向量的概念及其几何运算(第一课时).ppt

第五章平面向量,向量的概念及其几何运算,第讲,1,（第一课时）,一、向量的有关概念1.既有_又有_的量叫做向量.向量可以用有向线段来表示.2.向量的大小，也就是向量的_(或称模)，记作_.3.长度为_的向量叫做零向量，记作0.规定零向量的方向是_.长度为1的向量叫做单位向量.,大小,方向,长度,0,任意的,4.方向_的向量叫做平行向量，也叫做_.规定：零向量与_平行.5.长度_且方向_的向量叫做相等向量.二、向量的初等运算1.向量的加法法则有_法则和_法则.2.向量的加法满足_律和_律.,相同或相反,共线向量,任一向量,相等,相同,平行四边形,三角形,交换,结合,3.与a长度_,方向_的向量，叫做a的相反向量.4.实数与向量a的乘积a是一个_，它的长度是|a|的_倍，它的方向为：当0时，与a的方向_；当0时，与a的方向_；当=0时，a=_.,相等,相反,向量,|,相同,相反,0,5.设a、b是任意向量，、是实数，则实数与向量的积满足以下运算律：(1)结合律，即(a)=_;(2)第一分配律，即(+)a=_;第二分配律，即(a+b)=_.,()a,a+a,a+b,三、两个重要定理1.共线向量定理：向量b与_向量a共线的充要条件_._。2.平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个_向量，那么对这一平面内的任一向量a_一对实数1、2,使_，其中e1、e2是_.,一组基底,a=1e1+2e2,有且只有,不共线,有且只有一个实数,使得b=a,非零,1.(教材第一册(下)习题5.1的第2题改编)如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A.B.C.D.,A,解法1：因为所以得故选A.解法2：,2.已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且那么()解：因为O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，所以由得即,A,3.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若则AF=()解:如图,易知解得,B,因为E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，所以所以故选B.,1.判断下列命题的真假，并说明理由.若|a|=|b|，则a=b或a=-b;若则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；若a=b，b=c，则a=c;,题型1向量有关概念的辨析,若ab，bc，则ac;设a,b为非零向量,|a+b|=|a|-|b|a|b|且a与b方向相反.解：两向量相等必须大小相同而且方向相同，因此，模相等是向量相等的必要不充分条件，故此命题不正确.由可得且，由于可能是A，B，C，D在同一条直线上，故此命题不正确.正确.,不正确.当b=0时，ac不一定成立.正确.点评：相等向量、平行向量、零向量是向量中的几个基本概念，两向量相等的充要条件是：方向相同且长度相等；平行向量对应的直线(或线段)在同一直线上，或在两平行直线上；零向量是方向任意，长度为零的向量，与其他非零向量都平行.,2.如图，设E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，求证：证明：因为+得因为G、H分别是AD、BC的中点，,题型2向量的加法、减法及数乘的应用,所以所以同理，故点评：利用向量证几何中的平行或相等问题，注意向量加法的合并原则“首尾相接，首尾连”，而减法运算可转化为加上此向量的相反向量，从而统一成加法运算.另外也可结合图形，利用加法的平行四边形法则或三角形法则进行加减运算.,求证：点O是ABC的重心的充要条件是证明：(1)充分性：因为所以即是与方向相反且长度相等的向量.如图所示，以OB、OC为相邻的两边作平行四边形BOCD，则所以,在平行四边形BOCD中，设BC与OD相交于点E，则所以AE是ABC的边BC的中线，且所以点O是ABC的重心.(2)必要性：因为O点是ABC的重心，连结AO并延长交BC于E，则E为BC的中点.延长OE到D，使则四边形BOCD为平行四边形，所以所以,1.向量的加法与减法是互逆运算.2.当一个向量的终点为另一个向量的始点时，可用向量加法的三角形法则；而当它们的始点相同时，可用向量加法的平行四边形法则；,3.运用向量加减法解决几何问题时，需要发现或构造三角形或平行四边形.另外注意三角形的四心：外心：三角形外接圆的圆心(即三边中垂线的交点)；重心：三角形三条中线的交点；垂心：三角形三条高线的交点；内心：三角形三个内角的平分线的交点.,4.若C为线段AB的中点，O为直线AB外一点，由向量加法的平行四边形法则可得,