2016年中考第一轮复习第15讲《-等腰三角形》专题训练

www.czsx.com.cn第15讲等腰三角形考纲要求命题趋势1了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定2了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定3掌握线段垂直平分线的性质及判定4掌握角平分线的性质及判定.等腰三角形的概念、性质、判定是中考的重点内容，在选择题、填空题、解答题中均有出现；等边三角形、线段的垂直平分线及角的平分线在中考中也经常考查.知识梳理一、等腰三角形1等腰三角形的有关概念及分类有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底_的等腰三角形和_三角形2等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；(3)等腰三角形是轴对称图形3等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)二、等边三角形的性质与判定1等边三角形的性质(1)等边三角形的内角相等，且都等于_；(2)等边三角形的三条边都_2等边三角形的判定(1)_相等的三角形是等边三角形；(2)_相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为_的等腰三角形是等边三角形三、线段的垂直平分线1概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫_2性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_3判定：到一条线段的两个端点_的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合四、角的平分线1性质：角平分线上的点到角的两边的距离_2判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的_上，角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合自主测试1等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，那么，它的底边长为_2如图，在ABC中，C90，AD平分CAB，AD5，AC4，则D点到AB的距离是_3等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为_4等腰三角形的底和腰是方程x26x80的两根，则这个三角形的周长为()A8 B10C8或10 D不能确定考点一、等腰三角形的性质与判定【例1】已知：点O到ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OBOC.(1)如图甲，若点O在边BC上，求证：ABAC；解：(1)证明：过点O分别作OEAB，OFAC，E，F分别是垂足，由题意知，OEOF，OBOC，RtOEBRtOFC，BC，从而ABAC.(2)证明：过点O分别作OEAB，OFAC，E，F分别是垂足，由题意知，OEOF.在RtOEB和RtOFC中，OEOF，OBOC，RtOEBRtOFC.OBEOCF.又由OBOC知OBCOCB，ABCACB，ABAC.(3)不一定成立当A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有ABAC；否则，ABAC，如示例图方法总结 1要证明一个三角形为等腰三角形，须证明这个三角形的两条边相等或两个角相等，两种方法往往都需要证明三角形全等2若三角形中出现了高线、中线或角平分线，有时可以延长某些线段，构造出等腰三角形，然后用“三线合一”性质去处理触类旁通1 如图，已知ACBC，BDAD，AC与BD交于O，ACBD.求证：(1)BCAD；(2)OAB是等腰三角形考点二、等边三角形的性质与判定【例2】(1)如图甲，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.求AEB的大小(2)如图乙，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转(OAB和OCD不能重叠)，求AEB的大小分析：解决等边三角形问题时，要充分利用等边三角形三边相等、三个角都等于60的性质全等是解决这类问题最常见的方法解：(1)如图甲图甲DOC和ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，ODOCOBOA，1260，45.又45260，430.同理，630.AEB46，AEB60.(2)如图乙图乙DOC和ABO都是等边三角形，ODOC，OBOA，1260.又ODOA，ODOB，OAOC，45，67.DOB13，AOC23，DOBAOC.45DOB180，67AOC180，2526，56.又AEB85，826，AEB2552，AEB60.方法总结 1等边三角形的各边相等，各角相等，所以常利用其证明三角形全等或线段及角相等2等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心(四心合一)触类旁通2 已知，如图，延长ABC的各边，使得BFAC，AECDAB，顺次连接D，E，F，得到DEF为等边三角形求证：(1)AEFCDE；(2)ABC为等边三角形考点三、线段的垂直平分线【例3】如图，ABC的周长为30 cm，把ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE4 cm，则ABD的周长是()A22 cm B20 cm C18 cm D15 cm解析：由题意可知DE为AC的垂直平分线，所以ADCD，AC2AE8 cm.因为ABC的周长为30 cm，所以ABBCAC30 cm，所以ABBC22 cm.所以ABD的周长为ABBDADABBC22 cm.答案：A方法总结 1线段垂直平分线的性质有两个：(1)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；(2)线段垂直平分线垂直、平分这条线段2线段垂直平分线的性质定理在中考中常以选择题、填空题的形式出现，且常与三角形的周长结合命题触类旁通3 如图，在RtABC中，C90，CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求B的度数考点四、角的平分线【例4】如图，已知CDAB于点D，BEAC于点E，且CD，BE相交于点O.求证：(1)当12时，OBOC；(2)当OBOC时，12.证明：(1)12，CDAB，BEAC，OEOD.34，CEOBDO90，OECODB.OBOC.(2)34，CEOBDO90，OBOC，OECODB.OEOD.CDAB，BEAC，OA平分CAB.12.方法总结 在解决有关角平分线的问题时通常做法是过角平分线上一点作角的两边的垂线触类旁通4 如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是()APAPB BPO平分APBCOAOB DAB垂直平分OP1(2012贵州铜仁)如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BMCN9，则线段MN的长为()A6 B7 C8 D92(2012江西南昌)若等腰三角形的顶角为80，则它的底角是()A20 B50 C60 D803(2012浙江宁波)如图，AEBD，C是BD上的点，且ABBC，ACD110，则EAB_度4(2012广东广州)如图，在等边ABC中，AB6，D是BC上一点，且BC3BD，ABD绕点A旋转后得到ACE，则CE的长度为_求证：(1)ABDACD；(2)BECE.1如图，坐标平面内有一点A(2，1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为()A2 B3 C4 D52如图所示，A，B，C分别表示三个村庄，AB1 000米，BC600米，AC800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在()AAB中点 BBC中点CAC中点 DC的平分线与AB的交点3在ABC中，B和C的平分线交于点F，过点F作DFBC，交AB于点D，交AC于点E，若BDCE9，则线段DE的长为()A9 B8 C7 D64如图，P，Q是ABC边BC上的两点，且QCAPAQBPPQ，则BAC()A125 B130 C90 D1205如图，在ABC中，BC8，AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则ADE的周长等于_6如图，已知ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CGCD，DFDE，则E_度7已知等腰ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是_8如图所示，在ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：EBODCO；BEOCDO；BECD.(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形(用序号写出所有情况)；(2)选择第(1)小题中的一种情况，证明ABC是等腰三角形参考答案导学必备知识自主测试14或6如果腰长为4，则底边长为14246；如果底边长为4，则两腰分别为5,5.23在RtADC中，CD3，D点到AB的距离CD3.38或或34B解方程x26x80得x12，x24，当腰为2时，224(舍去)，当腰为4时，周长为44210.探究考点方法触类旁通1证明：(1)ACBC，BDAD，DC90.在RtACB和RtBDA中，ABBA，ACBD，ACBBDA(HL)BCAD.(2)由ACBBDA得CABDBA.OAB是等腰三角形触类旁通2证明：(1)BFAC，ABAE，FAEC.DEF是等边三角形，EFDE.又AECD，AEFCDE.(2)由AEFCDE，得FEAEDC.BCAEDCDECFEADECDEF，DEF是等边三角形，DEF60，BCA60.同理可得BAC60.ABC中，ABBC.ABC是等边三角形触类旁通3解：AD平分CAB，CADBAD.DE垂直平分AB，ADBD，BBAD.CADBADB.在RtABC中，C90，CADDAEB90.B30.触类旁通4D品鉴经典考题1DABC，ACB的平分线相交于点E，MBEEBC，ECNECB.MNBC，EBCMEB，NECECB，MBEMEB，NECECN，BMME，ENCN.MNMEEN，即MNBMCN.BMCN9，MN9，故选D.2B因为等腰三角形的顶角为80，所以底角(18080)250.340ABBC，ACBBAC.ACD110，ACBBAC70，B40.AEBD，EABB40.42在等边三角形ABC中，AB6，BCAB6.BC3BD，BDBC2.ABD绕点A旋转后得到ACE，ABDACE，CEBD2.5证明：AE平分DAC，12.AEBC，1B，2C，BC，ABAC.6证明：(1)在ABD和ACD中，D是BC的中点，ABCACD(SSS)(2)由(1)知ABDACD，BADCAD，即BAECAE.在ABE和ACE中，ABEACE(SAS)BECE.研习预测试题1C因为x轴负半轴有一个点，x轴正半轴有三个点，所以符合条件的动点P的个数为4.2A3ABF平分ABC，如图，ABFCBF.CF平分ACB，ACFBCF.DFBC，DFBCBF，EFCBCF.ABFDFB，ACFEFC.BDDF，EFCE.DEDFEFBDCE9.4D58因为ADE的周长ADDEAEBDDEEC8.6157x5由三角形的三边关系得解得x5.8解：(1)；.(2).证明：EBODCO，EOBDOC，BECD，BEOCDO.OBOC.OBCOCB.EBOOBCDCOOCB，即ABCACB.ABAC.ABC为等腰三角形