高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解

高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 1 第一章 函数、极限、连续 第 1 节 函数 基本内容学习 一 基本概念和性质 1 函数的定义 设有两个变量 和 ，变量 的变域为 ，如果对于 中的每一个 值，xyxDx 按照一定的法则，变量 有一个确定的值与之对应，则称变量 为变量 的函y 数，记作： 。 yf 2 函数概念的两要素 定义域：自变量 的变化范围对应关系：给定 值,求 值的方法。x xy 3 函数的三种表示方法 显式：形如 的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的yfx 形式。 隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如 ，如椭圆函数 。(,)0Fxy21xyab 参数式：形如平抛运动的轨迹方程 称作参数式。参数式将两个2 xvtyg 变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。 4 函数的四个基本性质 奇偶性：设函数 在对称区间 上有定义，如果对于 恒有fxXxX 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 2 ()fx (或) ，则称 为偶函数(或 奇函数)。注：偶函数 图形()fxfxfxfx 关于 轴对称，奇函数 的图形关于坐标原点对称。yf 有界性：设函数 在区间 上有定义,如果 ,使得对一切 ,恒fxX0MxX 有： ,则称 在区间 上有界；若不存在这样的 ，则称 在fxMf f 区间 上无界.注：函数 有无界是相对于某个区间而言的。Xfx 周期性：设函数 在区间 上有定义,若存在一个与 无关的正数 ，fXxT 使对任一 ，恒有 则称 是以 为周期的周期函数，把满xfxTffxT 足上式的最小正数 称为函数 的周期。f 单调性：设函数 在区间 上有定义，如果对 ,恒有：fxX1212,xXx (或 )则称 在区间 上是单调增加 (或单调减少)的；12fxf12fffx 如果对于 ,恒有： (或 )则称 在区间1212,xXx12ff12fxffx 上是严格单调增加(或严格单调减少)的。X 5 其它函数定义 复合函数：设函数 的定义域为 ，而函数 的定义域是yfufDux 值域为 ，若 ，则称函数 为 的复合函数，它的定义DZfDZyx 域是 。这里 表示空集。x()fx且 反函数：设函数 的值域为 ，如果对于 中任一 值，从关系yxfZfZy 式 中可确定唯一的一个 值，则称变量 为变量 的函数，记为：yfx x ，其中 称为函数 的反函数，习惯上 的反函数记为：yyfxyfx 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 3 。1yfx 6 初等函数 常值函数 ( 为常数)，CxR 幂函数 ，定义域由 确定，但不论 如何，在 内总yx(0,) 有定义。 指数函数 ( 且 ) xya01xR 对数函数 ( 且 ) logxa(0,) 三角函数 如 ； ； ,sin,ycosyxtanyx ； 等(),2xkkZt,(,1)kkZ 反三角函数 ； ； , ； , .arcsin,yx1,arcos,yx1,arctnyxRarcotyxR 以上六类函数称基本初等函数。 由基本初等函数经有限次加、减、乘、除、复合而成的函数称初等函数。 7 分段函数 一个函数在其定义域内，对应于不同的区间段有着不同的表达式，则该函 数称为分段函数。分段函数仅是说函数的表示形式，并不是说它是几个函数。 常见的分段函数： 符号函数 10,sgn.xy当当当 取整函数 表示不超过 的最大整数； ,当 ，其中 为xxxn1xnn 整数。 狄利克莱(Dirichlet) 函数 10yfx当 为 有 理 数 时 ,当 为 无 理 数 时 . 绝对值函数 ,x 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 4 基本题型训练 一 典型例题 1 判断函数的等价性 例 1.1 下列各题中，函数 与 是否相同？为什么？()fxg (1) (2) 2()lg,l;fx2(),();fxgx (3) ；(4) ；343()121sectan 解：(1)不相同，因为 的定义域是 ，而 的定义域是2lgx(,0)(,2lgx 。(0,) (2)不相同，因为两者对应法则不同，当 时， 。x() (3)相同，因为两者定义域、对应法则均相同。 (4)不相同，因为两者定义域不同。 2 求函数的定义域 例 1.2 设 的定义域为 则 的定义域为多少？(1)fx0,()a(fx 解：函数 的定义域是指 的变化范围，即x 。故对函数 而言， 的变化范围为 ，01,1xatt令 则 ()ft1,a 由函数表达式的“变量无关性” ，知： 的定义域为 。1,a 常见错误： 。主要是对定义域所指的变量取值范围理解不深，误认1, 为 ，由此得到 。0 xa1xa 3 判断函数奇偶性 例 1.4 下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？ (1) (2) 2sin,xye 2log(1)ayx(0,1)a 解：(1)因为 为奇函数， 为偶函数，所以 为奇函数。sinx2x2sinxye (2) ,221()log(1)loglog(1)(aaaf xf 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 5 故 为奇函数()fx 4 判断函数的周期性 例 1.5 下列哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期。 (1) (2) cos(2)yx1sinyx 解 (1) 是周期函数，周期为 ；2 (2) 是周期函数，周期是 21sinyx 5 判断函数单调性 例 1.6 设 在 上有定义，且对任意 ， 有()fx,)x(,)y 证明 在 上单调增加。()fxy(Fxf(,) 证明：设 所以 ，1212,)x212121(fxfxx 而 所以 所以21()(ffffx)()f 12Fx 即 在 上单调增加。(),) 6 求反函数 例 1.7 求函数 的反函数1xy 解：令 ，则 。所以 ， 即 ，所以tt1yt1yx ， 2214()yyx 所以反函数 即为所求。2()x 7 复合函数求法 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 6 例 1.8 设 则 等于多少？1,0(),2xf2,0()xg()fgx 解：当 时， ，所以当 时有 ；0 xgf1 当 时， 所以 时有 ，故2()0 xx2()gx 。21,()fgx 注：求复合函数一般用三种方法：分析法，代入法，图示法。本题用的是 分析法，下面分别介绍这三种方法。 (1)分析法：是抓住最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式 及中间变量的定义域进行分析，从而得出复合函数的方法，该法适用于初等函 数与分段函数或分段函数之间的复合。 (2) 代入法：将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种 构成复合函数的方法，称之为代入法，该法适用于初等函数或抽象函数的复合， 这种方法在求复合函数时一般最先想到。 (3) 图示法：借助于图形的直观性达到将函数复合的一种方法，适用于分 段函数，尤其是两个均为分段函数的复合。关于图示法解题的一般步骤如下： 先画出中间变量函数 的图形；ux 把 的分界点在 平面上画出(这是若干条平行于 轴的直线)；yfuo x 写出 在不同区间段上 所对应的变化区间；x 将所得结果代入 中，便得 的表达式及相应 的yfuyfx 变化区间。关于这种方法我们会在后面的练习或者能力拓展中用到。 二 能力拓展 例 1 设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， 表示“M 的充分必要N 条件是 N”，则必有 (A)F(x)是偶函数 f(x)是奇函数。 (B)F(x)是奇函数 f(x)是偶函数。 (C) F(x)是周期函数 f(x)是周期函数。 (D)F(x)是单调函数 f(x)是单调函数。 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 7 A 解法一：任一原函数可表示为 ，且 当 F(x)xCdtfF0)()( ).(xfF 为偶函数时， 有 ，于是 ，即 ，也即)(xF)(1()xx )(ff ，)fxf 可见 f(x)为奇函数；反过来，若 f(x)为奇函数，则 为偶函数，xdtf0)( 从而 为偶函数，可见选(A)。xCdtfF0)()( 解法二：令 f(x)=1，则取 F(x)=x+1，排除(B)、(C)； 令 f(x)=x， 则取 F(x) = ， 排除 (D)；故应选 (A)。21x 例 2 设 则 等于 。1,()0 xf()fx (A) 0 (B)1 (C) (D) 1,0 x0,1x 解：由 1 得， 1，故应选(B)()fx()fx 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 8 函数理论框架图 第 2 节 极限与连续性 基本内容学习 一 基本概念 1 极限的概念 定义 2.1 一个正整数 ,当 时，恒有 lim0,nxaNn 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 9 。若 存在极限，称 收敛，否则称 发散。nxanxnxnx 定义 2.2 一个整数 ，当 时，有lim()0,xfaX()fxa 定义 2.3 正数 ，当 时，有0li ,xf 0 xf 2 数列、函数极限的基本性质与相关定理 定理 2.1(极限的不等式性质) 设 ， 若 ，则 ，当 时， ；若 时，limnxalinybaNnnxyN ，则 。nxyb 定理 2.2(极限的唯一性) 设 ， 则 。limnxlinxba 定理 2.3(收敛数列的有界性)设 收敛，则 有界（即 ） 。0,12,nMx常 数 定理 2.4(极限的不等式性质) 设 ， 若 则 0，0li()xfA0lim()xgBA 当 时 ；若 ( )，则 。0 x()fxg()fg 推论(极限的保号性) 若 ,则存在一个 ，当0li,0 xf或 0 时， (或 )。00,xxff 定理 2.5(极限的唯一性) 设 ， 则 。0limxfA0li(xfBA 定理 2.6(夹逼准则) 设在 的领域内，恒有 ，且0 xfx ，则 。00limlixxA0lixf 定理 2.7(单调有界准则) 单调有界数列 必有极限。nx 3 函数连续性定义 定义 2.1 设函数 在 的某领域内有定义，给 在 处以增量 ，相应fx0 x0 x 地得到函数增量 。若极限 ，则称 在 处连yffx0limxyf0 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 10 续。 定义 2.2 设函数 满足条件：(1) 在 的某领域内有定义；(2)fxfx0 存在；(3) 则称 在 处连续。0limxf00limxf 定义 2.3 若 在 内任一点均连续，则称 在 内连续。f,abfx,ab 定义 2.4 若 在 内连续，在 处右连续( 即 )，在fx,xalimxaff 处左连续( 即 )，则称 在 内连续。xblimxbfff,b 4 间断点及分类 间断点定义 若 在 处出现以下三种情形之一：fx0 (1) 在 处无定义；(2) 不存在；(3) 。则称 为fx0 0limxf00limxffx0 x 的间断点。f 间断点 的分类：第类间断点 均存在。其中若0 x00,fxf ， 称为可去间断点。若 , 称为跳跃0fff0 x0fxf0 x 间断点。 第类间断点： 至少有一个不存在。若 之中有一00,fxf 00,fxf 个为 ，则 称为无穷间断点。0 x 5 闭区间上连续函数的性质 (1)(连续函数的有界性)设函数 在 上连续，则 在 上有界，fx,abfx,ab 即 常数 ，对任意的 ，恒有 。0M,xabfM (2) (最值定理) 设函数 在 上连续，则在 上 至少取得最大值f, ,abfx 与最小值各一次，即 使得：, max,bffabmin,axbffab 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 11 (3) (介值定理 )若函数 在 上连续， 是介于 与 (或最大值fx,abfafb 与最小值 )之间的任一实数，则在 上至少 一个 ，使得Mm, 。.fab (4) (零点定理或根的存在性定理 )设函数 在 上连续，且fx,ab ，则在 内至少 一个 ，使得0fab,ab0.f 5 无穷小及其阶 (1)无穷小与无穷大的定义 定义 2.5 在某一过程中以零为极限的变量称为无穷小（量） 。 一个 ，当 时，恒有 。lim0,xf0XxXfx ，当 时，恒有 。0li ,xf0f 定义 2.6 在自变量的某一变化过程中，若函数 的绝对值无穷增大，则fx 称函数 为无穷大量。fx 一个 ，当 时，恒有lim0,xM0XxX.fxM 一个 ，当 时，恒有0li ,xf 0.f (2)无穷小与无穷大、无穷小与极限的关系 ；0 0li(),()x xfAfx其 中 lim 在同一极限过程中， 。 1()()fffxxf为 无 穷 小 ， 则 为 无 穷 大为 无 穷 大 ， 则 为 无 穷 小 (3)无穷小阶的概念 定义 2.7 设在同一极限过程中， 、 为无穷小且存在极限x 。00()()lim,lixx 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 12 若 ，则称 是比 高阶的无穷小，记为lim0 xx.xo 若 ，则称 是比 低阶的无穷小。lixx 若 ，则称 与 是同阶无穷小。limCx 若 ，则称 与 是等价无穷小，记为 。li1xx 若 ，则称 为 的 阶无穷小。li0,kxCkxk (4)等价无穷小的重要性质 若 ，且 存在，则xa(),()xx()limx()limli() 该结论表明：在求极限过程中等价无穷小因子可以替换。 ( )()xa()()xox (5)确定无穷小阶的方法 利用洛必达法则 确定 使得 ，则 时，0k00()kxfAalimxa 是 的 阶无穷小。()fxak 洛必达法则：法则 ( 型)设函数 满足条件： 0,fxg ； 在 的领域内可导(在 处可除外)且00lim,lixxfg,fxg0 x0 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 13 ； 存在(或 )。则0gx0limxfg00limli.xxffg 法则 ( 型 )设函数 满足条件： ； 一I ,f li,lim0 xxfg 个 ，当 时， 可导，且 ； 存在(或 )。0XxX,fxg0g0lixf 则 00limli.xxffg 法则( 型) 设函数 满足条件： ；,fxg00lim,lixxfg 在 的领域内可导(在 处可除外)且 ； 存在(或,fxg0 x0g0lixf )。则 同理法则 ( 型)仿法则 可写出。00limli.xxffgII 泰勒公式 。 ()()() ()!nnnfafafxxoxa 若 则 。 1()()0,()nnfaff ()()!nnnff 因此 是 的 阶无穷小(后面章节还会讲到)。fx( 利用无穷小的运算性质 如若 时， 分别是 的 阶xa,fxgxan 与 阶无穷小，则 是 的 阶无穷小，当 时，mfxg()nmnm 是 的 阶无穷小。fxgan 本章需要记忆知识 1 重点概念、性质 函数的定义、函数连续的定义、间断点及其类型、夹逼准则、单调有界准 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 14 则等。 2 重点公式 ； 100sin 1lm1,li(lim)xxxxxee或 常用极限： 特例linlin liarct2xliarctn2xliarcot0 x o0elixe01 基本题型训练 1 求复合函数 例 设 ，求 。2,0,1,1xxeffx 解：由题设 分以下情况讨论。,xf (1)当 时，1x 或 ， 即0,201.x 或 ， 即2,1xx22.xx (2)当 时， 或 ， 即0,21xx010.xx 或 ， 即2,22.x 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 15 综上所述， 21 ,0,2xxef 2 利用函数概念求函数表达式 例 已知 ，求 。()1sinxfex()f 解：令 ，则 。于是 从而tlt1lnsi(l)ttt 。()1lnsi(l)fxx 注：设 ，其中 是已知函数，则有两类问题：一是已知f()x ；二是已知 。f求 f求 若 f 是已知，并存在反函数，则 。1()()xf 若 已知，并存在反函数，令 ，则 ，从而t1t ，即 。1()()ftt1()()fx 因此，这两类问题都是求反函数问题。 3 求未定型函数极限 例 求下列极限 解：原式 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 16 原式 1 原式 原式 ( ) 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 17 4 求变限积分不等式的极限 例 求极限 203()limxtxted 解：原式 = 222 224 400001818141()li lilimli0333 8xxxxtt t t xx x xededede 注：在验证条件 时，要用到以下结论:若 连续，又()0limxft ()f ，则 。li()xfA也 可 为 li()x()0lixftd 5 由极限确定函数中的参数 例 确定 的值，使 ,abc 解：当 时，由 可得 原式 同理可得 故原式 故 c= 12 例 试确定常数 的值，使极限 存在，并求该 极限值. 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 18 解：原式 存在 由 可得 ，即 则原式 同理由 可得 ，即 所以原式 6 利用函数收敛准则求极限 例 1 (利用夹逼准则) _ _ 解： 且 又 由夹逼原则可得原式 例 2 (利用单调有界准则) 若序列 的项满足： ( 为正的常数)，且 ，(这na1a12nnaa 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 19 里 )。1,2n 试证 有极限，并求出它。na 解：由 ，又 ，121121aaa 今用数学归纳法证 。这只须注意到：k 。 212kkkkaaa 又 ，故 单调且有下界，从而其极限 21 02nnnna ( 时) 存在，令其为 。A 由 有 即 ，12nnaa1limli,2nnaa12aA 即 ，A 所以 。从而0ali.na 7 求 n 项和数列的极限 例 求 2siinsinlm 11n 解： 2sinsin1 12(sinsin) 1sin 且 ，故由夹逼定理原式1limsinn2 8 求 n 项积数列极限 例 当 时，0 xlicoscos242nnxx 原极限 limsinnx12co(cosin)42lisinnx 211c(csi)limsin2nnxx sil2nnxinxsinilm2x 9 利用函数极限求数列极限 例 求 21lim(tan) 解：因为 可化为求 1tanlitli,n21lim(tan)x 又因为 ，其中 而21lim(ta)xn 3tant0tali(1)t :0lita 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 21 ，故原式=23 2000 1tan(1cos)()1coslimlilim33t tttt13e 10 无穷小的比较与无穷小的阶的确定 例 设函数 ，则 f(x)在 内nxxf31li)(),( (A) 处处可导 (B) 恰有一个不可导点 (C) 恰有两个不可导点 (D) 至少有三个不可导点 C 解：先求出 f(x)的表达式，再讨论其可导情形当 时，1x ；1lim)(3nxxf 当 时， ；1lim)(nxf 当 时，1x .)(li313xxf nn 即 可见 f(x)仅在 x= 时不可导，故应选 (C).1,)(3xf 1 11 函数连续性与间断点类型的讨论 例 判断 间断点并判别类型 解：当 时， 当 时， 当 时， 即 ， 所以 为函数 第一类间断点 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 22 12 有关极限的证明 例 设 在 连续, ,求证()fx0lim()0 xfA0lim()xftd 证明因 ，由极限的不等式性质可知，li2xA,(),XfX当 时 则 时 有 ，因此000()()()()2xXx AftdtftdftxXlimx 注： 若 ，0,lim()xAft则 类似可知，若 。xd则 13 利用泰勒公式求极限 例 求下列极限(关于泰勒展式有关内容可参见第三章) (1) ； (2) ； 240coslimnxxe21limln()xx (3) ； (4) ； 250li1()xx230li(lx 解 (1) 2 24400coscoslilinxxee 分母的次数为 4， 只要把 ， 展开到出现 的四次幂即可。sx2xx 241cos()!xo 2224ex 故 原极限 401()1!8lim2xo 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 23 (2) 的展开式只要取到 2 项即可1ln()x 1()ox 原极限 2221lim(lim()2x xo (3) 分子关于 的次数为 2。 1 25511()()()5()!xxxo 2o 原极限 20 1lim1()2xxx (4) 2lnlln(1)l() 232311()()()()xxxxoo 3 332311()()2xxox 故 230lim(lnx 练习题一 1 填空题 (1) 已知 则 _ (2) 设函数 有连续的导函数， ， ,若 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 24 在 处连续，则常数 (3) 设当 时， = 为 的 阶无穷小，则 (4) (5) 已知 ，则 ， (6) _ _ (7) 2223331lim( )n n (8) = ( 和 为正整数且 )linxmnmn (9)设 在 处间断，则 a 与 b 应满足的关系是 2,0()siabxfx 2 选择题 (1) 若函数 在 处连续，则 的值是 (2) 设 其中 则必有 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 25 (3) 函数 在定义域内为21xf (A)有上界无下界 . (B)有下界无上界. (C)有界,且 . (D)有界且1fx 21x (4) _322lim()x (A) (B) (C) (D)414 (5) 则 _ ,()21,xf1lim()xf (A)1 (B)0 (C) (D)不存在 (6) 设 ,则_ 3()sinxf (A) 有无穷多个第一类间断点, (B) 自由一个可去间断点 (C) 有两个跳跃间断点 (D) 有 3 个可去间断点 3 计算与证明 (1) 求极限 0(1)limnx (2) 设 试讨论 在 处的连续性和 可导性. (3) 试确定常数 的值，使极限 存在，并求 该极限值. 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 26 (4) 设 ，且 是 的可去间断点，求 的值。 (5) 设 求 的值。 (6) 设 在 的某邻域内二阶可导，且 求 及 (7) 设 是三次多项式，且有 ，求()fx24()()limli1(0)xaxaffa 。3()limxaf (8) 设函数 在开区间 内连续，且 ，试证：()fx(,)ab12,(,)nb ，使(,)b 。12()()()nffffxn (9) 设 在 上连续，且 ，证明： 一个 ，使得x,x()f (10) 设 ， 在 上连续，且 ，则在()f(gx,ab(),()fagfb 内至少 一个 ，使：(,)ab)f (11)证明方程 恰有 3 个实根.3910 x (12)求复合函数 设 ,求2 ,0,2xfx,fxf 参考答案 1 (1)-1 (2)a+b (3) ， (4) (5) , 6 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 27 (6) 2 (7) 13 (8) (9) mnab 2 (1) (A) (2) (D) (3) (C) (4) (A) (5) (D) (6) (D) 3 (1) (2) 1 (3) , (4) , (5) , (6) (7) 9212 (8) 提示：用介值定理 (9) 提示：辅助函数 ，用零点定理 ()Fxf (10) 辅助函数 ，利用介值定理 fg (11) 可利用零点定理 (12) 可利用前面讲到的求复合函数当中的图示法 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 28 极限理论框架图 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 29 第二章 一元函数微分学 本章要求 1 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义， 会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一 些物理量( 数三、数四不要求)，理解函数的可导性与连续性之间的关系。( 数三、数四增加要求了解经济意义（含边际与弹性的概念） 。 2 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的 导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微 分。 3 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4 会求分段函数的导数，会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数 的导数。( 数三、数四参数方程求导不要求) 5 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理泰勒定理，了解并会用(数三、 数四不要求)柯西中值定理。 6 掌握用洛必达法则求未定型极限的方法(数三、数四会用洛必达法则求 极限) 。 7 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方 法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 8 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直 和斜渐近线，会描绘函数的图形。 9 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径(数三、数四不要 求)。 第 1 节 导数与微分 基本内容学习 一 基本概念与定理 1 导数的概念 定义 1(函数在某点的导数)：设函数 在 的领域内有定义，给 在()yfx0 x 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 30 处以增量 ，函数 和相应地得到增量 ，如果极0 x(0)xy00()(yfxfx 限 (1) 存在，则函数在点处可导，该函数值00()limlixxffxy 称为函数在 处的导数，记为 ， ， 即 0f0()yx 0 xdy 令 ，则 (1) 00()()lilixxfxyf 00()limxff 定义 2(左右导数) ：函数 在 处的左、右导数分别定义为()fx0 左导数 00 00 0()()(li lim,()x xffxf x 右导数 00 00()()()limlix xfxfff 定义 3(函数在区间上可导)：如果 在 内每一点均可导；则称该()yf,ab 函数在 内可导；若 在 内可导，且在 和 处分别具有右(,ab()yfx,abxb 导数 和左导数 ，则 在 上可导。)f()fb 2 导数的几何意义与物理意义 导数的几何意义：导数 在几何上可表示曲线 在点0()fx ()yfx 处的切线斜率，曲线 在点 的切线方程及法线方程分别是0(,)Mxf yfM 及 ( ) 00()yfx001()fx0 x0f当 时 导数的物理意义： 设 表示直线运动，其中 表示位移，t 表示时刻，st s 则 表示在时刻 t 的瞬时速度， 表示在时刻 t 的加速度。如果()dsvft dvat 表示物理上的其他量，即导数 表示该量的变化量。yfx 0()yfx 3 微分的概念 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 31 定义 4：如果函数 在点 x 处的某邻域内有定义，当自变量在点 x 取()yf 得增量 时，函数的增量 可表示为 其中 A 是与 无关的量，xyAx 是当 时比 高阶的无穷小，则称 在 x 处可微， 称为 在0x()f ()f 点 x 处的微分，记为 或 ，即 (1)由于当 x 为自变量时，dy()fxd ，同时可证 ，所以(1)又可写成 (函数的一阶微分与其d()fA)yfd 导数的关系)。 二 基本定理 1 与导数有关的几个基本定理 (1)可微与可导之间的关系: 函数 在 x 处可微 在 x 处可导()f ()f (2)可导与连续的关系：若函数 在点 处可导，则 在点 x 处y0()yf 连续，但函数连续不一定可导。 (3)导数与左右导数的关系： 存在 。0()fx00()()fxf 基本知识记忆 1 导数的运算法则 四则运算法则：设函数 ， 在点 可导则()ux()vx (1) ()uvdd (2) ()u (3) 2()0vv2v 2 反函数的运算法则 设 在点 的某邻域内单调连续，在点 处可导且 ，则其反数()yfx x()0fx 在点 所对应的 处可导，并且有 。1dyx 3 复合函数的运算法则 若 在点 可导，而 在对应点 ( )可导，则复合函数()x()yfx 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 32 在点 可导，且 。()yfx()yfx 4 基本导数与微分表 (1) （常数） yc0y0dy (2) ( 为实数) ax1x 1x (3) ylnyalndya 特例 ()xe ()xe (4) log,01ayx1lnya1lndya 特例 ln()x ()x (5) siyxcosysincosdd (6) coinx()ixx (7) tanyx221secoy 2tansecdd (8) cot 22inx 2(ot)xx (9) seyxsectayxsectandd (10) cot()otxx (11) arsinyx21yx 21arcsindd (12) co2 2(o)xx (13) artnyx1yx1arctndd (14) cot 2 2(ot)xx (15) yshxychxdshc (16) cs()xsd 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 33 基本题型训练 1 一元函数导数与微分概念的命题 例 设 在 处连续，且 ，求 。()fx11()lim2xf(1)f 解：由导数定义 ，而 在 处连续1()lixff fx 1111()()()limlili()li0 xxxxffff 11()lili2xxfff 2 几类一元函数的导数与微分 例 求下列函数的导数或微分 (1) (2) 设 求arcsinxyeln(13)xydy 解：(1) 221()xxe 21()xxe (2) (3)1xxdyln31xd1x 例 求由参数式确定的函数的导数 设 求 2ln()arcty2,dyx 解： ， tdx参 数 式 求 导 公 式 21t 将该式对 求导，右端先对 求导再乘上 得tdtx = 2dyx复 合 函 数 求 导 法 211()2tdtx反 函 数 求 导 法 21t 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 34 2314t 例 求隐函数的导数或微分 隐函数求导：由方程 所确定的函数 ，称为 是变量 的隐(,)0Fxy()yxyx 函数。 隐函数导数 的求法一般有三种方法：dyx (1)方程两边对 求导，要记住 是 的函数，则 的函数是 的复合函数。yxyx 例如 ， ， ， 等均是 的复合函数。对 求导应按复合函数连锁法则做。1y2lnyex (2)公式法。由 知 其中， ， 分别(,)0F(,)xyFd(,)xFy(,)yx 表示 对 和 的偏导数。(,)Fxy (3)利用微分形式不变性。在方程两边求微分，然后解出 。举例说明如dyx 下： 例 设方程 ，求 。22cos()yxexy 方法一： ，2 2sin()(1)yy 22sin()yxey 方法二： 令 22(,)cos()yFxex 因为 ， inx 2sin()yyFxexy 所以 22(,)sin()yyd 方法三： ，22()(cos)ydxedx2sin()ydxedxydy 22in(si()y 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 35 22sin()ydyxxey 注：关于隐函数的三种方法，大家可以根据具体题目具体分析，采用适合 题目的最好方法。 分段函数的求导 例 确定常数 a 和 b，使得函数 处处可导。2,1()axbf 解：由 在 处可导，得 在 处连续，由表达式知， 在()fx1f1()fx 是左连续的，于是， 在 连续 。1x()fx1lim()li()(1xxfabfab 又 在 可导 ，在 条件下， 可改写成()f 1ff1abf 。于是， = ， ，因此2,()axbf ()fx1xa 21()xf 在 可导 故仅当 时， 处处可导。 ()f11,2.2.aba2,b()f 注：对这类问题的依据是函数在某点可导则在该点处连续；函数在某 点处可导，则在该点处左右导数相等这两个性质，建立两个特定常数之间的两 个关系式，然后再解出来。 3 变限积分的求导 例 设 连续且 ，则 ()fx310()xftdx(7)f 解：这是含变限积分的恒等式，两边对 求导得 ，令3(1)fx2: ，即得2x(7)12f 4 可导与连续命题的讨论 例 讨论函数 ,在 处的连续性与可导性. 220(cos),0()1,s,xxftd 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 36 解：由于函数具有分段形式，我们可分别按定义求出 来讨论(0),f 是否存在。(0)f 按定义 222 0000cos() cos1sin()limlilimli0 xxxx tdff 2 320000()(1)(i)co1()lilillim32x xxxff 因此， ，因此 在 可导,因而也必连续。 ()ff()f 5 导数概念的应用问题 例 求平面曲线的切线方程或法线方程 已知 是周期为 5 的连续函数，它在 的某邻域内满足关系式()fx 0 x ，其中 是当 时比 的高阶无穷小，且(1sin31sin8()f x()x 在 处可导，求曲线 在点 处的切线方程。)xyfx6,)f 解：曲线 在点 处的切线方程 ，由周期性，()yf(6,)(6)(6yf ，(6)1f ，故只需求 与 。又已知只给出 在 处可导，所f 1f(f fx1 以利用导数定义求 由连续性，有 () 即 故 因此，0 0lim(sin)3sinlim8()x xfxf(1)30ff()f 又 001()(1)liliuuff 0 0sinsin8()li limsnx xx 即 ， ( )0 0(sin3sn)8)li liisx xfxfi: 也即 ，故 ，所以要求的切线方程为 。1)8ff(12f 2(6)yx 第 2 节 高阶导数 基本内容学习 一 基本概念 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 37 定义 1 若 导函数 在点 处可导，则称 在点 处的导数为y=f(x)f(x) f(x) 在点 处的二阶导数，记为 ，即 ，同y=f(x) ,2dyf()limx+D-f(x)f() 样可定义函数的 阶导数为 。n11()0limnnnxf 二 高阶导数的求法 直接法：所谓直接法是指求出所给函数的 13 阶或 4 阶导数后，分析所得 结果的规律性，从而写出 阶导数的方法。n 间接法：利用已知的高阶导数公式，通过四则运算、变量代换、泰勒级数 的方法求 阶导数。n 基本知识记忆 常用高阶导数公式 （1） () ()ln(0)exx xnxaa （2） ()sisi2kk （3） ()coco()nxx （4） ()mm-n-1-+ （5） ()()!lnnxx （6）莱布尼兹公式：若 均 阶可导，则 ，()u,vn()()0nin-i=uvcv 其中 ，(0)u=(0)v 基本题型训练 6 求一元函数的 阶导数n 例 1 设 ，求 。ecosxy()ny 解： ，iecosin)2ecos()4xx x 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 38 ，22ecos()esin()(ecos()444xx xy ，2 3()()i()()xx x= ()ecos()4nnxy 例 2 任意可导，且 ，求 。()fx()e,01fxf()0nf 解：对 两边求导得：()efxf ，()2() efxfxf ，2()3()()efxfxf ，(4)3() 4()2efxfxf ，()1()(-!ennnfxfx 所以， ()1(0)10(-)!enn-nfnnf 例 3 设 ，求 32xy().ny 解： 7681(+)+3,(1)2xxx ()()()() 11113820!(1) .(2)()nnnnnnnyx 例 4 设 求si2si3,y().y 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 39 解： 11(cos24)sin2i4(sin6i2)yxxxini6,4()12si()4sin()6sin().22nyxxx 练习题二 1 填空题 (1)曲线 在点(0,1)处的法线方程为 。sin2co txey (2)设函数 ，则函数在点 处的导数为 。 1,0(),2xxef0 x (3)设方程 确定 是 的函数，则 。yxdy (4)设函数 由参数方程 所确定，则 。()32ln(1)xtt2dyx (5)已知 ，则 。0()1fx00lim()()xfxf (6)设 ，则 。0li)xtftt (7) 设函数 由方程 确定，则 。(yecos()0 x+y (8) ，则1()fx().nf (9) 设 为可导函数， ，则f si()yfx.dyx 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 40 (10) 已知 ，则21dfxx1().2f 2 选择题 (1) 设 是连续函数，且 ，则 (2) 设 ，则 在 处可导的充要条件为 存在 存在 存在 存在 (3) 设 ，则使 存在的最高阶数 为32()fxx(0)nf n (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)4 (4) 设 ，则 在 处的_。 32,()fxx()fx1 (A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在，但右导数不存在 (C) 左导数不存在，但右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 (5) 设 是可导函数，且 ，则曲线 在点()fx0(1)lim12xfx()yfx 处的切线斜率为 。(1,)f (A) 1 (B) 2 (C) 0 (D)1 (6) 设函数对任意 均满足 ，且 ，其中 为非零常x(1)(fxaf()fb,a 数，则 (A) 在 处不可导。 ()fx1 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 41 (B) 在 处可导，且 ()fx1(1).fa (C) 在 处可导，且f .fb (D) 在 处可导，且()fx1(1).fa (7) 设 则,0 xf (A) 在 处不连续()fx (B) 存在0 (C) 不存在，曲线 在点(0,0)处不存在切线()f ()yfx (D) 不存在，曲线 在点(0,0)处有切线 (8) 设 在点 处可导，当自变量 由 增加到 时，记 为()yfx0 x00 xy 的增量， 为 的微分， 等于()fxd0limxyd (A) -1 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (9) 设函数 在 上可导，则()fx,) (A) 当 时，必有limxli().xf (B) 当 时，必有 .li()xflimxf (C) 当 时，必有 . lixfli()xf (D) 当 时，必有lim()xflixf (10) 设 在 处可导，则 为任意常数 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 42 为任意常数 3 计算与证明 (1) 已知 ，求 。 (2) 已知 ，其中 有二阶连续的导数， 且 1. 确定 的值，使 在 点连续；2.求 。 (3) 证明 满足方程： (4) 已知当 时， 有定义且二阶可导，问 为何值时 是二阶可导 (5) 已知 ， ，求1()fx1()xyfdyx (6) 设可导函数 满足 式中 为常数，且 ，f(cabf,abab 求 ()fx (7) 设 是 上的非零函数，对任意 有()fx,),(,)xy 且 证明()(fxyfy01()fxf 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 43 参考答案 1 (1) (2) 1 (3) 210 xy 1(ln)dxy (4) (5) 1 (6) (65)t 2tfte (7) (8) sine() xyxy1()2!nx (9) (10) ()cosin(cosi()fffxf 1()2f 2 (1) A (2) B (3) C (4) B (5) A (6) D (7) (8) B (9) D (10) C 3 (1) (2) 1(0)2ng (4) (5) (6) 21dyx2()bcxa (7)已知条件，及导数定义 高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解 44 本章知识网络 本章总结 1 本章难、重点内容 (1