自动控制原理-夏超英-第2章+习题解答

第二章 习题解答2-1试求下列各函数的拉氏变换。（a），（b），（c），（d），（e），（f），（g），（h）解：（a）（b）（c）（d），（e）（f）（g）（h）2-2试求图2.54所示各信号的拉氏变换。（a） （b） （c） （d）图2.54 习题2-2图解：（a）（b）（c）（d）所以2-3运用部分分式展开，求下列各像函数的原函数。（a），（b），（c），（d），（e），（f）解：（a）部分分式分解有查表得（b）部分分式分解有查表得（c）部分分式分解有查表得（d）部分分式分解有查表得（e）部分分式分解有查表得（f）根据位移定理有2-4用拉氏变换求解下面的常微分方程。（a）（b）（c）（d）解：（a）根据微分定理，微分方程两边拉氏变换得即部分分式分解有拉氏反变换得到（b）根据微分定理，微分方程两边拉氏变换得即部分分式分解有拉氏反变换得到（c）根据微分定理，微分方程两边拉氏变换得即部分分式分解有拉氏反变换得到（d）根据微分定理，微分方程两边拉氏变换得即部分分式分解有拉氏反变换得到注：可利用Matlab命令来求解微分方程。例如对本题的（a），键入Matlab命令回车后得到2-5设质量、弹簧、阻尼器系统如图2.55（a）、（b）、（c）所示，图中是输入位移，是输出位移。试分别列写各系统的输入输出微分方程描述。 （a） （b） （c）图2.55 习题2-5图解：（a）对于图2.55（a）所示的质量、弹簧、阻尼器系统，有即（b）对于图2.55（b）所示的质量、弹簧、阻尼器系统，设弹簧下端位置为，则有即有消去中间变量得到（c）对于图2.55（c）所示的质量、弹簧、阻尼器系统，有即2-6车轮的减震器模型如图2.56所示，图中为减振系统支撑点向上的位移，单位为；为去掉四个车轮质量后的整车质量的四分之一；为减震器的弹性系数；为减震器的阻尼系数；kg为单个车轮的质量；为轮胎的弹性系数。图中所示为重力作用下，车辆在水平路面匀速行驶时减振系统所处于的平衡位置。考虑由于路面不平引起的轮胎变形，减振系统支撑点的增量运动，求二者间的输入输出微分方程并求传递函数。 图2.56 习题2-6图解：根据牛顿力学知识，有对上面的第2式微分，将表示成、的函数有将结果代入上面的第1式，消去得将结果代入上面的第2式，消去得将上述的结果及其微分代入到上面的第2式，消去和，整理得根据上面的结果得到传递函数为将各个参数的数值代入得到2-7用一根弹簧连接两个摆，如图2.57所示，系统在下平衡位置时弹簧刚好不受力。以作用力作为输入，作为输出，求系统下平衡位置附近的输入输出微分方程并求传递函数。图2.57 习题2-7图解：在下平衡位置附近，下平衡位置附近系统的微分方程为从上述第2式解出为代入到上述第1式得到根据上面的结果得到传递函数为2-8试证明图2.58中（a）的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。 (a) (b)图2.57 习题2-8图解：对于图2.57（a）所示电路，根据复阻抗的概念有于是，输入输出微分方程描述为对于图2.57（b）所示电路弹簧阻尼器系统，根据牛顿定律有式中为阻尼器上端的位置。为消去中间变量，先由第1式有将结果代入到上面的第2式解出即有将结果代入到上面的第1式有即它和图2.58中（a）的电网络有相似的数学模型。2-9运算放大器是有源器件，实际中通常以供电电源的地作为参考点，如图2.58（a）所示，、和分别是反向输入端、正向输入端、输出端对参考点的电压，则有式中为运算放大器的差动放大倍数，在很宽的频率范围内它是一个很大的值。 （a） （b）图2.58 习题2-9图图2.58（b）所示为运算放大器的典型应用电路，图中为输入复阻抗，为输出复阻抗。运算放大器的输入阻抗很高，输出阻抗很低，差动放大倍数很大。所以从两输入端流入或流出的电流都很小，正向输入端的电位接近于零，而且在运算放大器正负供电电源限定的线性输出范围内，电压差也很小，反向输入端的电位也接近于零，称为虚地。于是有下述关系存在所以有即图2.58（b）所示运算放大器电路的传递函数为输出复阻抗与输入复阻抗之比的负值。（a）设输入复阻抗和输出端复阻抗是电阻和，试求传递函数。（b）设输入复阻抗是电阻，输出端复阻抗是电容，试求传递函数。（c）设输入复阻抗是电阻，输出端复阻抗是电阻和电容串联，试求传递函数。（d）设输入复阻抗是电阻和电容并联，输出端复阻抗是电阻，试求传递函数。解：（a）此时，故有是一个比例环节。（b）此时，故有是一个积分环节，积分时间常数为。（c）此时，故有是一个比例+积分环节，比例系数为，积分时间常数为。（d）此时，故有是一个比例+微分环节，比例系数为，时间常数为。2-10由运算放大器组成的同向输入和差分输入放大器电路如图2.59（a）、（b）所示，试求各自的传递函数。 (a) (b)图2.59 习题2-10图解：对于图2.59（a）所示同向输入的放大器电路，运算放大器正向输入端“”和反向输入端“”基本同电位，且正负输入端间的输入阻抗很大，因此有因此有式中、为电路中的复阻抗。对于图2.59（b）所示差分输入的放大器电路，同样因为运算放大器正向输入端和反向输入端基本同电位，且正负输入端间的输入阻抗很大，有式中，、分别为同向输入阻抗左端对地、反向输入阻抗左端对地、运算放大器输出端对地的电压，因此有即因为，所以2-11设晶闸管三相桥式全控整流电路的输入量为控制角，输出量为空载整流电压，它们之间的关系为式中是控制角时的空载整流电压值。试推导整流装置在静态工作点附近的线性化方程。解：设在静态工作点上满足静态工作点附近增量间满足故得整流装置在静态工作点附近的线性化方程为式中，。2-12某试验室通过两水箱做水流量试验，如图2.60所示，假设左侧水箱的截面积为，右侧水箱的截面积为，、截流孔的大小相同，、截流孔等高，设为水面到截流孔的高差，通过各截流孔的流量满足关系式（a）假定孔封闭，孔打开，求从水泵流量到水位的传递函数；（b）假定孔封闭，孔打开，求从水泵流量到水位的传递函数。图2.60 习题2-12图解：（a）假定孔封闭，孔打开，水泵流量，流过截流孔、的流量、间满足将和表示成液位差的函数有静态工作点的增量间满足消去中间变量有故得水泵流量到水位的传递函数为（b）假定孔封闭，孔打开，水泵流量，流过截流孔、的流量、间满足将和表示成液位差的函数有静态工作点的增量间满足消去中间变量有故得水泵流量到水位的传递函数为2-13热交换器的示意图如图2.61所示，图中外层夹套中的蒸汽用来加热罐中的液体，设流入夹套中蒸汽的温度为，流量为，夹套流出的蒸汽温度为，流量为，且；流入罐中液体的温度为，流量为，罐中流出的液体温度为，流量为，且。罐内液体由于有搅拌作用，可以认为温度是均匀的，即有。根据热传导原理，夹套中蒸汽温度的变化率正比于进入夹层的净热量，即有式中，为夹套内蒸汽的热溶，为蒸汽的比热，整个交换器平均热流量的热阻。同理，罐中液体温度的变化率成正比于进入罐内的热量，即有式中，为罐内液体的热溶，为水的比热。假设为常值，系统工作在某静态工作点附近，静态工作点满足给流量一扰动或给一扰动，求两种情况下关于增量的传递函数和。图2.61 习题2-13图解：给流量一扰动，记、，则有将静态工作点满足条件代入得略去二阶增量，有消去中间变量得到 故有同理，给一扰动，记、，则有将静态工作点满足条件代入得消去中间变量得到故有2-14直流电动机如图2.16所示，设电枢电压和负载转矩输入为常值，应用终值定理求取电机转速和电枢电压、负载转矩间的稳态关系式。以负载转矩为横轴，转速为纵轴，绘制电机的静态特性曲线，解释其含义。解：电枢电压和负载转矩作为输入转速作为输出，电动机的传递函数为设电枢电压为常值，负载转矩输入为常值，即，则有应用终值定理得电机转速和电枢电压、负载转矩间的稳态关系式为如下图所示，电机稳态转速随供电电压的提高而提高，随负载转矩的加大而降低。2-15已知某系统在零初始条件下的单位阶跃响应为求该系统的传递函数和脉冲响应。解：系统的脉冲响应是系统阶跃响应对时间求导数，即系统的传递函数等于系统脉冲响应函数的拉氏变换，即2-16设系统的传递函数为初始条件，。试求阶跃输入时系统的输出响应。解：系统的微分方程描述为应用微分定理有，于是有拉氏反变换得到2-17在图2.62所示电路中，二极管是一非线性元件，流经它的电流和加在它上面的电压满足关系，设电路中，。图2.62 习题2-17图（a）列写系统输入和输出之间满足的微分方程，画出反映系统动态特性的方框图。（b）设系统静态工作点为，求静态工作点附近输入、输出增量、间的传递函数。解：（a）图2.62所示含有非线性元件二极管的电路满足将代入上式消去中间变量得输入和输出之间满足的微分方程为反映系统动态特性的方框图如下图所示。（b）从静态工作点，算得非线性元件二极管的静态工作点为，非线性元件二极管在静态工作的线性化模型为各变量用增量替代，将上面的结果代入得即有2-18由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2.63所示，试求闭环系统的传递函数。图2.63 习题2-18图解：第1级运放的传递函数为第2级运放的传递函数为第3级运放的传递函数为闭环系统的传递函数为2-19根据电枢控制的直流电动机的微分方程以转速作为输出，画出直流电动机的结构图，并由结构图求出电动机的传递函数和。解：设系统初始条件为零，上述方程取拉氏变换得到据此绘制电动机的动态结构图如下图所示。由电动机的动态结构图得到传递函数2-20某位置随动系统结构图如图2.64所示。已知给定电位器的最大工作角度，功率放大级放大系数为。（a）试求传递系数、第一级和第二级放大器的比例系数和。（b）试绘制系统的动态结构图。（c）化简系统的动态结构图，求传递函数。图2.64 习题2-20图解：（a），。（b）设电枢控制的直流电机的简化模型为绘制系统的动态结构图如下图所示。由系统的动态结构图得到传递函数2-21已知系统的动态结构图如图2.65（a）、（b）、（c）、（d）、（e）所示，试通过结构图等效变换求传递函数。 （a） （b）（c）（d）（e）图2.65 习题2-21图（a）根据向同类相邻点移动的原则，将左面的综合点移动到右面的综合点，结构图等效变换为求得传递函数为（b）应用反馈连接的等效变换法则简化反馈通路，结构图等效变换为求得传递函数为（c）根据向同类相邻点移动的原则，将第1个综合点向后移动到第2个综合点，结构图等效变换为求得传递函数为（d）根据向同类相邻点移动的原则，将第2个综合点向前移动到第1个综合点，将第2个取出点向后移动到第3个取出点，结构图等效变换为求得传递函数为（e）根据向同类相邻点移动的原则，将第2个综合点向前移动到第1个综合点，结构图等效变换为求得传递函数为2-22试通过结构图化简求图2.66（a）、（b）所示系统的传递函数和。（a）（b）图2.66 习题2-22图解：（a）令，合并反馈通路结构图变换为得到传递函数为令，合并化简反馈通路，结构图变换为得到传递函数为（b）令，根据向同类相邻点移动的原则，将第2个综合点向后移动到第2个综合点，结构图等效变换为得到传递函数为令，根据向同类相邻点移动的原则，结构图等效变换为得到传递函数为2-23画出图2.66（a）、（b）所示系统的信号流图，并用梅逊增益公式求各系统的传递函数和。解：（a）图2.66（a）所示系统的信号流图为用梅逊增益公式求得传递函数为（b）图2.66（b）所示系统的信号流图为用梅逊增益公式求得传递函数为2-24试绘制图2.67中各系统的信号流图，并用梅逊增益公式求各系统的传递函数和。（a）（b）图2.67 习题2-24图解：（a）共有3个回路，回路传递函数为分别为，其中2个互不相接触回路的传递函数的乘积为。由到共有2个前向通路，这2个前向通路的传递函数及相应的余子式分别为，。故得传递函数由到共有2个前向通路，这2个前向通路的传递函数及相应的余子式分别为，。故得传递函数（b）共有5个回路，回路传递函数为分别为，没有互不相接触的回路。由到共有4个前向通路，这4个前向通路的传递函数及相应的余子式分别为，。故得传递函数由到共有1个前向通路，这1个前向通路的传递函数及相应的余子式分别为，。故得传递函数2-25试用梅逊增益公式求图2.68中各系统的传递函数。（a）(b)(c)(d)（e）图2.68 习题2-25图解：（a）共有3个回路，回路传递函数为分别为，没有不相接触的回路。由到共有2个前向通路，这2个前向通路的传递函数及相应的余子式分别为，。故得传递函数（b）共有9个回路，回路传递函数为分别为，其中2个互不相接触回路的传递函数的乘积为，3个互不相接触回路的传递函数的乘积为。由到共有4个前向通路，这4个前向通路的传递函数及相应的余子式分别为，。故得传递函数（c）共有3个回路，回路传递函数为分别为，其中2个互不相接触回路的传递函数的乘积为，。由到共有2个前向通路，这2个前向通路的传递函数及相应的余子式分别为，。故得传递函数（d）共有4个回路，回路传递函数为分别为，其中2个互不相接触回路的传递函数的乘积为，。由到共有4个前向通路，这4个前向通路的传递函数及相应的余子式分别为，。故得传递函数由到共有3个前向通路，这3个前向通路的传递函数及相应的余子式分别为，。故得传递函数（e）只有1个回路，回路传递函数为。由到共有9个前向通路，这9个前向通路的传递函数分别为，。9个前向通路和回路都有接触，故得传递函数由到共有3个前向通路，这3个前向通路的传递函数分别为，。3个前向通路和回路都有接触，故得传递函数由到共有3个前向通路，这3个前向通路的传递函数分别为，。3个前向通路和回路都有接触，故得传递函数