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2015-2016学年灵宝市第一高级中学高二（下）第一次月考数学（理）试题一、选择题1已知为虚数单位，复数满足，则（ ）A.1B.-1C.D.【答案】A【解析】试题分析：由得，【考点】复数的运算2下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A.两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则+=B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C.某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D.在数列中，计算，由此推测通项【答案】A【解析】试题分析：选项B类比推理，选项C和选项D都是归纳推理。【考点】合情推理与演绎推理3设（其中为自然对数的底数），则的值为（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：。【考点】定积分运算。4函数的图象大致是（ ）【答案】B【解析】试题分析：，函数图像过原点，当x0,令则或，所以。所以选B。【考点】函数的图像与性质，导数与单调性的关系。5如果导函数图像的顶点坐标为，那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（ ）。A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，因为，所以导函数图像开口向上。因为导函数图像的顶点坐标为，所以，的最小值为。斜率，有正切函数的图像知，。选D【考点】导函数的几何意义，正切函数。6数学归纳法证明成立时，从到左边需增加的乘积因式是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：当n=k时，左边=，当n=k+1时，左边=。所以，选A。【考点】数学归纳法。7复数.满足，并且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由得，所以，当时，取最小值，当时，取最大值7.选C。【考点】复数，二次函数。8若在上可导，则( )A.16 B.54 C.24 D.18【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，所以，所以。则。选D。【考点】定积分。9在平面几何中有如下结论：正三角形的内切圆面积为，外接圆面积为，则，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体的内切球体积为，外接球体积为，则=（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设正四面体P-ABC的边长为a，设E为三角形ABC的中心，H为正四面体P-ABC的中心，则HE为正四面体P-ABC的内切球的半径r,BH=PH且为正四面体P-ABC的外接球的半径R。所以BE=，所以在，解得。所以R=PE-HE=所以，根据的球的体积公式有，。选D。【考点】类比推理。10关于函数，下列说法错误的是（ ）A.是的极小值点B.函数有且只有1个零点C.存在正实数，使得恒成立D.对任意两个正实数，且，若，则【答案】C【解析】试题分析：且当0x2时，函数递增。因此x=2是函数的极小值点，A正确。令，所以x0时，即函数g(x)在（0，）上单调递减。因为，所以g(x)有且只有一个零点。B正确。设，易知x2时，,对任意的正实数k，显然当，f(x)kx。所以不恒成立。C错误。选C。【考点】导函数11已知定义在实数集R的函数满足（1）=4,且导函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设t=lnx,则不等式化为，设g(x)=f(x)-3x-1,则。因为，所以1时，g(x)g(1)=0,此时g(x)=f(x)-3x-13x+1的解为x3t+1的解集为t1.由lnx1得0xg(1),即，所以选D。【考点】函数的单调性与导函数，不等式。二、填空题13如下图，阴影部分的面积是 。【答案】【解析】试题分析：【考点】定积分14若函数在区间是减函数，则的取值范围是 。【答案】【解析】试题分析：,令t=sinx,则函数变为，函数g（t）的对称轴是,由已知的函数g(t)在区间上为减函数，所以，所以。【考点】余弦二倍角公式及二次函数的单调性。15若为的各位数字之和，如142+1=197，1+9+7=17，则；记，则 。【答案】8【解析】试题分析：，又因为2016/3=672,所以【考点】归纳推理。16已知函数的定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如下图所示，-10451221下列关于的命题：函数是周期函数；函数在上减函数；如果当时，的最大值是2，那么的最大值是4；当时，函数有4个零点；函数的零点个数可能为0，1，2，3，4。其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）。【答案】【解析】试题分析：由导函数的图象可知，所以错，正确。如果当时，的最大值是2，那么的范围是0,5，所以 错。函数的零点个数与a的取值以及f(2)有关，而f(2)的值不确定。考虑函数f(x)与y=a的图像有几个交点，当a2时没交点。错对。【考点】导函数与单调性。三、解答题17已知实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1,ac+bd1,求证a，b，c，d中至少有一个是负数。【答案】【解析】试题分析：对于含有“至少”，“至多”的命题的证明，经常用反证法证明。假设结论不成立，由得。由条件中的和与积想到基本不等式，再用放缩法得，两式相加可推出矛盾。试题解析：证：假设，这与相矛盾原假设不成立.即证得中至少有一个是负数。【考点】1.反证法；2.基本不等式；3.不等式的性质。18如下图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米。（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积。【答案】（1）（2）AN的长为4米，矩形AMPN的面积最小，最小为24米。【解析】试题分析：（1）设AN的长为x，利用，用x表示AM，然后求面积，再解不等式求x得范围。（2）解法一：把中的x-2看成整体变形成，用基本不等式求解。解法二：对求导，利用导数求极小值即为最小值。试题解析：解：（1）解：设AN的长为x米（x2）由题意可知：由SAMPN32得，x23x232（x2）0，即（3x8）（x8）0（x2）解得：即AN长的取值范围是（2）解法一：x2，当且仅当，即x=4时，取“=”号即AN的长为4米，矩形AMPN的面积最小，最小为24米。解法二：令S=0得x=4当2x4时，S0当x4时S0当x=4时，S取极小值，且为最小值。即AN长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小为24平方米。【考点】1.一元二次不等式式的解法；2.基本不等式；3.利用导数求极值。19已知，考查；归纳出对都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明。【答案】结论：【解析】试题分析：观察给出的三个式子的特点，归纳出对都成立的类似不等式试题解析：结论 ：证明：当时，显然成立；假设当时，不等式成立，即，则时，由，不等式对任意正整数成立。【考点】1.归纳推理；2.数学归纳法。20已知函数。（1）若曲线在处的切线方程为，求实数和的值；（2）讨论函数的单调性； （3）若，且对任意，都有，求的取值范围【答案】（1）b=-4。（2）当时，在上是减函数，当时，在上是增函数，在上是减函数。（3）【解析】试题分析：（1）求导得，由求因为，把点（1，f(1)）的坐标代入切线方程可求b的值。（2）求函数的单调性应先求导，再解。求导并化简得，因为x0,所以正负只和分子有关，而解，与a的正负有关，所以分和讨论。（3）时，设由单调性把去绝对值号得，变形为，构造函数，只要满足在上为减函数，即在恒成立，所以。试题解析：解：（1）求导得在处的切线方程为，得,b=-4。（2）当时，在恒成立，所以在上是减函数。当时，（舍负），在上是增函数，在上是减函数；（3）若，在上是减函数，即即，只要满足在为减函数，即在恒成立，所以。【考点】1.导函数的几何意义；2.导数与单调性；3.解一元二次不等式；4.二次函数的最值。21设函数。（1）求函数的单调区间；（2）当时，设函数，若对于使成立，求实数的取值范围。【答案】（1）当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为。（2）的取值范围为【解析】试题分析：（1）先求函数的定义域，求导数得，解不等式，由1与的大小分情况讨论。（2）对于使成立，等价于在上的最小值小于等于函数在区间上的最小值。当时，由（1）知函数在区间上为增函数，所以函数在区间上的最小值为。二次函数，对称轴为x=b，讨论b与0,1,的大小求函数g(x)的最小值。试题解析：解：（1）函数的定义域为。由，解得，当时，由解得，由解得；当时，；.当时，由由解得由解得；综上：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为。（2）当时，由（1）知函数在区间上为增函数，所以函数在区间上的最小值为。题意等价于在上的最小值小于等于函数在区间上的最小值，又，当时，在上为增函数，不适合题意；当时，可得，得；当时，在上为减函数，,解得，此时。综上：的取值范围为【考点】1.函数的单调性与导数；2.函数的最值。22设函数，其中。（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明不等式：【答案】（1）当时，的增区间为；当时，的增区间为，减区间为；当时，的增区间为，减区间为【解析】试题分析：（1）求导得，由函数定义域知分母大于0，解只需考虑分子即可。而解与的正负有关，所以分b与的大小讨论。（2）由要证的不等式的特点构造函数，证在上递增，=0，即当，即 ，对任意的为正整数，取，有，则左边= 再用放缩法得。试题解析：解：（1）的定义域为，当时，在上递增；当，得当时，令得令得；当时，令得令得；综上可得，当时，的增区间为；当时，的增区间为，减区间为；当时，的增区间为，减区间为（2），令，在上递增，=0，即当，即：，对任意的为正整数，取，有，则。【考点】1.函数的单调性与导函数；2.解一元二次不等式；3.对数的运算性质第 15 页 共 15 页
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