D25函数的微分(黑白).ppt

1,二、微分运算法则,三、微分在近似计算中的应用,*四、微分在估计误差中的应用,第五节,一、微分的概念,函数的微分,第二章,2,一、微分的概念,引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为x,面积为A,则,面积的增量为,关于x的线性主部,故,当x在,取,变到,边长由,其,3,的微分,定义:若函数,在点的增量可表示为,(A为不依赖于x的常数),则称函数,而称为,记作,即,定理:函数,在点可微的充要条件是,即,在点,可微,4,定理:函数,证:“必要性”,已知,在点可微,则,故,在点可导,且,在点可微的充要条件是,在点处可导,且,即,5,定理:函数,在点可微的充要条件是,在点处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点可导,则,6,说明:,时,所以,时,很小时,有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,7,微分的几何意义,当很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,8,例如,基本初等函数的微分公式(见P116表),又如,9,二、微分运算法则,设u(x),v(x)均可微,则,(C为常数),分别可微,的微分为,微分形式不变,5.复合函数的微分,则复合函数,10,例1.,求,解:,11,例2.设,求,解:利用一阶微分形式不变性,有,例3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,数学中的反问题往往出现多值性.,注意:,12,数学中的反问题往往出现多值性,例如,注意：,13,三、微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,14,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,15,的近似值.,解:设,取,则,例4.求,16,的近似值.,解:,例5.计算,17,例6.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为,镀铜体积为V在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,(g),用铜多少克.,估计一下,每只球需,要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,18,*四、微分在估计误差中的应用,某量的精确值为A,其近似值为a,称为a的绝对误差,称为a的相对误差,若,称为测量A的绝对误差限,称为测量A的相对误差限,19,误差传递公式:,已知测量误差限为,按公式,计算y值时的误差,故y的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量某量得x,20,例7.设测得圆钢截面的直径,测量D的,绝对误差限,欲利用公式,圆钢截面积,解:计算A的绝对误差限约为,A的相对误差限约为,试估计面积的误差.,计算,(mm2),21,内容小结,1.微分概念,微分的定义及几何意义,可微,可导,2.微分运算法则,微分形式不变性:,(u是自变量或中间变量),3.微分的应用,近似计算,估计误差,22,思考与练习,1.设函数,的图形如下,试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负.,23,2.,24,5.设,由方程,确定,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,则,25,作业,P1231;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);9(2);,26,1.已知,求,解：因为,所以,备用题,27,已知,求,解:方程两边求微分,得,2.,