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第一节线性规划的模型与图解法一、线性规划问题及其数学模型,在生产管理和经营活动中经常需要解决：如何合理地利用有限的资源，以得到最大的效益。,例1某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗煤、电、油三种资源。现将有关数据列表如下：试拟订使总收入最大的生产方案。,线性规划模型的三要素,3.约束条件：为实现优化目标需受到的限制，用决策变量的等式或不等式表示；,1.决策变量：需决策的量，即待求的未知数；,2.目标函数：需优化的量，即欲达的目标，用决策变量的表达式表示；,目标函数：总收入，记为Z,则z=7X1+12X2，为体现对其追求极大化，在Z的前面冠以极大号Max；,决策变量：甲、乙产品的计划产量，记为；,在本例中,约束条件：分别来自资源煤、电、油限量的约束，和产量非负的约束，表示为:,解：设安排甲、乙产量分别为,总收入为，则模型为：,线性规划模型的一个基本特点：目标和约束均为变量的线性表达式,如果模型中出现如的非线性表达式，则属于非线性规划。,例2某市今年要兴建大量住宅,已知有三种住宅体系可以大量兴建，各体系资源用量及今年供应量见下表：要求在充分利用各种资源条件下使建造住宅的总面积为最大(即求安排各住宅多少m2)，求建造方案。,解:设今年计划修建砖混、壁板、大模住宅各为x1,x2,x3m2,z为总面积,则本问题的数学模型为:,前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了12个变量，10个约束条件。,练习：某畜牧厂每日要为牲畜购买饲料以使其获取A、B、C、D四种养分。市场上可选择的饲料有M、N两种。有关数据如下：试决定买M与N二种饲料各多少公斤而使支出的总费用为最少？,饲料,解：设购买M、N饲料各为，则,线性规划模型的一般形式：（以MAX型、约束为例）,决策变量：目标函数：约束条件：,则模型可表示为:,模型一般式的矩阵形式:,记,回顾例1的模型,其中表示决策变量的向量；表示产品的价格向量；表示资源限制向量；表示产品对资源的单耗系数矩阵。,一般地中称为决策变量向量，称为价格系数向量,称为技术系数矩阵,称为资源限制向量。,问题：为什么A称为技术系数矩阵？,二、线性规划模型的图解法,图解法是用画图的方式求解线性规划的一种方法。它虽然只能用于解二维（两个变量）的问题，但其主要作用并不在于求解，而是在于能够直观地说明线性规划解的一些重要性质。,1.图解法的步骤,（1）做约束的图形先做非负约束的图形；再做资源约束的图形。,以例1为例，其约束为,问题：不等式的几何意义是什么？怎样作图？,（1）做约束的图形先做非负约束的图形；再做资源约束的图形。以例1为例，其约束为,各约束的公共部分即模型的约束，称可行域。,1.图解法的步骤,（2）做目标的图形,对于目标函数任给两个不同的值，便可做出相应的两条直线，用虚线表示。以例1为例，其目标为，分别令，做出相应的二直线，便可看出增大的方向。,（3）求出最优解将目标直线向使目标优化的方向移，直至可行域的边界为止，这时其与可行域的“切”点即最优解。如在例1中，是可行域的一个角点，经求解交出的二约束直线联立的方程可解得,由图解法的结果得到例1的最优解，还可将其代入目标函数求得相应的最优目标值。说明当甲产量安排20个单位，乙产量安排24个单位时，可获得最大的收入428。,练习：用图解法求解下面的线性规划。,问题：在上两例中,多边形，而且是“凸”形的多边形。,最优解在什么位置获得？,在边界，而且是在某个角点获得。,线性规划的可行域是一个什么形状？,2.由图解法得到线性规划解的一些特性,（1）线性规划的约束集（即可行域）是一个凸多面体。,凸多面体是凸集的一种。所谓凸集是指：集中任两点的连线仍属此集。试判断下面的图形是否凸集：,凸集中的“极点”，又称顶点或角点，是指它属于凸集，但不能表示成集中某二点连线的内点。如多边形的顶点。,（2）线性规划的最优解（若存在的话）必能在可行域的角点获得。,因为，由图解法可知，只有当目标直线平移到边界时，才能使目标z达到最大限度的优化。,问题：本性质有何重要意义？,它使得在可行域中寻优的工作由“无限”上升为“有限”，从而为线性规划的算法设计提供了重要基础。,（3）线性规划解的几种情形,唯一最优解,多重最优解,无解,无有限最优解（无界解）,
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