立体几何两种解法的论文

立体几何问题两种解法的比较孟祥凤摘 要：本文对高考数学中立体几何的两种求解方法（传统法与向量法）进行了比较探究，全面分析了立体几何问题分别用传统法和向量法来解题的方法，并通过实例中对两种方法解题的对比，指出传统法与向量法的优缺点及区别与联系，进而提出在教学和解题上对传统法与向量法的选择的思考，以期使它们的积极功能得以体现 关键词：立体几何 传统法 向量法立体几何在培养学生空间想象能力、逻辑推理能力等方面有着独到的作用，因而它成为历届高考重点考查的内容之一，在历年的高考中约占12%.高考数学试卷中立体几何的难度不会很大，所以应在基础知识，基本技能落实的基础上注意类比、转化思想，数行结合思想的应用，借助向量知识、点-线-面之间的性质等工具，选取合理、快捷的解题方法.立体几何中常出现的问题无外乎线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质以及空间距离和空间角等这几方面，下面分别从传统法和向量法两种方法阐述这两种方法在解这些问题时的方法。1、 传统法 传统方法是在向量法以前的唯一一种解立体几何的方法，它存在一定的技巧性，只要从多个方面考虑问题解决并不难。以下从几个方面给出运用传统法的方法。 （一)解决线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质(见表一) （二）传统法解决空间距离的方法 异面直线距离：通常找公垂线段，在根据已知条件求出公垂线段长。 点到平面的距离：先作出表示距离的线段，再证明它就是所要求的距离，然后再计算；或用等体积法。 面与面间距离：找出两个面的公垂线，根据已知条件求出公垂线的距离即为面与面间的距离。 （三）传统法解决空间角的方法 异面直线所成的角：将异面直线平移，转化为同一平面内的两条直线，在借助三角形的正、余弦定理求解。线面角：先求点到面的距离，通过射影斜线间在同一个三角形内，然后解直角三角形的方法进行求解。二面角：方法一：设二面角-的大小为 (0) , ，分别是平面，内且垂直于的向量,则= 或=- 。方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，通过射影斜线间的关系，然后通过解直角三角形求角。 （四）解题思路 传统法的解题思路：证明平行和垂直主要是依据判定定理和性质定理，计算问题主要是作辅助线、证明、求解的过程，先要做出或寻找到所求的距离或角，然后证明，最后计算.计算一般使用勾股定理，余弦定理等解三角形的知识，解决问题的技巧性较大。平行垂直直线和直线(1)同平行于直线的两直线平行行(2)= ,/, (3)(4) ,(5)两平行平面都和第三个平面相交分别交于与，则交线平行(1) ,/cc(2) ,(3)三垂线定理及其逆定理(4) /,直线 ()与平面(1) (2) (3), /(1) m, (2) /,(3) /, (4) , (5) ,平面与平面(1)若内的两条相交直线,都平行于，则/(2),/(3)平行于同一平面的两平面平行(1) ,(2) /, 表一（见12） 例1：如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点。 （I）证明：直线；（II）求异面直线与所成角的大小； （）求点到平面的距离。 (1)证明：取中点，连接，. , . 又, 平面平面, 平面. (2）解：, 为异面直线与所成的角（或其补角）. 作连接. 平面, . , , , , 与所成角的大小为. (3)解:平面, 点和点到平面的距离相等. 连接,过点作. , 平面, , 平面, 线段的长就是点到平面的距离. , , 点到平面的距离为.（见3） 例2：如图，直三棱柱中，,、分别为、的中点，平面. （1）证明：； （2）设二面角为60,求与平面所成的角的大小. （1）证明：取中点，连接，连接. 分别为的中点， 并且, 四边形为平行四边形， . 又平面, 平面, , 是的垂直平分线, .(2)解：作，垂足为，连接. 由三垂线定理知， 为二面角的平面角. 设=. = , 2=，解得=. . ， 四边形为正方形. ，=， 平面， 平面平面. 连接、，设， ，平面, 为与平面所成的角. 为正方形，=， =1. , =300， 与平面所成的角为300.(见4) 二、向量法向量的应用是在熟练三视图的解题方法后，通过建立空间直角坐标系，找向量与向量之间的关系从而得到想要的结论。 （一）证明线线、线面、面面的平行的方法 线线平行：设，分别是两条不重合的直线,的方向向量,则= (R，且0）。线面平行：方法一：设直线在平面外，是的一个方向向量,是的一个法向量, 则/ 。方法二：对于向量，存在实数，有（与不共线），则与，共面，即与、所确定的平面平行或在其内。 面面平行：设,分别是两个不重合的平面,的法向量/ = (R，且0)。 （二）证明线线、线面、面面的垂直的方法 线线垂直： 设,分别为直线,的一个方向向量,则 = 0。 线面平行： 设为直线的一个方向向量,是平面的一个法向量,那么要使垂直于的条件： / =(R，且0)。 面面垂直： 设,分别为平面,的一个方向向量,则 =0。（三）向量法求解空间距离的方法 两点间的距离：设空间两点,的距离： = . 点线间的距离：点直线,设 是直线的一个法向量,在上取点 ，在上的投影为|=,则点到直线的距离=| =。点到面的距离:方法一：设点，平面的方程为：。空间中点到平面的距离公式: = .方法二：设平面的斜线=,是的一个法向量,则点 到平面的距离 = 。线线间的距离：设,分别是异面直线,的方向向量,是，的法向量，在，上各取一点,在上的投影。 （四）向量法求解空间角问题的方法线线角：设异面直线、的夹角为( 0) ， 、分别为,的一个方向向量,则cos =|cos | =。线面角：若直线与平面斜交于点，在直线上，于，为平面的法向量，与所成角为 (0)，则sin=sin(-)=cos= 。二面角：二面角为 (0)，为平面的法向量，为平面的法向量，则 =，那么向量， 的夹角 就是二面角（或其补角）的大小。以上是应用向量法求解和证明立体几何是需要用到的基础知识，要想很好的应用向量法必须熟记以上内容。但是在实际解题时，具体问题需具体分析，从多方面考虑入手，寻找解题的捷径。（5） 向量法解题思路 利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系，并且给出用空间向量解决立体几何问题的三步骤：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系以及距离和夹角问题；把向量的运算结果翻译成相应的几何意义.下面用向量法分别解例1、例2。 例1：（1）证明：作于点,以所在直线为轴建立坐标系.则 , 于是. 设平面的法向量为 ，则 ,. 即 取,解得, (), .（2）解：设与所成的角为, , , , 与所成角的大小为. (3) 解：设点到平面的距离为, 为在向量上的投影的绝对值, , , 点到平面的距离为.(见45)点析：线面平行的证明、异面直线所成的角，点到直线的距离，既可以用综合方法求解，也可以用向量方法求解，前者较简便，因为应用向量法计算上会花费很大功夫，个人喜欢再求二面角时使用向量法。 例2: （1）证明：以为坐标原点，所在直线为轴、轴、轴. 设，则,. 于是=，=. 平面, ， =0，求得=1， . (2) 解：设平面的法向量. . =，=, 即 , 令, 则, =,=(. 平面的法向量, 二面角为60, ， ， ， ， , ， , 与平面所成的角为.点析：立体几何当中第一问往往是很浅显的，一般用传统方法很容易，但是第二问二面角就不是很容易求出，建议用向量法求解，在一些规则的例如：正方体、高与底面互相垂直等空间图形，用向量法解题就非常容易。 以上两个立体的两种解法已经明确给出，在使用两种方法时有优点也有缺点，那么现在来比较一下两种方法的优缺点。 三、两种方法的优缺点比较传统法与向量法在运用上有很大差别，与此同时就存在着优点与缺点，下面阐述一下两种方法的优缺点。（1） 传统法的优点与缺点传统法是指不使用其他工具，对几何元素及其关系用定理(或公理)演绎推理出有关结论。 它的优点是解法简捷、优雅；对逻辑思维能力、作图能力和空间想象力的提高较有成效。对于一些简单易解的题很实用。传统法的缺点是它常需添加辅助线、辅助面；要求学生的基础知识过硬和扎实，需要学生有较高空间想像能力(判定点、线、面)位置关系能力及较强作图能力(包括作辅助线、面)与较严谨的逻辑推理能力和较高技巧、计算能力强等劣势。一旦辅助线、辅助面做不出来也一样是全盘皆输。（2） 向量法的优点与缺点向量法的优点是以算数代替证明，数形结合，由计算出的数决定题目的性质、定量，方法统一、机械，可操作性强；弱化了技巧、降低了难度、丰富了思维结构进一步而言，相对于传统方法，对立体几何题的探讨用向量法则显得自然、简便。对立体几何的平行、垂直、角、距离等问题，特别是根据题设条件可以较方便地建立空间直角坐标系时，这种优越性便发挥得更为明显,既降低了难度，又易学易懂,有效地避开了立体几何中繁琐的定性分析使得一些立体感不强的学生可以容易的解题。向量法的出现收到了很高的重视。向量法的缺点是适用范围比综合法窄(比较规则的几何体)，有时运算量比较大，也需要一定的技巧，学生掌握这些技巧同样会有困难，定量计算一旦算错，全盘皆错。而且相对于传统方法而言，后者对于学生逻辑思维能力、作图能力及空间想象能力的培养与提高稍显不足。对于一些不明显的三线垂直图形很难建系，这就使得解题变得难了。五、向量法与传统法在选择上的思考随着新课程改革的深入，向量法一经出现马上受到重视，但课程改革的理念并不是彻底抛弃传统法，而是注意两者的结合，走中间路线，既保持传统法的一些要求，也发挥向量法的一些计算优势。在处理具体问题时，要采取实事求是的态度：凡是用传统法不直观比较困难而用向量法比较容易解决的问题，就以向量为“通法”来解决；对有些直接使用线面关系性质定理、勾股定理和三角知识比较容易解决，并且用向量法运算量较大、出错率较高的问题，就用综合法去对待；而部分题是把几何综合推理和向量代数运算推理有机地结合起来运用。所以，对于综合法与向量法的选择需要根据具体题目而定，选择花时最少，相对简单的方法，这就需要平时的训练中两种方法都能运用解题，不要因为其中一种方法解题困难而错失整到题。本文还有很多不足之处，在今后的学习和研究中将会不断地深入探究，对以后高考数学中的立体几何问题的两种解法继续进行对比探究，给出给出更多更全面的分析，以弥补本文的不足。参考文献1张淀宙.宋乃庆. 数学教育概论M 北京：高等教育出版社，20042胡乾彪.对空间向量教学的调查、研究与思考.数学教学J. 20053吴厚荣.用综合法和向量法解答立体几何问题的对比实验反思J.中国科教创新刊，20084陈雪梅.用向量法处理立体几何问题的教学效果研究.数学教育学报J，20085雷秀芳. 空间向量解决立体几何问题J. 甘肃联合大学学报（自然科学版）,2008COMPARISION OF TWO METHOD OF THREE-DIMENSIONAL GEOMETRY PROBIEMMengxiangfeng Abstrct:Two methods for solving three-dimensional geometry of collge entrance examination in Mathematics (the traditional method and the vector method) were compared to explore,A comprehensive analysis of the problems of geometry are used to solve problems of traditional method and vector method, and through the example of two methods of solving the contrast, points out the advantages and disadvantages of the traditional method and the vector method and the difference and connection, and then put forward the thought of traditional method and vector method choice in teaching and problem solving, in order to the positive function of their embodied. Key words:Solid geometry The traditional method The vector method