八年级数学下册 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.3 第1课时 正方形的性质教学 新人教版.ppt

18 2 3正方形 第十八章平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 学练优八年级数学下 RJ 教学课件 第1课时正方形的性质 1 理解正方形的概念 2 探索并证明正方形的性质 并了解平行四边形 矩形 菱形之间的联系和区别 重点 难点 3 会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题 难点 导入新课 观察下面图形 正方形是我们熟悉的几何图形 在生活中无处不在 情景引入 你还能举出其他的例子吗 讲授新课 矩形 问题1 矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现 问题引入 正方形 问题2菱形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现 正方形 邻边相等 矩形 正方形 菱形 一个角是直角 正方形 正方形定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形 归纳总结 已知 如图 四边形ABCD是正方形 求证 正方形ABCD四边相等 四个角都是直角 A B C D 证明 四边形ABCD是正方形 A 90 AB AC 正方形的定义 又 正方形是平行四边形 正方形是矩形 矩形的定义 正方形是菱形 菱形的定义 A B C D 90 AB BC CD AD 证一证 已知 如图 四边形ABCD是正方形 对角线AC BD相交于点O 求证 AO BO CO DO AC BD A B C D O 证明 正方形ABCD是矩形 AO BO CO DO 正方形ABCD是菱形 AC BD 思考请同学们拿出准备好的正方形纸片 折一折 观察并思考 正方形是不是轴对称图形 如果是 那么对称轴有几条 对称性 对称轴 轴对称图形 4条 A B C D 矩形 菱形 正方形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形 也是特殊的矩形 也是特殊的菱形 所以矩形 菱形有的性质 正方形都有 平行四边形 矩形 菱形 正方形之间关系 性质 1 正方形的四个角都是直角 四条边相等 2 正方形的对角线相等且互相垂直平分 归纳总结 例1求证 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形 已知 如图 四边形ABCD是正方形 对角线AC BD相交于点O 求证 ABO BCO CDO DAO是全等的等腰直角三角形 证明 四边形ABCD是正方形 AC BD AC BD AO BO CO DO ABO BCO CDO DAO都是等腰直角三角形 并且 ABO BCO CDO DAO 典例精析 例2如图 在正方形ABCD中 BEC是等边三角形 求证 EAD EDA 15 证明 BEC是等边三角形 BE CE BC EBC ECB 60 四边形ABCD是正方形 AB BC CD ABC DCB 90 AB BE CE CD ABE DCE 30 ABE DCE是等腰三角形 BAE BEA CDE CED 75 EAD EDA 90 75 15 变式题1 四边形ABCD是正方形 以正方形ABCD的一边作等边 ADE 求 BEC的大小 解 当等边 ADE在正方形ABCD外部时 如图 AB AE BAE 90 60 150 AEB 15 同理可得 DEC 15 BEC 60 15 15 30 当等边 ADE在正方形ABCD内部时 如图 AB AE BAE 90 60 30 AEB 75 同理可得 DEC 75 BEC 360 75 75 60 150 综上所述 BEC的大小为30 或150 易错提醒 因为等边 ADE与正方形ABCD有一条公共边 所以边相等 本题分两种情况 等边 ADE在正方形的外部或在正方形的内部 变式题2 如图 在正方形ABCD内有一点P满足AP AB PB PC 连接AC PD 1 求证 APB DPC 解 四边形ABCD是正方形 ABC DCB 90 PB PC PBC PCB ABC PBC DCB PCB 即 ABP DCP 又 AB DC PB PC APB DPC 证明 四边形ABCD是正方形 BAC DAC 45 APB DPC AP DP 又 AP AB AD DP AP AD APD是等边三角形 DAP 60 PAC DAP DAC 15 BAP BAC PAC 30 BAP 2 PAC 2 求证 BAP 2 PAC 例3如图 在正方形ABCD中 P为BD上一点 PE BC于E PF DC于F 试说明 AP EF 解 连接PC AC 又 PE BC PF DC 四边形ABCD是正方形 FCE 90 AC垂直平分BD 四边形PECF是矩形 PC EF AP PC AP EF 在正方形的条件下证明两条线段相等 通常连接对角线构造垂直平分的模型 利用垂直平分线性质 角平分线性质 等腰三角形等来说明 1 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 A 四个角相等B 对角线互相垂直平分C 对角互补D 对角线相等 2 正方形具有而菱形不一定具有的性质 A 四条边相等B 对角线互相垂直平分C 对角线平分一组对角D 对角线相等 B D 练一练 3 如图 四边形ABCD是正方形 对角线AC与BD相交于点O AO 2 求正方形的周长与面积 解 四边形ABCD是正方形 AC BD OA OD 2 在Rt AOD中 由勾股定理 得 正方形的周长为4AD 面积为AD2 8 2 一个正方形的对角线长为2cm 则它的面积是 A 2cm2B 4cm2C 6cm2D 8cm2 A 1 平行四边形 矩形 菱形 正方形都具有的是 A 对角线互相平分B 对角线互相垂直C 对角线相等D 对角线互相垂直且相等 A 当堂练习 3 在正方形ABC中 ADB DAC BOC 4 在正方形ABCD中 E是对角线AC上一点 且AE AB 则 EBC的度数是 45 90 22 5 第3题图 第4题图 45 5 如图 正方形ABCD的边长为1cm AC为对角线 AE平分 BAC EF AC 求BE的长 解 四边形ABCD为正方形 B 90 ACB 45 AB BC 1cm EF AC EFA EFC 90 又 ECF 45 EFC是等腰直角三角形 EF FC BAE FAE B EFA 90 AE AE ABE AFE AB AF 1cm BE EF FC BE 在Rt ABC中 FC AC AF 1 cm BE 1 cm 6 如图在正方形ABCD中 E为CD上一点 F为BC边延长线上一点 且CE CF BE与DF之间有怎样的关系 请说明理由 解 BE DF 且BE DF 理由如下 四边形ABCD是正方形 BC DC BCE 90 DCF 180 BCE 90 BCE DCF 又 CE CF BCE DCF BE DF A B D C F E 延长BE交DE于点M BCE DCF CBE CDF DCF 90 CDF F 90 CBE F 90 BMF 90 BE DF A B D F E C M 课堂小结 1 四个角都是直角 2 四条边都相等 3 对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 有一组邻相等 并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形