高中数学必修5数列单元测试题含解析

新课标数学必修5第2章数列单元试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1在正整数100至500之间能被11整除的个数为（）A34B35C36D37考查等差数列的应用【解析】观察出100至500之间能被11整除的数为110、121、132、它们构成一个等差数列，公差为11，数an=110+（n1）11=11n+99，由an500，解得n364，nN*，n36【答案】C2在数列an中，a1=1，an+1=an21（n1），则a1+a2+a3+a4+a5等于（）A1B1C0D2考查数列通项的理解及递推关系【解析】由已知：an+1=an21=（an+1）（an1），a2=0，a3=1，a4=0，a5=1【答案】A3an是等差数列，且a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=39，则a3+a6+a9的值是（）A24B27C30D33考查等差数列的性质及运用【解析】a1+a4+a7，a2+a5+a8，a3+a6+a9成等差数列，故a3+a6+a9=23945=33【答案】D4设函数f（x）满足f（n+1）=（nN*）且f（1）=2，则f（20）为（）A95B97C105D192考查递推公式的应用【解析】f（n+1）f（n）=相加得f（20）f（1）=（1+2+19）f（20）=95+f（1）=97【答案】B5等差数列an中，已知a1=6，an=0，公差dN*，则n（n3）的最大值为（）A5B6C7D8考查等差数列的通项【解析】an=a1+（n1）d，即6+（n1）d=0n=+1dN*，当d=1时，n取最大值n=7【答案】C6设an=n2+10n+11，则数列an从首项到第几项的和最大（）A第10项B第11项C第10项或11项D第12项考查数列求和的最值及问题转化的能力【解析】由an=n2+10n+11=（n+1）（n11），得a11=0，而a100，a120，a7a3a7=2，a3=6，从而得a1=10，d=2，S20=180【答案】A8现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（）A9B10C19D29考查数学建模和探索问题的能力【解析】1+2+3+n200，即200显然n=20时，剩余钢管最少，此时用去=190根【答案】B9由公差为d的等差数列a1、a2、a3重新组成的数列a1+a4， a2+a5， a3+a6是（）A公差为d的等差数列B公差为2d的等差数列C公差为3d的等差数列D非等差数列考查等差数列的性质【解析】（a2+a5）（a1+a4）=（a2a1）+（a5a4）=2d（a3+a6）（a2+a5）=（a3a2）+（a6a5）=2d依次类推【答案】B10在等差数列an中，若S9=18，Sn=240，an4=30，则n的值为（）A14B15C16D17考查等差数列的求和及运用【解析】S9=18a1+a9=42（a1+4d）=4a1+4d=2，又an=an4+4dSn=16n=240n=15【答案】B二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11在数列an中，a1=1，an+1=（nN*），则是这个数列的第_项考查数列概念的理解及观察变形能力【解析】由已知得=+，是以=1为首项，公差d=的等差数列=1+（n1），an=，n=6【答案】612在等差数列an中，已知S100=10，S10=100，则S110=_考查等差数列性质及和的理解【解析】S100S10=a11+a12+a100=45（a11+a100）=45（a1+a110）=90a1+a110=2S110=（a1+a110）110=110【答案】11013在9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为21的等差数列，则n=_考查等差数列的前n项和公式及等差数列的概念【解析】21=，n=5【答案】514等差数列an，bn的前n项和分别为Sn、Tn，若=，则=_考查等差数列求和公式及等差中项的灵活运用【解】=【答案】三、解答题（本大题共5小题，共54分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分8分）若等差数列5，8，11，与3，7，11，均有100项，问它们有多少相同的项？考查等差数列通项及灵活应用【解】设这两个数列分别为an、bn，则an=3n+2，bn=4n1，令ak=bm，则3k+2=4m13k=3（m1）+m，m被3整除设m=3p（pN*），则k=4p1k、m1，100则13p100且1p25它们共有25个相同的项16（本小题满分10分）在等差数列an中，若a1=25且S9=S17，求数列前多少项和最大考查等差数列的前n项和公式的应用【解】S9=S17，a1=25，925+d=1725+d解得d=2，Sn=25n+（2）=（n13）2+169由二次函数性质，故前13项和最大注：本题还有多种解法这里仅再列一种由d=2，数列an为递减数列an=25+（n1）（2）0，即n135数列前13项和最大17（本小题满分12分）数列通项公式为an=n25n+4，问（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值考查数列通项及二次函数性质【解】（1）由an为负数，得n25n+40，解得1n4nN*，故n=2或3，即数列有2项为负数，分别是第2项和第3项（2）an=n25n+4=（n）2，对称轴为n=25又nN*，故当n=2或n=3时，an有最小值，最小值为2252+4=218（本小题满分12分）甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m（1）甲、乙开始运动后，几分钟相遇（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？考查等差数列求和及分析解决问题的能力【解】（1）设n分钟后第1次相遇，依题意得2n+5n=70整理得：n2+13n140=0，解得：n=7，n=20（舍去）第1次相遇在开始运动后7分钟（2）设n分钟后第2次相遇，依题意有：2n+5n=370整理得：n2+13n670=0，解得：n=15或n=28（舍去）第2次相遇在开始运动后15分钟19（本小题满分12分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足an+2SnSn1=0（n2），a1=（1）求证：是等差数列；（2）求an表达式；（3）若bn=2（1n）an（n2），求证：b22+b32+bn21考查数列求和及分析解决问题的能力【解】（1）an=2SnSn1，Sn+Sn1=2SnSn1（n2）Sn0，=2，又=2，是以2为首项，公差为2的等差数列（2）由（1）=2+（n1）2=2n，Sn=当n2时，an=SnSn1=n=1时，a1=S1=，an=（3）由（2）知bn=2（1n）an=b22+b32+bn2=+=（1）+（）+（）=11