资源描述
,角平分线的性质定理及其逆定理,主备:蒋太平,1、什么叫角平分线?,3.你还记得角平分线上的点有什么性质吗?,2、如何用尺规作角的平分线?,如果一条射线把一个角分成两个相等的角,那么这条射线叫角的平分线。,分别以,为圆心大于的长为半径作弧两弧在AOB的内部交于,如何用尺规作角的平分线?,A,作法:,以为圆心,适当长为半径作弧,交于,交于,作射线OC,则射线即为所求,请你说明OC为什么是AOB的平分线,并与同桌进行交流.,命题:角平分线上的点到角的两边的距离相等,条件:一个点在一个角的平分线上,结论:它到角的两边的距离相等,已知:OC是AOB的平分线,点P在OC上,PDOA,PEOB,求证:PD=PE.证明:,PD=PE(全等三角形的对应边相等)。,证明:,OC是AOB的平分线(已知),,1=2(角平分线的定义)。,PDOA,PEOB(已知),,PDO=PEO=90(垂直的定义)。,在PDO和PEO中,,PDO=PEO(已证),,12(已证),,OPOP(公共边),,PDOPEO(AAS)。,用符号语言表示为:,1=2PDOA,PEOBPD=PE.,交换定理的条件和结论得到的命题如何叙述?,老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.,角平分线性质定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,你能写出它的逆命题吗?,逆命题在角的内部到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,它是真命题吗?,如果是.请你证明它.,已知:如图,AOB,PDOA,PEOB,且PD=PE,垂足分别是D,E.求证:点P在AOB的平分线上.,分析:要证明点P在AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明AOC=BOC.,O,C,B,A,P,D,E,逆定理:在角的内部,到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,用符号语言表示为:PDOA,PEOB,垂足分别是D,E,且PD=PE点P在AOB的平分线上,老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.,O,C,B,A,P,D,E,角平分线性质定理的逆定理,判断下列推理是否正确,(1)如图,AD平分BAC,PEAB,PFACPE=PF(角平分线上的点到这个角的两边距离相等),(2)如图,PE=PFAD平分BAC(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上),(3)如图,点P在BAC的平分线上PE=PF(角平分线上的点到这个角的两边距离相等),(对),(错),(错),判断下列推理是否正确,(4)如图,PEAB,PFACAD平分BAC(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上),(错),(5)如图PEAB,PFAC,PE=PF点P在BAC的平分线上(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上),(对),1.角平分线的性质定理:在角平分线上的点到角的两边的距离相等,2.角平分线的性质定理的逆定理:在角的内部,到一个角的两边的距离相等的点,在这个角平分线上。,4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.,3.性质定理和逆定理的关系点在角平分线上点到角两边的距离相等,总结归纳,1、已知:如图1,ABC的角平分线BM、CN相交于点P.,求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等.,定理;三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到到三条边的距离相等。,求证:P在A的平分线上,2已知:如图2,PB、PC分别是ABC的外角平分线,相交于点P.,3、如图,某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB,拟在MN上建造一个大型超市,使得它到OA、OB的距离相等,请确定该超市的位置P。,小区C,P,例题:(2011泰州)在平面直角坐标系xOy中,边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),顶点C、D都在第一象限求证:无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在AOB的平分线上;,回味无穷,一.定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.二.逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理,今日作业,1、如图,在ABC中,已知AC=BC,C=900,AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E.,(1)如果CD4cm,AC的长,(2)求证:ABACCD.,2.在ABC中,B=C,点D为BC边的中点,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F。求证:点D在A的平分线上。,3、已知:MON中,MP平分OMN,OP平分MON,且PDMN,PEON,垂足分别为点D、E求证:点P在MNO的平分线上,
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