高中数学(人教版)必修五第二章数列综合测试卷

高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷本试卷满分150分，其中选择题共75分，填空题共25分，解答题共50分。试卷难度：0.63一选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1（5分）记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a5=24，S6=48，则an的公差为（）A1B2C4D82（5分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A1盏B3盏C5盏D9盏3（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是（）A440B330C220D1104（5分）已知数列an、bn、cn，以下两个命题：若an+bn、bn+cn、an+cn都是递增数列，则an、bn、cn都是递增数列；若an+bn、bn+cn、an+cn都是等差数列，则an、bn、cn都是等差数列；下列判断正确的是（）A都是真命题B都是假命题C是真命题，是假命题D是假命题，是真命题5（5分）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1（0，1），由关系式an+1=f（an）得到的数列an满足an+1an，nN*，则该函数的图象是（）ABCD6（5分）若数列an，bn的通项公式分别为an=（1）n+2016a，bn=2+，且anbn，对任意nN*恒成立，则实数a的取值范围是（）AB1，1）C2，1）D7（5分）数列an是正项等比数列，bn是等差数列，且a6=b7，则有（）Aa3+a9b4+b10Ba3+a9b4+b10Ca3+a9b4+b10Da3+a9与b4+b10 大小不确定8（5分）已知数列an满足：a1=1，an+1=（nN*）若（nN*），b1=，且数列bn是单调递增数列，则实数的取值范围是（）AB1CD9（5分）设AnBnCn的三边长分别是an，bn，cn，AnBnCn的面积为Sn，nN*，若b1c1，b1+c1=2a1，bn+1=，则（）ASn为递减数列BSn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列DS2n1为递减数列，S2n为递增数列10（5分）张丘建算经是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A尺B尺C尺D尺11（5分）已知数列an为等差数列，Sn其前n项和，且a2=3a46，则S9等于（）A25B27C50D5412（5分）九章算术是我国古代的数字名著，书中均属章有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各德几何”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）在这个问题中，E所得为（）A钱B钱C钱D钱13（5分）已知等差数列an的前n项和为sn，且S2=10，S5=55，则过点P（n，an），Q（n+2，an+2）（nN*）的直线的斜率为（）A4BC4D14（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S3=9，a2a4=21，数列bn满足，若，则n的最小值为（）A6B7C8D915（5分）已知函数f（x）的图象关于x=1对称，且f（x）在（1，+）上单调，若数列an是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则an的前100项的和为（）A200B100C50D0二填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16（5分）等比数列an的各项均为实数，其前n项为Sn，已知S3=，S6=，则a8= 17（5分）等差数列an的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则 = 18（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教伟烈亚利将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列an，则此数列的项数为 19（5分）已知无穷数列an，a1=1，a2=2，对任意nN*，有an+2=an，数列bn满足bn+1bn=an（nN*），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为 20（5分）设数列an的通项公式为an=n2+bn，若数列an是单调递增数列，则实数b的取值范围为 三解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21（10分）对于给定的正整数k，若数列an满足：ank+ank+1+an1+an+1+an+k1+an+k=2kan对任意正整数n（nk）总成立，则称数列an是“P（k）数列”（1）证明：等差数列an是“P（3）数列”；（2）若数列an既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：an是等差数列22（10分）设an和bn是两个等差数列，记cn=maxb1a1n，b2a2n，bnann（n=1，2，3，），其中maxx1，x2，xs表示x1，x2，xs这s个数中最大的数（1）若an=n，bn=2n1，求c1，c2，c3的值，并证明cn是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，M；或者存在正整数m，使得cm，cm+1，cm+2，是等差数列23（10分）已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5（）求an的通项公式；（）求和：b1+b3+b5+b2n124（10分）记Sn为等比数列an的前n项和已知S2=2，S3=6（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列25（10分）已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3x2=2（）求数列xn的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）Pn+1（xn+1，n+1）得到折线P1 P2Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1所围成的区域的面积Tn高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷参考答案与试题解析一选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1（5分）（2017新课标）记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a5=24，S6=48，则an的公差为（）A1B2C4D8【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出an的公差【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，a4+a5=24，S6=48，解得a1=2，d=4，an的公差为4故选：C【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用2（5分）（2017新课标）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A1盏B3盏C5盏D9盏【考点】89：等比数列的前n项和；88：等比数列的通项公式菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；54 ：等差数列与等比数列【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，381=127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题3（5分）（2017新课标）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是（）A440B330C220D110【考点】8E：数列的求和菁优网版权所有【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列【分析】方法一：由数列的性质，求得数列bn的通项公式及前n项和，可知当N为时（nN+），数列an的前N项和为数列bn的前n项和，即为2nn2，容易得到N100时，n14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+12n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂只需将2n消去即可，分别分别即可求得N的值【解答】解：设该数列为an，设bn=+=2n1，（nN+），则=ai，由题意可设数列an的前N项和为SN，数列bn的前n项和为Tn，则Tn=211+221+2n1=2nn2，可知当N为时（nN+），数列an的前N项和为数列bn的前n项和，即为2nn2，容易得到N100时，n14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230292+251=230，故A项符合题意B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226252+251=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221202+2101=221+21023，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215142+251=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意故选A方法二：由题意可知：，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：211，221，231，2n1，每项含有的项数为：1，2，3，n，总共的项数为N=1+2+3+n=，所有项数的和为Sn：211+221+231+2n1=（21+22+23+2n）n=n=2n+12n，由题意可知：2n+1为2的整数幂只需将2n消去即可，则1+2+（2n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N100，1+2+4+（2n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N100，1+2+4+8+（2n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N100，1+2+4+8+16+（2n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N100，该款软件的激活码440故选A【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题4（5分）（2017上海模拟）已知数列an、bn、cn，以下两个命题：若an+bn、bn+cn、an+cn都是递增数列，则an、bn、cn都是递增数列；若an+bn、bn+cn、an+cn都是等差数列，则an、bn、cn都是等差数列；下列判断正确的是（）A都是真命题B都是假命题C是真命题，是假命题D是假命题，是真命题【考点】81：数列的概念及简单表示法菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑【分析】对于不妨设an=2n，bn=3n、cn=sinn，满足an+bn、bn+cn、an+cn都是递增数列，但是不满足cn=sinn是递增数列，对于根据等差数列的性质和定义即可判断【解答】解：对于不妨设an=2n，bn=3n、cn=sinn，an+bn、bn+cn、an+cn都是递增数列，但cn=sinn不是递增数列，故为假命题，对于an+bn、bn+cn、an+cn都是等差数列，不妨设公差为分别为a，b，c，an+bnan1bn1=a，bn+cnbn1cn1=b，an+cnan1cn1=c，设an，bn、cn的公差为x，y，x，则x=，y=，z=，故若an+bn、bn+cn、an+cn都是等差数列，则an、bn、cn都是等差数列，故为真命题，故选：D【点评】本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题5（5分）（2017徐汇区校级模拟）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1（0，1），由关系式an+1=f（an）得到的数列an满足an+1an，nN*，则该函数的图象是（）ABCD【考点】81：数列的概念及简单表示法菁优网版权所有【专题】31 ：数形结合；51 ：函数的性质及应用【分析】由关系式an+1=f（an）得到的数列an满足an+1an（nN*），根据点与直线之间的位置关系，我们不难得到，f（x）的图象在y=x上方逐一分析不难得到正确的答案【解答】解：由an+1=f（an）an知：f（x）的图象在y=x上方故选：A【点评】本题考查了数列与函数的单调性、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6（5分）（2017河东区二模）若数列an，bn的通项公式分别为an=（1）n+2016a，bn=2+，且anbn，对任意nN*恒成立，则实数a的取值范围是（）AB1，1）C2，1）D【考点】82：数列的函数特性菁优网版权所有【专题】32 ：分类讨论；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用【分析】由an=（1）n+2016a，bn=2+，且anbn，对任意nN*恒成立，可得：（1）n+2016a2+，对n分类讨论即可得出【解答】解：an=（1）n+2016a，bn=2+，且anbn，对任意nN*恒成立，（1）n+2016a2+，n为偶数时：化为a2，则an为奇数时：化为a2+，则a2则实数a的取值范围是故选：D【点评】本题考查了数列通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（5分）（2017宝清县一模）数列an是正项等比数列，bn是等差数列，且a6=b7，则有（）Aa3+a9b4+b10Ba3+a9b4+b10Ca3+a9b4+b10Da3+a9与b4+b10 大小不确定【考点】82：数列的函数特性菁优网版权所有【专题】54 ：等差数列与等比数列【分析】由于bn是等差数列，可得b4+b10=2b7已知a6=b7，于是b4+b10=2a6由于数列an是正项等比数列，可得a3+a9=2a6即可得出【解答】解：bn是等差数列，b4+b10=2b7，a6=b7，b4+b10=2a6，数列an是正项等比数列，a3+a9=2a6，a3+a9b4+b10故选：B【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质，属于中档题8（5分）（2017湖北模拟）已知数列an满足：a1=1，an+1=（nN*）若（nN*），b1=，且数列bn是单调递增数列，则实数的取值范围是（）AB1CD【考点】82：数列的函数特性菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列【分析】根据数列的递推公式可得数列+1是等比数列，首项为+1=2，公比为2，再代值得到bn+1=（n2）2n，根据数列的单调性即可求出的范围【解答】解：数列an满足：a1=1，an+1=（nN*），=+1，化为+1=+2数列+1是等比数列，首项为+1=2，公比为2，+1=2n，bn+1=（n2）（+1）=（n2）2n，数列bn是单调递增数列，bn+1bn，（n2）2n（n12）2n1，解得1，但是当n=1时，b2b1，b1=，（12）2，解得，故选：A【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（5分）（2017海淀区校级模拟）设AnBnCn的三边长分别是an，bn，cn，AnBnCn的面积为Sn，nN*，若b1c1，b1+c1=2a1，bn+1=，则（）ASn为递减数列BSn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列DS2n1为递减数列，S2n为递增数列【考点】82：数列的函数特性菁优网版权所有【专题】54 ：等差数列与等比数列；58 ：解三角形；59 ：不等式的解法及应用【分析】由an+1=an可知AnBnCn的边BnCn为定值a1，由bn+1+cn+12a1=（bn+cn2an），b1+c1=2a1得bn+cn=2a1，则在AnBnCn中边长BnCn=a1为定值，另两边AnCn、AnBn的长度之和bn+cn=2a1为定值，由此可知顶点An在以Bn、Cn为焦点的椭圆上，根据bn+1cn+1=（cnbn），得bncn=，可知n+时bncn，据此可判断AnBnCn的边BnCn的高hn随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案【解答】解：b1=2a1c1且b1c1，2a1c1c1，a1c1，b1a1=2a1c1a1=a1c10，b1a1c1，又b1c1a1，2a1c1c1a1，2c1a1，c1，由题意，bn+1+cn+1=+an，bn+1+cn+12an=（bn+cn2an），bn+cn2an=0，bn+cn=2an=2a1，bn+cn=2a1，又由题意，bn+1cn+1=，bn+1（2a1bn+1）=a1bn，bn+1a1=（a1bn）=（b1a1）bn=a1+（b1a1），cn=2a1bn=a1（b1a1），=单调递增可得Sn单调递增故选：B【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题10（5分）（2017汉中二模）张丘建算经是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A尺B尺C尺D尺【考点】84：等差数列的通项公式菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列【分析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，其公差为d，由等差数列的前n项和公式能求出公差【解答】解：由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为：a1，a2，a3，an，其公差为d，则a1=5，S30=390，=390，d=故选：B【点评】本题查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用11（5分）（2017徐水县模拟）已知数列an为等差数列，Sn其前n项和，且a2=3a46，则S9等于（）A25B27C50D54【考点】84：等差数列的通项公式菁优网版权所有【专题】11 ：计算题【分析】由题意得a2=3a46，所以得a5=3所以由等差数列的性质得S9=9a5=27【解答】解：设数列an的首项为a1，公差为d，因为a2=3a46，所以a1+d=3（a1+3d）6，所以a5=3所以S9=9a5=27故选B【点评】解决此类题目的关键是熟悉等差数列的性质并且灵活利用性质解题12（5分）（2017安徽模拟）九章算术是我国古代的数字名著，书中均属章有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各德几何”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）在这个问题中，E所得为（）A钱B钱C钱D钱【考点】84：等差数列的通项公式菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；21 ：阅读型；33 ：函数思想；51 ：函数的性质及应用；54 ：等差数列与等比数列【分析】设A=a4d，B=a3d，C=a2d，D=ad，E=a，列出方程组，能求出E所得【解答】解：由题意：设A=a4d，B=a3d，C=a2d，D=ad，E=a，则，解得a=，故E所得为钱故选：A【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、等差数列的性质的合理运用13（5分）（2017南开区模拟）已知等差数列an的前n项和为sn，且S2=10，S5=55，则过点P（n，an），Q（n+2，an+2）（nN*）的直线的斜率为（）A4BC4D【考点】84：等差数列的通项公式菁优网版权所有【专题】54 ：等差数列与等比数列【分析】设出等差数列的首项和公差，由已知列式求得首项和公差，代入两点求直线的斜率公式得答案【解答】解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S2=10，S5=55，得，解得：过点P（n，an），Q（n+2，an+2）的直线的斜率为k=故选：A【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，训练了两点求直线的斜率公式，是基础题14（5分）（2017枣阳市校级模拟）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S3=9，a2a4=21，数列bn满足，若，则n的最小值为（）A6B7C8D9【考点】84：等差数列的通项公式菁优网版权所有【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用【分析】设等差数列an的公差为d，由S3=9，a2a4=21，可得3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，可得an由数列bn满足，利用递推关系可得：=对n取值即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，S3=9，a2a4=21，3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，联立解得：a1=1，d=2an=1+2（n1）=2n1数列bn满足，n=1时，=1，解得b1=n2时，+=1，=bn=若，则n=7时，n=8时，因此：，则n的最小值为8故选：C【点评】本题考查了等差数列通项公式与求和公式、数列递推关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（5分）（2017安徽一模）已知函数f（x）的图象关于x=1对称，且f（x）在（1，+）上单调，若数列an是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则an的前100项的和为（）A200B100C50D0【考点】84：等差数列的通项公式菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列【分析】由函数图象关于x=1对称，由题意可得a50+a51=2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和【解答】解：函数f（x）的图象关于x=1对称，数列an是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），可得a50+a51=2，又an是等差数列，所以a1+a100=a50+a51=2，则an的前100项的和为=100故选：B【点评】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题二填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16（5分）（2017江苏）等比数列an的各项均为实数，其前n项为Sn，已知S3=，S6=，则a8=32【考点】88：等比数列的通项公式菁优网版权所有【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列【分析】设等比数列an的公比为q1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q1，S3=，S6=，=，=，解得a1=，q=2则a8=32故答案为：32【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（5分）（2017新课标）等差数列an的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则 =【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前n项和菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，Sn=，=，则 =21+=2（1）=故答案为：【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力18（5分）（2017汕头三模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教伟烈亚利将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列an，则此数列的项数为134【考点】81：数列的概念及简单表示法菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故an=15n14由an=15n142017得n135，当n=1时，符合要求，但是该数列是从2开始的，故此数列的项数为1351=134故答案为：134【点评】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题19（5分）（2017闵行区一模）已知无穷数列an，a1=1，a2=2，对任意nN*，有an+2=an，数列bn满足bn+1bn=an（nN*），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为2【考点】81：数列的概念及简单表示法菁优网版权所有【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；5M ：推理和证明【分析】依题意数列an是周期数咧，则可写出数列an的通项，由数列bn满足bn+1bn=an（nN*），可推出bn+1bn=an=，要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则b2=b6=b10=b2n1，b4=b8=b12=b4n，可得b8=b4=3即可，【解答】解：a1=1，a2=2，对任意nN*，有an+2=an，a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=a1=1，an=bn+1bn=an=，b2n+2b2n+1=a2n+1=1，b2n+1b2n=a2n=2，b2n+2b2n=3，b2n+1b2n1=3b3b1=b5b3=b2n+1b2n1=3，b4b2=b6b4=b8b6=b2nb2n2=3，b2b1=1，=b4n2，数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，b2=b6=b10=b4n2，b4=b8=b12=b4n，解得b8=b4=3，b2=3，b2b1=1，b1=2，故答案为：2【点评】本题考查了数列的推理与证明，属于难题20（5分）（2017青浦区一模）设数列an的通项公式为an=n2+bn，若数列an是单调递增数列，则实数b的取值范围为（3，+）【考点】82：数列的函数特性菁优网版权所有【专题】35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用【分析】数列an是单调递增数列，可得nN*，an+1an，化简整理，再利用数列的单调性即可得出【解答】解：数列an是单调递增数列，nN*，an+1an，（n+1）2+b（n+1）n2+bn，化为：b（2n+1），数列（2n+1）是单调递减数列，n=1，（2n+1）取得最大值3，b3即实数b的取值范围为（3，+）故答案为：（3，+）【点评】本题考查了数列的单调性及其通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21（10分）（2017江苏）对于给定的正整数k，若数列an满足：ank+ank+1+an1+an+1+an+k1+an+k=2kan对任意正整数n（nk）总成立，则称数列an是“P（k）数列”（1）证明：等差数列an是“P（3）数列”；（2）若数列an既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：an是等差数列【考点】8B：数列的应用菁优网版权所有【专题】23 ：新定义；35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，an3+an2+an1+an+1+an+2+an+3=（an3+an+3）+（an2+an+2）+（an1+an+1）23an，根据“P（k）数列”的定义，可得数列an是“P（3）数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到an从第3项起为等差数列，再通过判断a2与a3的关系和a1与a2的关系，可知an为等差数列【解答】解：（1）证明：设等差数列an首项为a1，公差为d，则an=a1+（n1）d，则an3+an2+an1+an+1+an+2+an+3，=（an3+an+3）+（an2+an+2）+（an1+an+1），=2an+2an+2an，=23an，等差数列an是“P（3）数列”；（2）证明：当n4时，因为数列an是P（3）数列，则an3+an2+an1+an+1+an+2+an+3=6an，因为数列an是“P（2）数列”，所以an3+an3+an+an+1=4an1，an1+an+an+2+an+3=4an+1，+，得2an=4an1+4an+16an，即2an=an1+an+1，（n4），因此n4从第3项起为等差数列，设公差为d，注意到a2+a3+a5+a6=4a4，所以a2=4a4a3a5a6=4（a3+d）a3（a3+2d）（a3+3d）=a3d，因为a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=4a3a2a4a5=4（a2+d）a2（a2+2d）（a2+3d）=a2d，也即前3项满足等差数列的通项公式，所以an为等差数列【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题22（10分）（2017北京）设an和bn是两个等差数列，记cn=maxb1a1n，b2a2n，bnann（n=1，2，3，），其中maxx1，x2，xs表示x1，x2，xs这s个数中最大的数（1）若an=n，bn=2n1，求c1，c2，c3的值，并证明cn是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，M；或者存在正整数m，使得cm，cm+1，cm+2，是等差数列【考点】8B：数列的应用；8C：等差关系的确定菁优网版权所有【专题】32 ：分类讨论；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列【分析】（1）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（bknak）（b1na1）0，则b1na1bknak，则cn=b1na1=1n，cn+1cn=1对nN*均成立；（2）由biain=b1+（i1）d1a1+（i1）d2n=（b1a1n）+（i1）（d2d1n），分类讨论d1=0，d10，d10三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得cm，cm+1，cm+2，是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得nm，M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当nm时，M【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=maxb1a1=max0=0，当n=2时，c2=maxb12a1，b22a2=max1，1=1，当n=3时，c3=maxb13a1，b23a2，b33a3=max2，3，4=2，下面证明：对nN*，且n2，都有cn=b1na1，当nN*，且2kn时，则（bknak）（b1na1），=（2k1）nk1+n，=（2k2）n（k1），=（k1）（2n），由k10，且2n0，则（bknak）（b1na1）0，则b1na1bknak，因此，对nN*，且n2，cn=b1na1=1n，cn+1cn=1，c2c1=1，cn+1cn=1对nN*均成立，数列cn是等差数列；（2）证明：设数列an和bn的公差分别为d1，d2，下面考虑的cn取值，由b1a1n，b2a2n，bnann，考虑其中任意biain，（iN*，且1in），则biain=b1+（i1）d1a1+（i1）d2n，=（b1a1n）+（i1）（d2d1n），下面分d1=0，d10，d10三种情况进行讨论，若d1=0，则biain（b1a1n）+（i1）d2，当若d20，则（biain）（b1a1n）=（i1）d20，则对于给定的正整数n而言，cn=b1a1n，此时cn+1cn=a1，数列cn是等差数列；当d20，（biain）（bnann）=（in）d20，则对于给定的正整数n而言，cn=bnann=bna1n，此时cn+1cn=d2a1，数列cn是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，是等差数列，命题成立；若d10，则此时d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在mN*，使得nm时，d1n+d20，则当nm时，（biain）（b1a1n）=（i1）（d1n+d2）0，（iN*，1in），因此当nm时，cn=b1a1n，此时cn+1cn=a1，故数列cn从第m项开始为等差数列，命题成立；若d10，此时d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在sN*，使得ns时，d1n+d20，则当ns时，（biain）（bnann）=（i1）（d1n+d2）0，（iN*，1in），因此，当ns时，cn=bnann，此时=an+，=d2n+（d1a1+d2）+，令d1=A0，d1a1+d2=B，b1d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得nm，M，若C0，取m=+1，x表示不大于x的最大整数，当nm时，An+BAm+B=A+1+BA+B=M，此时命题成立；若C0，取m=+1，当nm时，An+B+Am+B+CA+B+CMCB+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当nm时，M；综合以上三种情况，命题得证【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题23（10分）（2017北京）已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5（）求an的通项公式；（）求和：b1+b3+b5+b2n1【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列【分析】（）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求an的通项公式；（）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可【解答】解：（）等差数列an，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以an的通项公式：an=1+（n1）2=2n1（）由（）可得a5=a1+4d=9，等比数列bn满足b1=1，b2b4=9可得b3=3，或3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）q2=3，b2n1是等比数列，公比为3，首项为1b1+b3+b5+b2n1=【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查计算能力24（10分）（2017新课标）记Sn为等比数列an的前n项和已知S2=2，S3=6（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列【考点】8E：数列的求和；89：等比数列的前n项和菁优网版权所有【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列【分析】（1）由题意可知a3=S3S2=62=8，a1=，a2=，由a1+a2=2，列方程即可求得q及a1，根据等比数列通项公式，即可求得an的通项公式；（2）由（1）可知利用等比数列前n项和公式，即可求得Sn，分别求得Sn+1，Sn+2，显然Sn+1+Sn+2=2Sn，则Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列【解答】解：（1）设等比数列an首项为a1，公比为q，则a3=S3S2=62=8，则a1=，a2=，由a1+a2=2，+=2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=2，则a1=2，an=（2）（2）n1=（2）n，an的通项公式an=（2）n；（2）由（1）可知：Sn=（2+（2）n+1），则Sn+1=（2+（2）n+2），Sn+2=（2+（2）n+3），由Sn+1+Sn+2=（2+（2）n+2）（2+（2）n+3）=4+（2）（2）n+1+（2）2+（2）n+1，=4+2（2）n+1=2（2+（2）n+1），=2Sn，即Sn+1+Sn+2=2Sn，Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列【点评】本题考查等比数列通项公式，等比数列前n项和，等差数列的性质，考查计算能力，属于中档题25（10分）（2017山东）已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3x2=2（）求数列xn的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）Pn+1（xn+1，n+1）得到折线P1 P2Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1所围成的区域的面积Tn【考点】8I：数列与函数的综合菁优网版权所有【专题】38 ：对应思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可【解答】解：（I）设数列xn的公比为q，则q0，由题意得，两式相比得：，解得q=2或q=（舍），x1=1，xn=2n1（II）过P1，P2，P3，Pn向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，Qn，记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn，则bn=（2n+1）2n2，Tn=321+520+721+（2n+1）2n2，2Tn=320+521+722+（2n+1）2n1，得：Tn=+（2+22+2n1）（2n+1）2n1=+（2n+1）2n1=+（12n）2n1Tn=【点评】本题考查了等比数列的性质，错位相减法求和，属于中档题第31页（共31页）