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圆的切线证明及计算一、知识回顾1、切线证明的两种主要类型： （1）已知直线经过圆上某一点，辅助性的作法是连接圆心和这一点，判定方法是：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线。（2）未知直线是否经过圆上的某一点，辅助线的作法是过圆心作直线的垂线段，判定方法是：到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。2、圆的有关计算：经常用到垂径定理、勾股定理等。二、例题讲解：例1：如图1，在RtABC中，,BE平分ABC交AC于点E，点D在AB上，.（） 求证：AC是BDE的外接圆的切线；（）若，求EC的长.注：（1）角平分线、平行于角平分线一边的直线、等腰三角形中，任意两个作为条件都可以推导出第三个。 （2）直角三角形中的特殊边角关系的应用。例2：如图2，在RtABC中，B=90，A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径画圆。求证：（1）AC是D的切线；（2）AB+EB=AC。证明：（1）过点D作DFAC于F. AB为D的切线, AD平分BAC, BD=DF .AC为D的切线 . （2）在BDE和DCF中, BD=DF, DE=DC,BDEDCF（HL）, EB=FC .又AB=AF, AB+EB=AF+FC, 即AB+EB=AC .三、课堂练习：1、如图3，AB是O的直径，弦CDAB，在ACD的外部作ACE=ACD，CE的反向延长线交AB的延长线于点P（1）求证：PE是O的切线；（2）若PC=4，PA=8，求sinP的值2、如图4，在RtABC中，B90，BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DEDC，以D为圆心，DB长为半径作D,AB5,EB3.求证:AC是O的切线； 求线段AC的长.3、如图5，已知以RtABC的边AB为直径作ABC的外接圆O，B的平分线BE交AC于D，交O于E，过E作EF AC交BA的延长线于F （1）求证：EF是O切线； （2）若AB = 15，EF = 10，求AE的长4、已知：如图6，ACB=60，CE为ACB的角平分线，O为射线CE上的一点，O切AC于点D（1）求证：BC与O相切；（2）若O的半径为6，P为O上一点，且使得DPC=90，求DP的长5、（2009年元月调考试题）如图7，在边长为4的正方形中，以为直径作，以为圆心，长为半径作，两圆交于正方形内一点，连并延长交于.(1)求证：与相切；（2）求和直角梯形周长之比.四、课后作业：1、如图8，AB为O的直径，D是O 外一点， AD交O于C，AE平分BAD交O于E，ADED于D。（1）求证：DE为O的切线。（2）若CEAB,AB=10,求CD的长 2、如图9，已知点C是线段BD上一点，分别以线段BC和线段DC为边在同侧做等边三角形ABC和等边三角形CDE，O是ABC的外接圆.求证：CE是O的切线；若CDE的边DE所在直线恰好与O相切，线段BD=4，求O的半径.3、如图10，AB是O的直径，AC是弦，弦AE平分CAB，EDAC于D，（1）试判断直线DE与O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AB10，DE4，求AC的长。4、如图11， 中，ACB=90,以AC为直径的O交AB于D,OEAB交BC于E,连DE.(1) 求证：DE为O切线；(2) 若O的半径为3，DE=4，求AD之长.5、已知：如图12，ABC中，AB=AC，点O在AB上，O过点B且分别与边AB、BC交于D、E两点，过D作DFAC，垂足为F。（1）判断DF与O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AC与O相切于点G，O的半径为3，CF=1，求AG的长。6、如图13，RtABC，以AB为直径作O交AC于点D，弧BD=弧DE，过D作AE的垂线，F为垂足.(1)求证：DF为O的切线；(2)若DF=12，O的半径为13，求EF.7、如图14，ABC中，B=90，O为AC上一点，以OA为半径的O经过BC上一点D，交AB于F ，交AC于E，且.（1）求证：BC为O切线;（2）若BF=2，BD=4，求AF的长.8、如图15，AB是半圆O的直径，AD为弦，DBC=A(1)求证：BC是半圆O的切线(2)若OCAD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长9、如图16，已知等边ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、点E，过点D作DFAC，垂足为点F（1）判断DF与O的位置关系，并证明你的结论（2）过点F作FHBC，垂足为点H，若等边ABC的边长为4，求FH的长10、如图17，O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OCAB.（1）求证：AC平分DAB；（2）若AC=8，ADBC=5，试求O的半径.
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