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1,1,第三章时域分析法,3.1引言,3.2线性系统的时域性能指标,3.3一阶系统时域分析,3.4二阶系统时域分析,3.5线性系统的稳定性,3.6稳态误差及其计算,实际物理系统的性质可用系统数学模型描述，一旦得系统的数学模型，就可对系统进行分析求解，从而定系统的性能指标：稳定性、动态性能、稳态性能。特点：时域分析法是一种直接的方法，它可以给出系统精确的时间响应曲线和性能指标，具有明确物理意义（时间、空间）。但是，人工求解困难（用计算机求解简单），不利于分析系统结构和参数变化对系统影响。方法：分析和设计控制系统，必须对各种控制系统性能进行评判，通过对这些系统施加各种典型（试验、测试）信号，比较它们的响应，能否满足工程要求。,3.1引言,典型信号选取条件,(1)信号容易产生；(2)尽可能接近实际工作时的外加信号；(3)反映系统最不利的工作条件。,原因：许多设计准则就建立在这些典型信号的基础上;系统对典型信号的响应特性与实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系;采用典型信号来评价系统性能是合理的。,工程上典型测试信号（输入函数）,信号：,o,o,o,o,单位脉冲,单位脉冲,单位阶跃,速度,加速度,正弦,动态过程：系统在典型信号作用下，输出量从初始状态到接近最终状态的响应过程。实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程。,3.2线性系统的时域性能指标,控制系统的时间响应，可以分为动态（瞬态）过程和稳态过程。和电路概念一致。,假设特征根两两互异：,稳态过程：系统在典型信号作用下，时间t趋于无穷时系统系统的输出状态。研究系统的稳态特性，以确定输出信号对输入信号跟踪（复现）能力。,延迟时间：响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。,时域性能指标,上升时间响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。,峰值时间：响应曲线达到超调量的第一个峰值所需要的时间。,振荡型系统定义：0%上升到100%,稳态误差指响应的最终偏离量。,调节时间：响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数（5%或2%）,超调量指响应的最大偏离量h(tp)与终值之差的百分比，即,同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。,评价系统的阻尼程度;,指标作用,3.3一阶系统的时域分析3.3.1一阶系统的数学模型,用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。图（a）所示的RC电路，其微分方程为,其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。,当初始条件为零时，其传递函数为,这种系统是一个惯性环节。,*分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。,3.3.2单位阶跃响应,输入单位阶跃函数：,，则系统的输出为：,动态性能指标：,*响应曲线只与时间常数T有关：,稳态误差为0:,当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同.,这时的输出称为脉冲响应记作g(t)，,3.3.3一阶系统的单位脉冲响应,3.3.4一阶系统的单位斜坡响应,当,所以跟踪单位斜坡信号的稳态误差为,一阶系统能跟踪斜坡输入信号。,由于系统存在惯性，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。,减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。,结论：,3.3.5一阶系统的单位加速度响应,上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入信号的跟踪。,表3-1一阶系统对典型输入信号的响应,*输出响应具有导数关系。,3.4二阶系统的时域分析,二阶系统：二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。,式中，K为开环增益；Tm为机电常数。,3.4.1二阶系统的数学模型设一伺服系统，其框图如图所示，由图可得该系统的传递函数:,为了使研究的结果具有普遍意义，可表示为如下标准形式,自然频率（或无阻尼振荡频率）,阻尼比（相对阻尼系数）,二阶系统的闭环特征方程为:,特征方程的两个根（闭环极点）,二阶系统极点分布,0,，闭环极点为共扼复根，位于左半S平面，欠阻尼,，为两个相等的根，临界阻尼,，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡，零阻尼,，两个不相等的负实根，过阻尼,n,*特征根分布情况：,3.4.2二阶系统的单位阶跃响应,1、过阻尼情况,二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，传递函数：,式中,输入为阶跃函数时，,，则系统的输出量为,2.临界阻尼,临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应,3、欠阻尼情况,此时，二阶系统的闭环特征根为,式中,衰减系数,阻尼振荡频率,输入为阶跃函数时，,，则系统的输出量为,对上式进行拉式反变换，得,稳态分量为1，表明系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差，瞬态分量为阻尼正弦振荡项：,收敛速度（包络线）：,（图3.11）,一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为,故称为无阻尼振荡频率。,由系统本身的结构参数确定,4、零阻尼情况,振荡频率：,图3-12表示了二阶系统在不同,值瞬态响应曲线,二阶欠阻尼系统阶跃响应的性能指标,在控制工程上，除了那些不允许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。,二阶系统动态性能指标，可用,精确表示。,最佳阻尼系数,二阶系统一般取：,求得,对上式求导，并令其为零，得,根据峰值时间定义：,为输出响应达到的第一个峰值所对应的时间，所以应取n1，于是,（3）,1,26,时，,时,时，,时，,，满足,（4）,（调节时间）,P69图3.15,1,28,例题3.1如图所示，系统输入r(t)=1,试计算K=200时，系统的响应从c(t)和性能指标：,*讨论：K=1500,200,13.5三种情况,例题3.2设单位反馈二阶系统的阶跃响应曲线如图所示，试确定此系统的开环传递函数。,由图tp=0.4秒，25,解:,1,32,开环传递函数的表达形式,闭环传递函数的表达形式,注意：本题的系统为单位反馈系统，是阶跃输入,而不是单位阶跃输入。,1,33,试求系统的闭环传递函数；在零初始条件下求系统单位阶跃响应的超调量和调节时间,例：已知系统的单位阶跃响应为,解:(1),1,34,(2),3.4.3二阶系统的性能改善,（1）串联补偿P、PI、PIDPD:比例微分二阶系统,（2）反馈补偿二阶系统,例3.3,kv=10,kh=0.2求单位阶跃响应表达式，、tp、tr、ts,(a),(b),解：,因,时有ca(t)=1，此时的t即为tr,当时，可求得tp=0.887秒，23.6,1.016e1.5t0.02,得ts2.62秒,标准的二阶系统（无零点），可以用公式进行计算。,由,得,
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