关于《排列、组合、概率》的教学建议.ppt

关于排列、组合、概率的教学建议,广州市第二中学曹亮敏,一、新教材与旧教材对比中，有如下几个显著不同：,1、编排了不少新的例题和练习题，使新教材更具有时代感和实用感。如：增加的例题有P86例3，P100例3，P101例4，把概率这一章书由原来的选修变成了必修，还增加了不少新颖的练习题。P86例3要从甲、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？评述：本例从集合的角度看“人”和“班”的映射。,P100例3,（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？评述：本例指出排列和组合的区别。,P101例4,一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球，从口袋内取出3个球，共有多少种取法？从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？评述：本例既是组合的应用，也为学习概率埋下伏笔。,2、编排更为流畅、生动，使课本更具有可读性和趣味性，教学的段落更为清晰化。,如：增加了P122“从集合的角度看排列、组合和概率”；P136“抽签有先有后，对个人公平吗？”如：“组合”这一部分分为三个段落。段落1组合概念，并配有例题和练习题P89；段落2，组合性质1，配有例题P103；段落3，组合性质2，配有例题和练习题P107，层次分明，分散难点。,3、更重视数学的思想和方法，把数学的内涵挖掘的更深刻。,将原来的“加法原理和乘法原理”改为“分类计数原理和分步计数原理”，用“类和步”更能凸现其原理和本质。加强“排列、组合”概念的引入，加强应用题的分析，说明各种解法的理由。将二项式定理的二项式系数用函数符号表示，通过图像获得其性质，并表述更为准确，对称性最大值二项式系数的和。,4、更注意情境的教与学。,每一个概念引入之前，都有一个实际问题为导引，并对其分析和抽象，从而创设了教学的情境，使概念的产生自然而且易懂。尤其在“概率”中的概念特别多，不把概念产生的背景搞清楚，是很容易造成混乱，如随机事件，等可能性的随机事件的概率，互斥事件及概率，独立事件及概率等，只有这样才符合学生的认知规律。,5、分析问题的手段更加数学化，充分利用教材数学化教育功能。,如：引入排列概念时，对实际例子的分析用了“树叉形”，又如练习题的条件多次用列表法表述，P117的例题通过列表分析，对元素的分析用了集合的“文恩图”等。以前的课本在排列概念引入前的例子从这a、b、c、d这4个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的方法？现在用“树叉形”进行分析“树叉形”是补素之中不补素，含有排序、等可能等多种思维品质。如在广州市去年一模选择题中的最后一条题就是用了这种方法。,原题是：三人互相传球，由甲开始传球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有,（A）6种（B）8种（C）0种（D）12种解：（枚举法）该题新颖，要在考试短时间内迅速获得答案，考虑互传次数不多，所得选择的答案数字也不大，只要按题意一一列举即可。选（C）,二、本人对教材中的“排列、组合”这部分再重组，使教学更为流畅，也使学生更容易掌握。,（一）在“排列、组合”这部分教材的处理，与以往不同的是，没有按课本的顺序进行，而是作了如下调整，仅供参考。(各校视本校的实际情况而定。),第一节课，排列和组合概念的引入,本节课的重点是通过实际例子引入及分析，导入两个概念，特别重视概念的产生过程，然后比较两个概念的相同点和不同点，准确运用排列数和组合数的符号及展开式表示其意义，并列成如下的对照表。,教学中注意突出几点：,（1）怎样确定元素和位置？（2）分类与分布具体怎样体现？（3）两个概念有何差异（组成的元素相同，但与顺序关系不同），初步形成两者的关系或关系式。,第二节排列数和组合数的关系、组合性质1,本节课是紧接上节课，先复习，然后从概念出发，重点：弄清楚排列数和组合数的之间的关系，在大量的实际应用题当中，都是先选后排，或者是先定位置，后放元素。所以对于表达式，不仅要掌握数学符号，更重要掌握其数学本质。,熟悉其展开式，展开式是由“排列、组合”的概念中得到，因此，紧扣这一点比较重要，（可反复举例说明），然后在运用排列组合的关系推出表达式的各种情形，尤其对1！7！的结果要朗朗上口，以便于运算的快捷。掌握组合性质1：的推导及意义，相信学生对n是具体数字时，能自觉运用；抽象为字母或方程时，就显得困难。留下这样的思考题，求值：作为本节课的结束。,第三节课组合性质1、组合性质2及综合应用,本节课的重点是复习和推导两个性质，不仅要在式子的恒等变形中掌握公式的推导，更重要在数学意义上的推导，（紧扣组合数的定义和两个计数原理），在此基础上基本计算，式子化简，解关于排列和组合的方程。课本本身有一些例子和练习题，老师适当补充。会证明一些恒等式，获得一些相关的结论。解关于排列和组合的不等式。（视学校情况而定）,第46节课排列组合的应用题,应用题归为四个专题：第一个专题排队问题重点解决：1、如何确定元素和位置的关系，元素及其所占的位置，这是排列组合问题中的两个基本要素。以元素为主，分析各种可能性，称为“元素分析法”；以位置为主，分析各种可能性，称为“位置分析法”。,例：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？,分析：这可以说是一道较简单的排列组合的题目了，但为什么有的同学能做出正确的答案(种)，而有的同学则做出容易错误的答案(种)，而他们又错在哪里呢？应该是错在“元素”与“位置”上了!法一：元素分析法(以信为主)第一步：投第一封信，有4种不同的投法；第二步：接着投第二封信，亦有4种不同的投法；第三步：最后投第三封信，仍然有4种不同的投法。因此，投信的方法共有：(种)。,法二：位置分析法(以信箱为主),第一类：四个信箱中的某一个信箱有3封信，有投信方法(种)；第二类：四个信箱中的某一个信箱有2封信，另外的某一个信箱有1封信，有投信方法种第三类：四个信箱中的某三个信箱各有1封信，有投信方法(种)。因此，投信的方法共有：(种)小结：以上两种方法的本质还是“信”与“信箱”的映射或逆映射的问题。,2、如何处理特殊条件，一般来说，特殊条件优先考虑。,例：7位同学站成一排，按下列要求各有多少种不同的排法；甲站某一固定位置；甲站在中间，乙与甲相邻；甲、乙相邻；甲、乙两人不能相邻；甲、乙、丙三人相邻；甲、乙两人不站在排头和排尾；甲、乙、丙三人中任何两人都不相邻；甲、乙两人必须相邻，且丙不站在排头和排尾。答案：,第二个专题排列、组合交叉问题,重点解决：1、先选元素，后排序。例：3个大人和2个小孩要过河，现有3条船，分别能载3个、2个和1个人，但这5个人要一次过去，且小孩要有大人陪着，问有多少种过河的方法？分析：设1号船载3人，2号船载2人，3号船载2人，小孩显然不能进第3号船，也不能二个同时进第2号船。,法一：从“小孩”入手,第一类：2个小孩同时进第1号船，此时必须要有大人陪着，另外2个大人同时进第2号船或分别进第2、3号船，先选3个大人之一进1号船，有过河方法(种)；第二类：2个小孩分别进第1、2号船，此时第2号船上的小孩必须要有大人陪着，另外2个大人同时进第1号船或分别进第1、3号船，有过河方法(种)。因此，过河的方法共有：(种)。,法二：从“船”入手,第一类：第1号船空一个位，此时3条船的载人数分别为2、2、1，故2个小孩只能分别进第1、2号船，有过河方法(种)；第二类：第2号船空一个位，此时3条船的载人数分别为3、1、1，故2个小孩只能同时进第1号船，有过河方法(种)；第三类：第3号船空一个位，此时3条船的载人数分别为3、2、0，故2个小孩同时进第1号船或分别进第1、2号船，有过河方法(种)。因此，过河的方法共有：(种)。,2、怎样界定是排列还是组合,例：身高不等的7名同学排成一排，要求中间的高，从中间看两边，一个比一个矮，这样的排法有多少种？身高不等的7名同学排成一排，要求中间的高，两边次高，再两边次高，如此下去，这样的排法共有有多少种？答：种种本来是组合题，与顺序无关，但有些学生不加分析，看到排队就联想排列，这是一个误区。至于也不全是排列问题，只是人自然有高低，按人的高低顺次放两边就是了。,又例：7名同学排成一排，甲、乙、丙这三人的顺序定，则不同排法有多少种？,分析，三人的顺序定，实质是从7个位置中选出三个位置，然后按规定的顺序放置这三人，其余4人在4个位置上全排列。故有排法种。,第三个专题分堆问题,重点解决：1、均匀分堆和非均匀分堆关于这个问题，课本P146练习10如此出现：8个篮球队有2个强队，先任意将这8各队分成两个组，（每组4个队）进行比赛，这两个强队被分成在一个小组的概率是多少？由于课本后面出现这样的练习题，所以前面应对这些问题有所分析，尤其为什么均匀分堆有出现重复？应举例说明。,例：有六编号不同的小球，,分成3堆，每堆两个分成3堆，一堆一个，一堆两个，一堆三个分成3堆，一堆一个，一堆一个，一堆四个在、的条件下，再分别给三个小朋友玩，每人一堆，有多少种分法？分析：、都是分堆，其中是三个均匀分堆，有3！重复，是两个均匀分堆，有2！重复，如此类推。是非均匀分堆，不可能出现重复。在教学中应用数字表示球，通过列举法说明重复的可能，以及避免重复。答案：再乘以,2、为什么有重复，怎样避免重复,例：从4名男生、5名女生中任选3人参加学代会，至少男生、女生各一名的不同选法有多少种？有些学生这样想：先从4人中选一人，再从5人中选一人，最后在剩下的7人中选一人，结果是结果是错误的。因为后面的7人与前面已选的人可能出现重复，正确的答案是。,又例：有4个唱歌节目，4个舞蹈节目，2个小品排成一个节目单，但舞蹈和小品要相隔，不同的编排有多少种方法？,有些学生这样想，先定位4个唱歌，有5个位插入小品两个位，此时有7个位再插入4个舞蹈，故的表达式是。其实，这里又出现了重复，正确的列式是,第四个专题直接法和间接法的区别及运用,重点解决：1、选择集合的元素有交集问题；例：七人并坐一排，要求甲不坐首位，乙不坐末位，共有几种不同的坐法？,法一：直接法,第一类：甲在第2-6号位中选一而坐，接着乙在第1-6位中余下的5个位中择一而坐，剩下的任意安排，有坐法数(种)；第二类：甲在第7号坐，剩下的任意安排，有坐法数(种)。因此，不同的坐法数共有(种)。,法二：间接法,七人并坐，共有坐法数(种)。甲坐首位，有种方法；乙坐末位，亦有种方法。甲坐首位、乙坐末位都不符合题目要求，所以应该从扣除，但在扣除的过程中，甲坐首位且乙坐末位的情况被扣除了2次，因此还须补回一个。因此，不同的坐法数有,2、选择元素中有至少、至多等问题。,在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从100见产品中任意抽取3件，（1）至少有一件是次品的抽法有多少种？（2）至多有一件次品的抽法有多少种？答：（1）解法1：，解法2（2）,（二）以上对教材的处理，主要有如下几个好处：,教学比较自然、流畅，容易对近似概念进行比较，找到其相同点和不同点，更深刻的从外延到内涵掌握概念及其数学意义，特别运用表一、表二和表三的归纳，学生不仅掌握其表达式，而且理解其数学意义。把相关概念和表达式弄清楚后，能给学生有足够的工具，使学生解决应用题时不在被工具而困扰，形成良好知识结构，解决问题的思路容易畅通。,每一节课内容相对集中，使重点突出，学生就比较容易把每一个难点和重点给予突破，减轻学生的负担又能实现学生的学习落到实处。,在提高教学质量的前提下，又能提高效率，这样的安排比“教参”的安排课时至少节省了三节课，同时所受的内容又比课本更充实。,三、“二项式定理”教学的一些体会。,1、“二项式定理”教学最重要还是定理的引入，其本质还是组合概念的重现，为此，本人通过如下的一些过程来强化定理的来源的认识。举例：有正产品5件，次产品2件，有3个人来抽，每次抽完又放回去，恰好没有人抽到次品是恰好1人抽到次品是恰好2人抽到次品是恰好3人抽到次品是它们的和反映了3人抽到次品的各种可能的总数，记为,变式：,把正产品改为件，次产品改为件，其余问题不变，则3人抽到次品的各种可能的总数为同理，可以把3人变为4人、5人乃至人，这时，则人抽到次品的各种可能总数为这就是二项式定理的展开式，然后从系数、次数找特征，从而归纳出一些性质和通项公式。,例：（98全国高考题）的展开式，系数为。,分析：本题的实际上转化为展开式中分别取和系数，然后运算而得，答案是，可见运用组合的思想对展开式的理解是多么重要。,2、重视数学思想的渗透,函数思想：二项式系数形成的函数表达式，并用函数图象获得性质；用赋值法求二项式系数和；整体思想：展开式的各项和与部分和的大小比较；构造思想：如求证能被64整除。,四、“概率”教学中,（一）将集合与排列、组合、概率联系起来，主要有两个作用（1）集合是数学的基本概念之一，是联系中学数学中众多不同知识的纽带，数与形虽然是不同的研究对象，但他们可以分别看成数的集合和点的集合，从而在集合的意义下得到沟通，同样，当从集合的角度去认识排列、组合和概率（指古典概型）时，求排列数、组合数和概率，都可看成在一个全集下的某个子集到数的集合的不同映射。可见，从集合的角度去认识排列、组合和概率，有助于揭示这些概率的本质内在的联系。,2,（2）由于集合及其关系可用图形表示，便于将一些稍复杂的应用问题分析清楚，所以有助于对于这些问题的解决。（二）重视概念发生的教学。力求运用实际例子既要说明问题，又要让学生感受数学就在身边。注意概念之间的区别，为此可列出表格（见资料）。,等可能性事件的概率,，这里的表示等可能性出现个结果，组成集合的元素个数的总数，每一个基本事件就是集合中的一个元素，表示发生事件中的元素是集合中的若干个元素的个数总数。,