函数与极限练习题

第一章 函数与极限 1 函数一、是非判断题1、在X上有界，在X上无界，则在X上无界。 2、在X上有界的充分必要条件是存在数A与B，使得对任一都有 3、都在区间I上单调增加，则也在I上单调增加。 4、定义在（）上的常函数是周期函数。 5、任一周期函数必有最小正周期。 6、为（）上的任意函数，则必是奇函数。 7、设是定义在上的函数，则必是偶函数。 8、f(x)=1+x+是初等函数。 二单项选择题1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是（A） （B） （C） （D）2、下列函数中 既是奇函数，又是单调增加的。 （A）sin3x （B）x3+1 （C）x3+x （D）x3-x3、设是（A） （B） （C） （D）4、若为奇函数，则 也为奇函数。(A) (B) (C) (D) 三下列函数是由那些简单初等函数复合而成。1、 y=2、 y=3、 y=四设f(x)的定义域D=0，1，求下列函数的定义域。（1） f( (2) f(sinx) (3) f(x+a) (a0) (3) f(x+a)+f(x-a) (a0)五设 ， ，求及。 六利用的图形作出下列函数的图形： 1 2。 3 4。 5 6。 2 数列的极限一 是非判断题1、当n充分大后，数列与常数A越来接近，则 2、如果数列发散，则必是无界数列。 3。如果对任意存在正整数N，使得当nN时总有无穷多个满足|， 则 4、如果对任意数列中只有有限项不满足|，则 5、若数列收敛，列发散，则数列发散。 二单项选择题1、根据 的定义，对任给存在正整数N，使得对nN的一切xn，不等式都成立这里的N 。（A）是的函数N()，且当减少时N（）增大； （ B）是由所唯一确定的（C）与有关，但给定时N并不唯一确定 （D）是一个很大的常数，与无关。2、则 。（A） （B）（C） (D) 3、数列有界是数列收敛的 。（A）充分条件； （B）必要条件；（C）充分必要条件； （D）既非充分又非必要条件。4、下列数列中，收敛的是 。（A）（B）（C）（D）三根据数列极限的定义证明。（1） （2）（3） （4）四、若，又数列有界，则。五、若，证明。反过来成立吗？成立给出证明，不成立举出 反例。3 函数的极限一 是非判断题1、如果=5，但不存在。 2、存在的充分必要条件是和都存在。 3、如果对某个存在使得当0N时有 2、如果数列满足：（1）；（2）xnxn+1(n=1,2).则 xn必有 极限 3、 4、 5 二单项选择题1、下列极限中，极限值不为0的是 。 （A） （B） （C） （D）2、若 。 （A）AB (B)AB (C)|A|B (D)|A|B|3、的值是 。 (A)e (B)e1000 (C)ee1000 (D)其它值4、 。 (A)1 (B) -1 (C)0 (D)5、 。 (A)-1 (B)1 (C)0 (D)不存在三计算下列极限（1） （2） （3） （4） （5） （6）（7） （8） （k为正整数） （9） （10） （11） （12）三利用夹逼准则证明：四设，利用单调有界准则证明：数列收敛，并求其极限。7无穷小的比较一，是非题1、是同一极限过程中的无穷小，且则必有。 2、时 3、已知，由此可断言，当为等价无穷小。 4当时， 与 是同阶无穷小 。 5当时， 是 的高阶无穷小。 二单项选择题1、x0时，1cosx是x2的 。 (A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小2、当x0时，（1cosx）2是sin2x的 。 (A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小3、如果 。(A) (B) (C) (D) 4、时与无穷小等价的是 。 (A) (B) (C) (D) 5下列极限中，值为1的是 。(A) (B) (C) (D) 三证明：当时，。四确定的值，使 （8 函数的连续性与间断点一 是非题1、在其定义域（a,b）内一点x0处连续的充分必要条件是在x0既左连续又右 连续。 2、在x0有定义，且存在，则在x0连续。 3、在其定义域（a,b）内一点x0连续，则= 4、在（a,b）内除x0外处处连续，点x0是的可去间断点，则 5、在无定义，则在x0处不连续。 二 单项选择题1、在点处有定义是在点连续的 。(A) 必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 无关条件2、 。（A）必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件3、的 。 (A)可去间断点 (B)跳跃间断点 (C)振荡间断点 (D)无穷间断点4、 。 (A)连续点 (B)可去间断点 (C)跳跃间断点 (D)无穷间断点5、 。 (A)连续点 (B)可去间断点 (C)跳跃间断点 (D)振荡间断点6、设函数则定义为 时在处连续 (A) (B) e (C) -e (D)无论怎样定义在处也不连续三研究下列函数的连续性，并画出图象。（1） （2）四判断下列函数在指定点处的间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的 定义使其连续。（1） x=1,x=2(2) x=k （3） x=1五 .讨论函数的连续性，若有间断点判断其类型。9 连续函数的运算与初等函数的连续性一是非题1、f(x),g(x)在连续，则在也连续。 2、在连续，在不连续，则在x0一定不连续。 3、在x0连续，在x0不连续，则在x0一定不连续。 4、在上连续。 5、不连续函数平方后仍为不连续函数。 三 .求函数的连续区间。四 .求函数的连续区间。四.设函数应当怎样选择数a,使得f(x)成为内的连续函数。五求下列极限 （1） （2） （3） （4） （5） （6）六设函数 问为何值时，在内连续10 闭区间上连续函数的性质一是非题1、在（a,b）内连续，则在（a,b）内一定有最大值和最小值。 2、设在a,b上连续且无零点，则在上a,b恒为正或恒为负。 3、在a,b上连续且单调，f(a)f(b)0,则在（a,b）内有且只有一个零点。 4、若在闭区间a,b有定义，在开区间（a,b）内连续，且f(a)f(b)0，则在（a,b）内有零点。 5、在a,b上连续，则在a,b上有界。 6、内必有零点。 二单项选择题1、函数上有最大值和最小值是上连续的 (A) 必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件。2、上连续，且则应判断内的零点个数 。 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 63、下列命题错误的是 (A) 上连续，则存在 (B) 上连续，则存在常数M，使得对任意 (C) 内连续，则在（a,b）内必定没有最大值； (D) 内连续，则在（a,b）内可能既没有最大值也没有最小值；4对初等函数来说，其连续区间一定是（ ） （A）其定义区间 （B） 闭区间 （C） 开区间 （D） （三证明方程至少有一个根介于1和2之间。四若函数在闭区间上连续，。证明：至少有一点 ，使得。五设函数在闭区间上连续，证明：在 上必有点，使得 六若在上连续，则在上至少存在一点，使 18