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例1 求极限（1）， 解 时，极限为1；时（充分大时，），原式。（2）解 先求，所以原式=另法 利用（3）解 因为，即有当时，由夹挤准则得，同理，故原极限为1。（4） 解 先求，原极限为 。（5）.解 原式 （6）.解 分子为,原式. 练习（1） （答案）（2） （答案） （3） （答案） （4） （答案） （5） （答案） （6） （提示和差化积，极限为0）（7）设，求。（提示：令，则。）例2 设，求解 考虑，分三个情形：（1）若，极限为0.（2）若，则，易得，故数列单调递减有下界，极限存在。对两边求极限得 ，从而。（3）时，同理求得。综上极限为0.例3设，且 证明 。分析 问题中的递推公式互相关联，且平均值不等式（几何平均与算术平均）可用，考虑单调有界准则。 证 由于，且 可知为单调增加数列，为单调减少数列，且故数列极限都存在，设极限分别为，对两边取极限得，故。注 此题变化为：，且 则。例4 求下列函数的间断点并判断类型：（1）. （2）. 解 （1）无定义的点为整数.因为，所以是跳跃间断点；因为所以是可去间断点；时，是第二类间断点。 思考：间断点将实轴分成子区间，函数在哪个子区间上有界？（2）无定义的点及.因为 ,故是的无穷间断点.又由于故是的跳跃间断点.例5 设函数在闭区间上连续，。证明存在，使得。证 令，则由条件知在上连续，设其最小值与最大值为。则又直接计算得知故由连续函数的介值定理，在区间内必能取到值0。亦即存在，使得。同型练习题：设函数在闭区间上连续，。证明存在，使得。例6 设函数在实轴上连续，且。证明，使。（用反证法）例7 设在连续，且：，证明：时，是常数。证 对任，.令，利用及连续性条件得，即恒等于.同型练习题：设在连续，且，证明：是常数。例8 设为常数，若不等式对所有成立,证明 。 例9 设在内连续，且任给，有 试证为线性函数，其中。 证 显然，即为奇函数。又，即。从而，故对有理数都有。 任给，存在有理数数列，利用的连续性，得。 注 此题条件改为在处可导，且任给，有 则证法改变为 ，记为，从而，由得。
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