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第四章维度,4.1半导体低维电子系统4.2二维体系中的相变4.3准一维体系的Peierls不稳定性和电荷密度波,4.1半导体低维电子系统1.维度三维自由电子气体，沿z方向对体系的尺寸限制：,z,W,n=1,k,n=2,电子只占据n=1的子带，二维体系n1也占据，准二维体系,2.Si反型层及GaAs-AlGaAs异质结,金属,SiO2,耗尽层,反型层,导带,价带,价带,导带,z,Splitgatesandone-dimensionalelectrongases,Thissplit-gatetechniquewaspioneeredbytheSemiconductorPhysicsGroupattheCavendishLaboratoryoftheUniversityofCambridge,inEngland,in1986,byTrevorThorntonandProfessorMichaelPepper.,3.量子化霍尔效应（QuantumHallEffects(QHE)(1)霍尔效应基础,E.Hall,Am.J.Math.2,287(1879)=Halleffect,根据德鲁特电导理论,金属中的电子在被杂质散射前的一段时间t内在电场下加速,散射后速度为零.t称为弛豫时间.电子的平均迁移速度为:,电流密度为:,若存在外加静磁场,则电导率和电阻率都变为张量,此处,仍成立,有磁场时,加入罗仑兹力,电子迁移速度为,稳态时,假定磁场沿z方向,在xy平面内,易得,如果,则当为0时也为0.,另一方面,由此,当时,为霍尔电导,在量子力学下（E沿x方向）,选择矢量势,波函数为,经典回旋半径,解为：,Landau能级,Intwo-dimensionalsystems,theLandauenergylevelsarecompletelyseperatewhileinthree-dimensionalsystemsthespectrumiscontinuousduetothefreemovementofelectronsinthedirectionofthemagneticfield.,计算平均速度,与经典结果相同.,在Landau能级上,纵向电流为0.,(2)整数量子霍尔效应,1975年S.Kawaji等首次测量了反型层的霍尔电导,1978年KlausvonKlitzing和Th.Englert发现霍尔平台,但直到1980年,才注意到霍尔平台的量子化单位,K.vonKlitzing,G.Dorda,andM.Pepper,Phys.Rev.Lett.45,495(1980)forasufficientlypureinterface(Si-MOSFET)=integerquantumHalleffect,TheNobelPrizeinPhysics1985,forthediscoveryofthequantizedHalleffect.,K.vonKlitzing（1943）,实验设置示意图,实验观测到的霍尔电阻,1,霍尔电阻有台阶,2,台阶高度为,i为整数,对应于占满第i个Landau能级,精度大约为5ppm.3,台阶处纵向电阻为零.,Whentheselevelsarewellresolved,ifavoltageisappliedbetweentheendsofasample,thevoltagedropbetweenvoltageprobesalongtheedgeofasamplecangotozeroinparticularrangesofB,andtheHallresistancebecomesextremelyaccuratelyquantised,由于杂质的作用,Landau能级的态密度将展宽(如下图).两种状态:扩展态和局域态只有扩展态可以传导霍尔电流(0度下),因此若扩展态的占据数不变,则霍尔电流不变.当Fermi能级位于能隙中时,出现霍尔平台.Laughlin(1981)和Halperin(1982)基于规范变换证明：,应用：(a)电阻标准,应用：(b)精细结构常数的测量,(3)分数量子霍尔效应,1982年,崔琦,H.L.Stomer等发现具有分数量子数的霍尔平台,一年后,R.B.Laughlin写下了一个波函数,对分数量子霍尔效应给出了很好的解释.,D.C.Tsui,H.L.Stormer,andA.G.Gossard,Phys.Rev.Lett.48,1559(1982)foranextremelypureinterface(GaAs/AlGaAsheterojunction)whereelectronscouldmoveballistically=fractionalquantumHalleffectR.B.Laughlin,Phys.Rev.Lett.50,No.18(1983),TheNobelPrizeinPhysics1998,RobertB.Laughlin(1950),DANIELC.TSUI(1939),HorstL.Stormer(1949),fortheirdiscoveryofanewformofquantumfluidwithfractionallychargedexcitations.,分数量子霍尔效应:崔琦,Stomer等发现,当Landau能级的占据数,有霍尔平台,分数量子霍尔效应不可能在单粒子图象下解释,引入相互作用,在超强磁场下,电子位于第一Landau能级.其单粒子波函数为,这一状态对应于电子在一由下式给出的面积内运动,Laughlin建议了如下形式的波函数,这一状态的占据数为,Laughlin计算了m=3,m=5时这一波函数的能量,发现比对应密度下CDW的能量要低.这一状态称为分数量子霍尔态,或Laughlin态,当密度改变从而偏离占据数1/3,1/5时,对应于准粒子激发,激发谱具有能隙,准粒子的电荷为分数(1/3,1/5).因此Laughlin态是一个不可压缩的量子液体状态.,FQHE态.绿球代表被暂时冻结的电子,蓝色为代表性电子的电荷密度,黑色箭头代表磁通线.,同IQHE一样,Fermi能级处于能隙位置时,出现FQHE平台.不同之处在于IHQE的能隙来源于单粒子态在强磁场中的量子化,而FQHE的能隙来源于多体关联效应.Haldane和Halperin,利用级联模型,指出Laughlin态的准粒子和准空穴激发将凝聚为高阶分数态,如从1/3态出发,加入准粒子导致2/5态,加入空穴导致2/7态.准粒子由这些态激发出来并凝聚为下一级的态.,P为偶数,对应于粒子型元激发,对应于空穴型元激发,级联模型的特点:1.无法解释那一个子态是较强的态.2.几次级联后,准粒子的数目将超过电子的数目.3.系统在分数占据数之间没有定义.4.准粒子具有分数电荷.,复合费米子模型(CF)一个复合费米子由一个电子和偶数个磁通线构成.复合费米子包含了所有的多体相互作用.FQHE是CF在一个有效磁场下的IQHE.CF具有整数电荷.CF模型可以给出所有观察到的分数态,包括这些态的相对强度及当减小温度,提高样品质量时出现的次序.CF指出:v=1/2态,对应的有效磁场为0,是具有金属特征的特殊状态.,新进展,观察到分数电荷涨落.FQHE的GinsburgLandau理论.费米,玻色和分数统计.边缘态和共形场论.,利用一维结观察分数电荷C.L.KaneandM.P.A.Fisher,ShotintheArmforFractionalCharge,Nature389,119(1997).,TheQuantumHalleffect(QHE)isoneexampleofaquantumphenomenonthatoccursonatrulymacroscopicscale.ThesignatureofQHEisthequantizationplateausintheHallresistance(Rxy)andvanishingmagnetoresistance(Rxx)inamagneticfield.TheQHE,exclusivetotwo-dimensionalmetals,hasledtotheestablishmentofanewmetrologicalstandard,theresistancequantum,thatcontainsonlyfundamentalconstant.Aswithmanyotherquantumphenomena,theobservationoftheQHEusuallyrequireslowtemperatures(previouslyreportedhighesttemperaturewas30K).Ingraphene,asingleatomiclayerofgraphite,however,wehaveobservedawell-definedQHEatroomtemperatureowingtotheunusualelectronicbandstructureandtherelativisticnatureofthechargecarriersofgraphene.,Room-TemperatureQuantumHallEffectinGraphenePI:PhilipKim,DepartmentofPhysics,ColumbiaUniverstySupportedbyNSF(No.DMR-03-52738andNo.CHE-0117752),NYSTARDOE(No.DE-AIO2-04ER46133andNo.DE-FG02-05ER46215),andKeckFoundation,NHMFL,T=300KB=45T,Novoselov,K.S.;Jiang,Z.;Zhang,Y.;Morozov,S.V.;Stormer,H.L.;Zeitler,U.;Maan,J.C.;Boebinger,G.S.;Kim,P.andGeim,A.K.,Science,315(5817),1379(2007).,Figure:Magnetoresistance(Rxx)andHallresistance(Rxy)ofgrapheneasafunctionofthebackgatevoltage(Vg)inamagneticfieldofB=45Tatroomtemperature.,4.2二维体系中的相变,连续相变的描述：序参量非零零维度对相变、临界行为有重要影响一维体系，T0时，体系总是无序，不存在长程序，无相变二维体系？相变取决于序参量的自由度数N=1,有相变，如二维Ising模型N=3,无相变，如二维Heisenberg模型N=2:序参量为零，但可有准长程序，Kosterlitz-Thouless(K-T)相变相变概念的拓宽,序参量自由度n=2的二维系统：自旋X-Y模型，二维超流体、二维超导体及二维晶体等,低温下，自旋的关联随距离作代数式的衰减。对有限尺寸的样品，二维X-Y模型的低温相就呈现出表观的长程序（准长程序），到高温，则为没有长程序的无序相所取代，期间有无相变？,1970年：Brezinskii提出涡旋对松解所对应的连续相变思想(Z.Eksp.Tev.Fiz.,59,907(1970)1973年：Kosterlitz和Thouless讨论二维超流相变，独立提出类似想法并发展为较完整理论（J.Phys.C,6,1181(1973),基本思想：拓扑缺陷(如涡旋（Vortex)介入的相变,拓扑激发：二维点阵格点：格点i上的自旋与X轴夹角为通过任意一些格点，划一闭合回路L，沿此回路逆时针方向绕行一周，相邻两格点的方向角之差：,拓扑激发和非拓扑激发可分开来讨论,自旋涡旋,正涡旋,负涡旋,拓扑性元激发之间的相互作用,二维静电场,二维点电荷：,K-T相变,正涡旋,负涡旋,涡旋对,低温下，正负涡旋构成束缚对，对长程的自旋排列影响不大，系统具有拓扑长程序。高于某临界温度，系统中产生大量的单个涡旋，导致拓扑长程序被破坏。,考虑低温下存在具有有限能量的束缚涡旋对（可由热激发，不破坏长程的自旋序),涡旋对类似于屏蔽正负电荷相互作用的电介质的作用K-T理论是对屏蔽效应的重正化群的处理。自由能的第n级微商在相变点出现突变就称为第n级相变K-T相变是无穷级,Twodimensionalhelium,Sinceheliumisattractedtoalmostanything*,itwillforma2Dfilm.Mostlong-rangeorderisforbiddenin2D(Mermin-Wagnertheorem),e.g.BECnotallowedforT0becausethesystemissusceptibletolong-rangephasedecoherence.However,itdoesbecomeasuperfluid.ThetransitioniscalledtheKosterlitz-Thoulesstransition.Superfluid-normalfluidtransitioniscausedbyvortex-anti-vortexunbinding.KTpredictsalgebraicdecayofsingleparticledensitymatrix,*exceptforCs,2dheliumenergetics,Incontrastto3Dtheenergyisasmoothfunctionoftemperature.BumpinCvabovethetransition.Nofeatureatthetransition(onlyanessentialsingularity),4.3准一维体系的Peierls不稳定性和电荷密度波,1.一维体系导电聚合物、金属卤化物、KCP晶体、过渡金属三硫化合物、电荷转移有机复合物、有机超导体Bechgaard盐(TMTSF)2X,有机铁磁体m-PDPC,半导体纳米线或量子线2.一维晶格的能带和布里渊区,constantchargedistributionparabolicenergybandsfilleduptotheFermiwavevectormetallicconductivity,格点原子对电子的散射(电声相互作用)：,3.Peierls不稳定性对于半满能带的一维晶格，等距离的原子排列是不稳定的，要发生二聚化，晶格周期变为2a.此时布里渊区边界与费米面重合，电子能量降低，系统更稳定。,低温下，一维体系处于二聚化的半导体或绝缘体状态，不导电。温度升高，电子获得热能，费米面上的能隙消失，一维体系变成导体，Peierls相变。,4.电荷密度波(CDW)一维体系发生Peierls相变后，晶格周期由a变为a,形变后周期为a的晶格称之为超晶格。电子密度在这一新的周期场中重新分布，称为CDW,波长a.,CDWstatespatiallymodulatedchargedensityenergygapattheFermienergysemiconductingconductivity,考虑电子之间的相互作用，需计入电子的自旋，正负自旋电子的CDW位形可以不同，。此时将会导致体系中出现自旋密度的起伏，即自旋密度波(SDW).,不仅一维电子晶格相互作用体系会出现CDW,其他体系也会存在,
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