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第六章,利用元素法解决:,定积分在几何上的应用,定积分在物理上的应用,定积分的应用,第一节,机动目录上页下页返回结束,定积分的元素法,一、什么问题可以用定积分解决?,二、如何应用定积分解决问题?,第六章,表示为,一、什么问题可以用定积分解决?,1)所求量U是与区间a,b上的某分布f(x)有关的,2)U对区间a,b具有可加性,即可通过,“大化小,常代变,近似和,取极限”,定积分定义,机动目录上页下页返回结束,一个整体量;,二、如何应用定积分解决问题?,第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的,微分表达式,第二步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的,积分表达式,这种分析方法成为元素法(或微元分析法),元素的几何形状常取为:,条,带,段,环,扇,片,壳等,近似值,精确值,第二节目录上页下页返回结束,四、旋转体的侧面积(补充),三、已知平行截面面积函数的立体体积,第二节,一、平面图形的面积,二、平面曲线的弧长,机动目录上页下页返回结束,定积分在几何学上的应用,第六章,一、平面图形的面积,1.直角坐标情形,设曲线,与直线,及x轴所围曲,则,机动目录上页下页返回结束,边梯形面积为A,右下图所示图形面积为,例1.计算两条抛物线,在第一象限所围,所围图形的面积.,解:由,得交点,机动目录上页下页返回结束,例2.计算抛物线,与直线,的面积.,解:由,得交点,所围图形,为简便计算,选取y作积分变量,则有,机动目录上页下页返回结束,例3.求椭圆,解:利用对称性,所围图形的面积.,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当a=b时得圆面积公式,机动目录上页下页返回结束,一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程,给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值,则曲边梯形面积,机动目录上页下页返回结束,例4.求由摆线,的一拱与x轴所围平面图形的面积.,解:,机动目录上页下页返回结束,2.极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积.,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,机动目录上页下页返回结束,对应从0变,例5.计算阿基米德螺线,解:,机动目录上页下页返回结束,到2所围图形面积.,例6.计算心形线,所围图形的,面积.,解:,(利用对称性),心形线目录上页下页返回结束,例7.计算心形线,与圆,所围图形的面积.,解:利用对称性,所求面积,机动目录上页下页返回结束,例8.求双纽线,所围图形面积.,解:利用对称性,则所求面积为,思考:用定积分表示该双纽线与圆,所围公共部分的面积.,机动目录上页下页返回结束,答案:,二、平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,即,并称此曲线弧为可求长的.,定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.,(证明略),机动目录上页下页返回结束,则称,(1)曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,机动目录上页下页返回结束,(2)曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,机动目录上页下页返回结束,(3)曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分):,(自己验证),机动目录上页下页返回结束,例9.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,成悬链线.,求这一段弧长.,解:,机动目录上页下页返回结束,下垂,悬链线方程为,例10.求连续曲线段,解:,的弧长.,机动目录上页下页返回结束,例11.计算摆线,一拱,的弧长.,解:,机动目录上页下页返回结束,例12.求阿基米德螺线,相应于02,一段的弧长.,解:,(P364公式39),小结目录上页下页返回结束,三、已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,机动目录上页下页返回结束,上连续,特别,当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,当考虑连续曲线段,绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有,机动目录上页下页返回结束,例13.计算由椭圆,所围图形绕x轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解:方法1利用直角坐标方程,则,(利用对称性),机动目录上页下页返回结束,方法2利用椭圆参数方程,则,特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积,机动目录上页下页返回结束,例14.计算摆线,的一拱与y0,所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.,解:绕x轴旋转而成的体积为,利用对称性,机动目录上页下页返回结束,绕y轴旋转而成的体积为,注意上下限!,注,注目录上页下页返回结束,分部积分,注,(利用“偶倍奇零”),柱壳体积,说明:,柱面面积,机动目录上页下页返回结束,偶函数,奇函数,机动目录上页下页返回结束,例15.设,在x0时为连续的非负函数,且,形绕直线xt旋转一周所成旋转体体积,证明:,证:,利用柱壳法,则,机动目录上页下页返回结束,故,例16.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并,与底面交成角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为,垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积.,机动目录上页下页返回结束,思考:可否选择y作积分变量?,此时截面面积函数是什么?,如何用定积分表示体积?,提示:,机动目录上页下页返回结束,垂直x轴的截面是椭圆,例17.计算由曲面,所围立体(椭球体),解:,它的面积为,因此椭球体体积为,特别当a=b=c时就是球体体积.,机动目录上页下页返回结束,的体积.,例18.求曲线,与x轴围成的封闭图形,绕直线y3旋转得的旋转体体积.,(94考研),解:利用对称性,故旋转体体积为,在第一象限,机动目录上页下页返回结束,四、旋转体的侧面积(补充),设平面光滑曲线,求,积分后得旋转体的侧面积,它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.,取侧面积元素:,机动目录上页下页返回结束,侧面积元素,的线性主部.,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕x轴旋转一周所得旋转体的,不是薄片侧面积S的,机动目录上页下页返回结束,注意:,侧面积为,例19.计算圆,x轴旋转一周所得的球台的侧面积S.,解:对曲线弧,应用公式得,当球台高h2R时,得球的表面积公式,机动目录上页下页返回结束,例20.求由星形线,一周所得的旋转体的表面积S.,解:利用对称性,绕x轴旋转,星形线目录上页下页返回结束,星形线,星形线是内摆线的一种.,点击图片任意处播放开始或暂停,大圆半径Ra,小圆半径,参数的几何意义,(当小圆在圆内沿圆周滚动,时,小圆上的定点的轨迹为是内摆线),内容小结,1.平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,2.平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,直角坐标方程,注意:求弧长时积分上下限必须上大下小,机动目录上页下页返回结束,3.已知平行截面面面积函数的立体体积,旋转体的体积,绕x轴:,4.旋转体的侧面积,侧面积元素为,(注意在不同坐标系下ds的表达式),绕y轴:,(柱壳法),机动目录上页下页返回结束,思考与练习,1.用定积分表示图中阴影部分的面积A及边界长s.,提示:交点为,弧线段部分,直线段部分,机动目录上页下页返回结束,以x为积分变量,则要分,两段积分,故以y为积分变量.,2.试用定积分求圆,绕x轴,上,半圆为,下,求体积:,提示:,方法1利用对称性,机动目录上页下页返回结束,旋转而成的环体体积V及表面积S.,方法2用柱壳法,说明:上式可变形为,机动目录上页下页返回结束,此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).,求侧面积:,利用对称性,机动目录上页下页返回结束,上式也可写成,它也反映了环面微元的另一种取法.,备用题,解：,1.求曲线,所围图形的面积.,显然,面积为,同理其它.,机动目录上页下页返回结束,又,故在区域,分析曲线特点,2.,解:,与x轴所围面积,由图形的对称性,也合于所求.,为何值才能使,与x轴围成的面积等,机动目录上页下页返回结束,故,3.,求曲线,图形的公共部分的面积.,解：,与,所围成,得,所围区域的面积为,机动目录上页下页返回结束,设平面图形A由,与,所确定,求,图形A绕直线x2旋转一周所得旋转体的体积.,提示：,选x为积分变量.,旋转体的体积为,4.,机动目录上页下页返回结束,若选y为积分变量,则,
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