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专题五化“斜”为“直”,化“斜”为“直”,通常在解直角三角形一章时用这种方法较多,即通过作垂线或平行线把斜三角形转化为直角三角形,通过解直角三角形达到解斜三角形的目的.其实化“斜”为“直”的方法还可以推而广之,用它来解决其他的数学问题也很有效.当然,化“斜”为“直”仍是转化思想的一种具体应用.因为我们平时储备的有关直角三角形知识和方法较多,通过作垂线或平行线“构造”出直角三角形,把我们相对不熟悉的问题转化为熟知的问题,这样做必然利于解题.安徽中考中这类试题几乎每年都能多次遇到,如2015年第18题,2016年第19题、第22题,2017年第6题、第17题等.,类型1,类型2,类型3,解直角三角形中化“斜”为“直”典例1如图,防洪大堤的横断面是梯形ABCD,其中ADBC,坡角=60,汛期来临前对其进行了加固,改造后的背水面坡角=45.若原坡长AB=20m,求改造后的坡长AE.(结果保留根号),【解析】过点A作AFBC于点F,在RtABF中求出AF,然后在RtAEF中求出AE即可.,类型1,类型2,类型3,【名师点拨】解答本题的关键是过点A作AFBC于点F,从而把关于斜ABE的问题转化为两个直角三角形(RtABF和RtAEF)的问题.其实这种通过作垂线或平行线把斜三角形化成直角三角形的方法在解直角三角形问题中极为常见,注意学习体会.,类型1,类型2,类型3,平面直角坐标系中化“斜”为“直”典例2如图,二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(3,0),B(0,3)两点.(1)求b,c的值;(2)点P为二次函数y=-x2+bx+c的图象在第一象限部分上的一动点,其横坐标为x(00,h30).求证:h1=h3.,【解析】我们可以认为这里的正方形ABCD是“斜放”在一组平行线中,正因为“斜放”才给我们带来难度,我们通过“过点A作AFl3分别交l2,l3于点E,F,过点C作CHl2分别交l2,l3于点H,G”即可实现“化直”的目的.,类型1,类型2,类型3,【答案】过点A作AFl3分别交l2,l3于点E,F,过点C作CHl2分别交l2,l3于点H,G.四边形ABCD是正方形,l1l2l3l4,AB=CD,ABE+HBC=90,CHl2,BCH+HBC=90,BCH=ABE.同理BCH=CDG,ABE=CDG,AEB=CGD=90,ABECDG(AAS),AE=CG,即h1=h3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1.如图,要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯,路灯的灯臂CD长为2米,且与灯柱BC成120角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的中轴线DO与灯臂CD垂直,当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳.此时,路灯的灯柱BC高度应该设计为(),D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,2.(2018四川绵阳)在平面直角坐标系中,以原点为对称中心,把点A(3,4)逆时针旋转90得到点B,则点B的坐标为()A.(4,-3)B.(-4,3)C.(-3,4)D.(-3,-4)【解析】如图,由旋转的性质可得AOCBOD,OD=OC,BD=AC,又点A的坐标为(3,4),OD=OC=3,BD=AC=4,B点在第二象限,点B的坐标为(-4,3).,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,C,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,【解析】如图,作FNAD,交AB于点N,交BE于点M.四边形ABCD是正方形,ABCD,FNAD,四边形ANFD是平行四边形,D=90,四边形ANFD是矩形,AE=3DE,设DE=a,则AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,4.如图,ABC纸片中,C=90,AC=3,BC=4,在ABC纸片中剪取一个DEF,使得EDF=90,DE=2DF,且D,E,F分别在AB,AC,BC边上,则AD的长为(),A,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,5.如图,等腰直角DEF的斜边中点O与等腰直角ABC的斜边的中点重合,D,E两点分别在AB,BC上.已知AB=4,AD=1,则DEF的面积为.【解析】连接CF,易证AODCOF,FCO=A=45,FCE=90,DEB+FEC=90,DEB+BDE=90,BDE=FEC,又DE=EF,RtBDERtCEF,BD=EC.AB=4,AD=1,BD=3,BE=1,5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,6.如图,已知点O是矩形ABCD的对称中心,另一与矩形ABCD全等的矩形EFGO的一个顶点与点O重合,从图1位置开始绕点O逆时针旋转(旋转角00)的表达式;(2)试比较y1,y2的大小.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,11.P为平行四边形ABCD内一点,分别连接PA,PB,PC,PD.(1)如图1,若PA=AD,DAP=DCP=90,求ABP的度数;(2)如图2,设PAB的面积,PBC的面积,PCD的面积,PAD的面积分别为S1,S2,S3,S4,求证:S1+S3=S2+S4;(3)如图3,若ABP=ADP,求证:PAB=PCB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,解:(1)延长CP交AB于点E,四边形ABCD为平行四边形,易得APECBE,BE=EP,即ABP=45.(2)如图,过点P作AB的平行线分别交AD,BC于点E,点F,作BC的平行线分别交AB,CD于点M,N,易得四边形AMPE、四边形BMPF、四边形CNPF、四边形DNPE均为平行四边形,AMPPEA,BMPPFB,CPFPCN,DNPPED,S1=SAPM+SBPM,S3=SDPN+SCPN,S2=SBPF+SCPF,S4=SAPE+SDPE,S1+S3=S2+S4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,(3)过点P作AB的平行线分别交AD,BC于点E,F,四边形ABCD是平行四边形,ABC=ADC,ABP=ADP,CBP=CDP=EPD,PFB=PED,PFBDEP,又AEP=PFC,AEPPFC,PCB=EPA=PAB,PAB=PCB.,
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