《概率和概率分布》PPT课件.ppt

第五章概率和概率分布,本章主要内容,概率离散性随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布,一、概率,（一）随机试验,为研究随机现象规律性，往往进行试验。例如：1.抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。2.将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。3.抛一枚骰子，观察出现的点数。4.记录车站售票处一天内售出的车票数。5.在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。6.记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。,这些试验都具有以下的特点：可重复性：可在相同条件下重复进行随机性：一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。可预知性：试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验(Randomexperiment)，表示为E。,（二）事件,必然事件：某件事情在一次试验中一定发生如：“在一副扑克牌中任摸14张，其中有两张花色是不同”就是必然事件。不可能事件：某件事情在一次试验中一定不发生如：“在一副扑克牌中任摸14张，其中没有两张花色是不同的”就是不可能事件。随机事件（A,B,C,)：某件事情在一次试验中既可能发生，也可能不发生如：“掷一枚硬币，出现正面朝上”“扔一枚骰子，出现6点”,随机试验的结果可能是一个简单事件，也可能是一个复杂事件。简单事件：试验的每一个结果都是一个事件，这些事件不可能再分解成更简单的事件，又称为基本事件。复杂事件：是由简单事件组合而成的事件。基本事件还可称为样本点，设试验有n个基本事件，分别记为(i=1,2,，n)。集合=1,2,n称为样本空间，中的元素就是样本点。,例：投掷一粒均匀的六面体骰子，出现的点数有可能是1、2、3、4、5、6共六种。这六种结果是基本结果，不可以再分解成更简单的结果了，所以=1，2，3，4，5，6为该试验的样本空间。“出现点数是奇数”这一事件就不是简单事件，它是由基本事件1，3和5组合而成的。我们通常用大写字母A，B，C，来表示随机事件，例如，设A表示“出现点数是奇数”，则A=1，3，5；设B表示“出现点数是偶数”，则B=2，4，6。,（三）事件的频率,1.定义：设E为任一随机试验，A为其中任一事件，在相同条件下，把E独立的重复做n次，nA表示事件A在这n次试验中出现的次数(即频数)。比值称为事件A在这n次试验中出现的频率(Frequency).2.稳定性：当试验次数n增大时，频率逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率.,实践证明：频率稳定于概率历史上曾有人做过试验，试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。,（四）概率的定义,“古典概型”是最简单、最直观的概率模型。定义：若某实验E满足：1.有限性：样本空间1,2,n2.等可能性：P(1)=P(2)=P(n)。则称E为古典概型也叫等可能概型。,设在古典概型中，试验E共有n个基本事件，事件A包含了m个基本事件，则事件A的概率为,性质11P(A)0。性质2P()=1。性质3若事件A与事件B互不相容，即AB=，则P(AB)=P(A)+P(B)。推论1不可能事件的概率为0，即：P()=0。推论2P()=1-P(A),表示A的对立事件，即它们二者必有一事件发生但又不能同时发生。,概率的基本性质,（五）条件概率,已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率，记作P(B|A)。,定义：设A、B为两个事件，且P(B)0，则事件B已经发生的条件下，事件A发生的条件概率P(B|A)定义为：,设A、B，P（A）0,则P(AB)P(A)P(B|A).上式就称为事件A、B的概率乘法公式。上式还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).一般地，有下列公式：P(A1A2An)(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1),（六）乘法公式,（七）全概率公式,设影响事件B发生的所有因素为A1，A2，An。如果满足：A1，A2，An中任何两个事件都不会同时发生；A1，A2，An事件的和为必然事件。则有：,贝叶斯公式：给定互不相容事件A1，A2，An，这些事件的和是必然事件，且则对任一事件B，有,该公式是英国牧师贝叶斯于18世纪发明的，是对于概率运算和风险决策非常有用的一个公式。,（八）贝叶斯公式,特点：某事件的发生用B表示，该事件发生的所有影响因素A1，A2，An为已知，P(Ai)为先验概率，反映了各种原因发生的可能性，根据以往经验取得数据。条件概率P(Ai|B)称为后验概率，反映B事件发生之后对各种原因Ai发生可能性大小的新信息。通过贝叶斯公式可以知道导致B事件发生的原因是什么？其中哪些因素影响最大？,第二节离散型随机变量的概率分布,一、概念离散型随机变量的概率分布是由离散型变量所有可能的取值（xi）及其相应的概率组成，反映了随机变量各个取值可能性的大小及其分布状况和分布特征。二、特征（1）随机变量的任意取值都在0-1之内，即（2）随机变量所有取值的概率和等于1，即,数学期望值：随机变量各个取值Xi与相应的乘积之和，反映分布的中心位置，即度量集中趋势。方差：随机变量各个取值Xi与之数学期望离差平方和的数学期望值，反映分布的离中程度，即度量离散趋势。,三、度量方法,四、常用的离散型随机变量分布分布,（一）二项分布概率分布：在每个n重贝努里试验中，设每次试验“成功”的概率为P（P值不变），“失败”的概率为q=1-p，则“成功”次数X是一个离散变量，它的可能取值是0,1,2,n。则随机变量X的分布为：,数学期望：方差：,概率分布：在一次内努里试验中，成功的次数X只可能取0与1两个值的离散型随机变量，二点分布是二项分布的一个特例（n=1,只含一个参数p),随机变量的分布为,（二）二点分布,数学期望：方差：,概率分布：,（三）泊松分布,数学期望：方差：,泊松分布是由法国数学家泊松首先发现的，该分布在社会经济工作和企业管理中有着广泛的应用。,满足条件：设X为一个连续型随机变量，且则X的概率密度函数必须满足：（1）概率密度函数曲线总是位于X轴的上方，即（2）对应于x的取值域概率密度函数曲线之下的面积（以积分形式表示）等于1，,第三节连续型随机变量的概率分布,23,数学期望：方差：,几种概率分布,正态分布,分布,F分布,t分布,均匀分布,（一）正态分布,若随机变量X的概率密度函数,记为,一般正态分布,当时，记为UN（0，1）,标准正态分布,标准正态分布:,非标准正态分布向标准正态分布的转化若标准化因子则UN（0，1）,查表当u大于零时，可查正态分布表但如果u0时，则可由式（-u）=1-（u）求出,曲线的图形是一个单峰钟形曲线，关于直线对称。曲线在处达到最高点，且与横轴之间的面积等于1。正态分布的随机变量落在中的概率分别为0.6826，0.9545和0.9973。均值、中位数和众数三者重合。正态分布曲线由确定，反映正态分布的中心位置；反映分布的离散程度，越小，密度曲线就越尖、越高。越大，密度曲线就越平坦。,正态分布概率密度曲线的特点：,（二）均匀分布,定义：如果随机变量X具有如下的概率密度函数：,数学期望：方差：,(三）分布,定义：相互独立且均为服从N（0，1）分布的随机变量，则称随机变量所服从的分布是自由度为n的分布，且记为。,数学期望：方差：,2分布图,定义设随机变量U服从标准正态分布，随机变量W服从自由度为n的分布，且U与W相互独立，则称随机变量服从自由度为n的t分布，记为Tt（n）。,（四）t分布,数学期望：方差：,t分布图,查表性质:当n很大时，此时，t/2u/2，t分布近似标准正态分布。,（五）F分布,定义：设相互独立的随机变量V和W分别服从自由度为n1,n2的分布，即，则随机变量服从F分布。n1，n2分别是它的第一自由度和第二自由度，且通常记为:,F分布图,性质,数学期望：方差：,