标线的弧微分：,例：,0.7.3正交曲线坐标系中常用表示式,
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