初中数学找规律题讲解与总结

1 1 新课引入 小时侯我们都玩过搭积木的游戏 今天我们不妨重拾童年趣事 利用手中的火柴棒搭建一些常 见的图形 探索规律 2 合作交流 探索规律 活动一 探索常见图形的规律 用火柴棒按下图的方式搭三角形 填写下表 照这样的规律搭建下去 搭 n 个这样的三角形需要多少根火柴棒 注意引导学生概括 探索规律 的一般步骤 寻找数量关系 用代数式表示规律 验证规律 练习 四棱柱有几个顶点 几条棱 几个面 五棱柱呢 十棱柱呢 n 棱柱呢 活动二 探索具体情景下事物的规律 问题 1 若有两张长方形的桌子 把它们拼成一张大的长方形桌子 有几种拼法 2 问题 2 若按图 2 方式摆放桌子和椅子 一张桌子可坐 6 人 2 张桌子可坐 人 按照上图方式继续排列桌子 完成下表 问题 3 如果按图 3 的方式将桌子拼在一起 2 张桌子拼在一起可坐多少人 3 张呢 n 张呢 教室有 40 张这样的桌子 按上图方式每 5 张拼成 1 张大桌子 则 40 张桌子可拼成 8 张大桌 子 共可坐 人 在 中 改成每 8 张桌子拼成 1 张大桌子 则共可坐 人 活动三 探索图表的规律 下面是 2000 年八月份的日历 3 日历中的绿色方框中的 9 个数之和与该方框正中间的数有什么关系 这个关系对其它这样的方框成立吗 你能用代数式表示这个关系吗 这个关系对任何一个月的日历都成立吗 为什么 你还能发现这样的方框中 9 个数之间的其他关系吗 用代数式表示 你还能提出那些问题 中考数学探索题训练 找规律 1 我们平常用的数是十进制数 如 2639 2 103 6 102 3 101 9 100 表示十进制的数要用 10 个数码 又叫数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 在电子数字计算机中用的是二进制 只要两个数 码 0 和 1 如二进制中 101 1 22 0 21 1 20 等于十进制的数 5 10111 1 2 4 0 23 1 2 2 1 2 1 1 2 0 等于十进制中的数 23 那么二进制中的 1101 等于十进制 的数 2 从 1 开始 将连续的奇数相加 和的情况有如下规律 1 1 12 1 3 4 2 2 1 3 5 9 3 2 1 3 5 7 16 4 2 1 3 5 7 9 25 5 2 按此规律请你猜想从 1 开 始 将前 10 个奇数 即当最后一个奇数是 19 时 它们的和是 3 小王利用计算机设计了一个计算程序 输入和输出的数据如下表 输入 1 2 3 4 5 4 输出 21510374265 那么 当输入数据是 8 时 输出的数据是 A 61 8 B 63 C 65 8 D 8 4 如下左图所示 摆第一个 小屋子 要 5 枚棋子 摆第二个要 11 枚棋子 摆第三个要 17 枚棋子 则摆第 30 个 小屋子 要 枚棋子 5 如下右图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子 观察图形的变化规律 写出第 n 个小房子用了 块石子 6 如下图是用棋子摆成的 上 字 第一个 上 字 第二个 上 字 第三个 上 字 如果按照以上规律继续摆下去 那么通过观察 可以发现 1 第四 第五个 上 字分别 需用 和 枚棋子 2 第 n 个 上 字需用 枚棋子 7 如图一串有黑有白 其排列有一定规律的珠子 被盒子遮住一部分 则这串珠 子被盒子遮住的部分有 颗 8 根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律 猜想第 6 个图形有 个点 第 n 个图形中有 个点 9 下面是按照一定规律画出的一列 树型 图 1 2 3 第 4 题 第 7 题图 5 1 2 3 4 经观察可以发现 图 2 比图 1 多出 2 个 树枝 图 3 比图 2 多出 5 个 树枝 图 4 比图 3 多出 10 个 树枝 照此规律 图 7 比图 6 多出 个 树枝 10 观察下面的点阵图和相应的等式 探究其中的规律 1 在 和 后 面 的 横 线 上 分 别 写 出 相 应 的 等 式 1 1 2 1 3 2 2 1 3 5 3 2 2 通 过 猜 想 写 出 与 第 n 个 点 阵 相 对 应 的 等 式 11 用 边 长 为 1cm 的 小 正 方 形 搭 成 如 下 的 塔 状 图 形 则 第 n 次 所 搭 图 形 的 周 长 是 cm 用 含 n 的 代 数 式 表 示 12 如图 都是由边长为 1 的正方体叠成的图形 例如第 1 个图形的表面积为 6 个平方单位 第 2 个图形的表面积为 18 个平方单位 第 3 个图形的表面积是 36 个平方单位 依此规律 则 第 5 个图形的表面积 个平方单位 13 图 1 是一个水平摆放的小正方体木块 图 2 3 是由这样的小正方体木块叠放而成 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 6 14 按照这样的规律继续叠放下去 至第七个叠放的图形中 小正方体木块总数应是 A 25 B 66 C 91 D 120 14 如图是由大小相同的小立方体木块叠入而成的几何体 图 中有 1 个立方体 图 中有 4 个立方 体 图 中有 9 个立方体 按这样的规律叠放下去 第 8 个图中小立方体个数是 15 图 1 是棱长为 a 的小正方体 图 2 图 3 由这样的小正方体摆放而成 按照这样的方法继续摆放 由上而下分别叫第一层 第二层 第 n 层 第 n 层的小正方体的个数为 s 解答下列问题 1 按照要求填表 2 写出 当 n 10 时 s 16 如图用火柴摆去系列图案 按这种方式摆下去 当每边摆 10 根时 即 时 需要的火柴10 棒总数为 根 n 1 2 3 4 s 1 3 6 1 2 3 图 1 图 2 图 3 7 第 18 题 图图 17 用火柴棒按如图的方式搭一行三角形 搭一个三角形需 3 支火柴棒 搭 2 个三角形需 5 支火柴棒 搭 3 个三角形需 7 支火柴棒 照这样的规律下去 搭 n 个三角形需要 S 支火柴棒 那么用 n 的式子 表示 S 的式子是 n 为正整数 18 如图所示 用同样规格的黑 白两色正方形瓷砖铺设矩形地面 请观察下图 则第 n 个图形中需 用黑色瓷砖 块 用含 n 的代数式表示 19 如图 用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面 观察图形并猜想填空 当黑色瓷砖为 20 块时 白色瓷砖为 块 当白色瓷砖为 n2 n 为正整数 块时 黑色瓷砖为 块 17 题图 20 观察下列由棱长为 1 的小立方体摆成的图形 寻找规律 如图 1 中 共有 1 个小立方体 其中 1 个看得见 0 个看不见 如图 2 中 共有 8 个小立方体 其中 7 个看得见 1 个看不见 如图 3 中 共有 27 个小立方体 其中有 19 个看得见 8 个看不见 则第 6 个图中 看不见的小立方体 8 有 个 21 下面的图形是由边长为 l 的正方形按照某种规律排列而组成的 1 观察图形 填写下表 图形 正方形的个数 8 图形的周长 18 2 推测第 n 个图形中 正方形的个数为 周长为 都用含 n 的代数式表 示 22 观察下图 我们可以发现 图 中有 1 个正方形 图 中有 5 个正方形 图 中共有 14 个正方 形 按照这种规律继续下去 图 中共有 个正方形 23 某正方形园地是由边长为 1 的四个小正方形组成的 现要在园地上建一个花坛 阴影部分 使花 坛面积是园地面积的一半 以下图中设计不合要求的是 A DCB 9 A B C D 24 如下图中的四个正方形的边长均相等 其中阴影部分面积最大的图形是 25 如图 在方格纸中有四个图形 其中面积相等的图形是 A 和 B 和 C 和 D 和 26 某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面 第 1 次铺 2 块 如图 1 第 2 次把第 1 次铺的完全 围起来 如图 2 第 3 次把第 2 次铺的完全围起来 如图 3 依此方法 第 n 次铺完后 用字母 n 表示第 n 次镶嵌所使用的木块块数为 n 为正整数 27 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律 拼成若干个图案 第 4 个图案中有白色地面砖 块 第 n 个图案中有白色地面砖 块 28 分析如下图 中阴影部分的分布规律 按此规律在图 中画出其中的阴影部分 10 初中数学规律题集锦 一 棋牌游戏问题 1 4 张扑克牌如图 1 所示放在桌子上 小敏把其中一张旋转 180 后得到如图 2 所示 那么 她所旋转的牌从左数起是 A 第一张 B 第二张 C 第三张 D 第四张 2 小明背对小亮 让小亮按下列四个步骤操作 第一步 分发左 中 右三堆牌 每堆牌不少于两张 且各堆牌的张数相同 第二步 从左边一堆拿出两张 放入中间一堆 第三步 从右边一堆拿出一张 放入中间一堆 第四步 左边一堆有几张牌 就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆 这 时 小 明 准 确 说 出 了 中 间 一 堆 牌 现 有 的 张 数 你 认 为 中 间 一 堆 牌 的 张 数 是 3 如图 3 所示的象棋盘上 若帅位于点 1 2 上 相位于点 3 2 上 则炮位于点 A 1 1 B 1 2 C 2 1 D 2 2 4 图 4 是跳棋盘 其中格点上的黑色点为棋子 剩余的格点上没有 棋子 我们约定跳棋游戏的规则是 把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子 对称 跳行 跳行一次称为一步 已知点 A 为已方一枚棋子 欲将棋子 A 跳进 对方 区域 阴影部分的格点 则跳行的最少步数为 A 2 步 B 3 步 C 4 步 D 5 步 二 空间想象问题 3 水平放置的正方体的六个面分别用 前面 后面 上面 下面 左面 右面 表示 如右图 7 是一个正方体的平面展开图 若图中的 似 表示正方体的前面 锦 表 示右面 程 表示下面 则 祝 你 前 分别表示正方体的 3 程前你 祝 似 锦 图 7 11 图 1 是一个黑色的正三角形 顺次连结它的三边的中点 得到如图 2 所示的第 2 个图形 它的中间为一个白色的正三角形 在图 2 的每个黑色的正三角形中分别重复上述的作法 得 到如图 3 所示的第 3 个图形 如此继续作下去 则在得到的第 6 个图形中 白色的正三角形的个 数是 在平面直角坐标系中 横坐标 纵坐标都为整数的点称为 整点 请你观察图中正方形 A1B1C1D1 A 2B2C2D2 A 3B3C3D3 每个正方形四条边上 的整点的个数 推算出正方形 A10B10C10D10 四条边上的整点 共有 个 11 一个正方体的每个面分别标有数字 1 2 3 4 5 6 根据图 1 中该正方体 A B C 三种状态所显示的数字 可推出 处的 数字是 13 将一张长方形的纸对折 如图 5 所示可 得到一条 折痕 图中虚线 续对折 对折时每次折痕与上次的折痕保持平行 连续对折三次后 可以得 到 7 条折痕 那么对折四次可以得到 条折痕 如果对折 n 次 可以得到 条折 痕 15 为庆祝 六 一 儿童节 某幼儿园举行用火柴棒摆 金鱼 比赛 如图所示 A 按照上面的规律 摆 个 金鱼 需用火柴棒n 的根数为 图 1 图 2 图 3 12 3 2 1 第 17 题图n 1 n 2 n 3 3 2 1 A B 26n 86n C D 4 17 柜台上放着一堆罐头 它们摆放的形状见右图 第一层有 听罐头 第二层有 听罐头 3 34 第三层有 听罐头 5 根据这堆罐头排列的规律 第 为正整数 层n 有 听罐头 用含 的式子表示 18 按如下规律摆放三角形 则第 4 堆三角形的个数为 第 n 堆三角形的个数为 20 如图 图 图 图 是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的 山 字 则第 个 山 n 字中的棋子个数是 21 下列图案由边长相等的黑 白两色正 方形按一定规律拼接而成 依次规律 第 5 个图案中白色正方形的个数为 22 用同样大小的正方形按下列规律摆放 将重叠部分涂上颜色 下面的图案中 第 n 个图案中正方形的个数是 24 在边长为 l 的正方形网格中 按下列方式得到 L 形图形第 1 个 L 形图形的周长是 8 第 2 个 L 形图形的周长是 12 则第 n 个 L 形图形的周长是 25 观察下列图形 按规律填空 1 1 3 4 5 9 7 16 36 26 用黑白两种颜色的正方形纸片 按黑色纸片数逐渐加 1 的规律拼成一列图案 第 16 题图 第 1 个 第 2 个 第 3 个 第 09 题图 13 C 3H8C2H6CH4 H HH H H H HH H H H H H H CCCCCH H H H C 第 14 题 1 第 4 个图案中有白色纸片 张 2 第 n 个图案中有白色纸片 张 27 观察下表中三角形个数变化规律 填表并回答下面问题 问题 如果图中三角形的个数是 102 个 则图中应有 条横截线 28 如图 下列几何体是由棱长为 1 的小立方体按一定规律 在 地 面 上 摆 成 的 若 将 露 出 的 表 面 都 涂 上 颜 色 底 面 不 涂 色 则第 n 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 个 29 下列是三种化合物的结构式及分子式 如果按其规律 则后一种化合物的分子式应该是 14 三 剪纸问题 1 2004 年河南 如图 9 把一个正方形三次对折后沿虚线剪下则得到的图形是 2 2004 年浙江湖州 小强拿了一张正方形的纸如图 10 沿虚线对折一次得图 再对折一次得图 然后用剪刀沿图 中的虚线 虚线与底边平 行 剪去一个角 再打开后的形状应是 图 图 图 14 1 1 2 3 5 11 2 3 1 511 2 1 1 3 21 3 2004 年浙江衢州 如图 11 将一张正方形纸片剪成四 个小正方 形 然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形 再将其中的 一个正方 形剪成四个小正方形 如此继续下去 根据以上操作方法 请你填写 下表 四 对称问题 1 2004 年宁波 仔细观察下列图案 如图 12 并按规律在横线上画出合适的图形 4 2004 年山东日照 在日常生活中 你会注意到有一些含有特殊数学规律的车牌号码 如 鲁 L80808 鲁 L22222 鲁 L12321 等 这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字 对称 的 给以对称的美的感受 我们不妨把这样的牌照叫做 数字对称 牌照 如果让你负责制作只以 8 和 9 开头且有五个数字的 数字对称 牌照 那么最多可制作 A 2000 个 B 1000 个 C 200 个 D 100 个 5 已知 n n 2 个点 P1 P 2 P 3 P n在同一平面内 且其中没有任何三点在同一直线上 设 Sn 表示过这 n 个点中的任意 2 个点所作的所有直线的条数 显然 S 2 1 S 3 3 S 4 6 S 5 10 由此推断 S n 6 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时 发现有这样一组数 1 1 2 3 5 8 13 其中从第三个数起 每一个数都等于它前面两上数的和 现以这组数中的各个数作为正方形的 长度构造如下正方形 再分别依次从左到右取 2 个 3 个 4 个 5 个 正方形拼成如下矩形并记为 相应 矩形的周长如下表所示 若按此规律继续作矩形 则序号为 的矩形周长是 五 2 观察下列顺序排列的等式 9 0 1 1 操作次数 N 1 2 3 4 5 N 正方形的个数 4 7 10 序号 周长 6 10 16 26 15 9 1 2 11 9 2 3 21 9 3 4 31 9 4 5 41 猜想 第 n 个等式 n 为正整数 应为 3 观察下列算式 通过观察 12 2438 4216532 647218 用你所发现的规律确定 的个位数字是 7 A 2 B 4 C 6 D 8 4 观察下列各式 1 3 2 1 2 2 4 2 2 3 5 2 3 请你将猜想到的规律用自然数 n n 1 表示出来 5 观察下列各式 你会发现什么规律 3 5 4 2 1 5 7 6 2 1 11 13 12 2 1 请将你发现的规律用只含一个字母的表达式表示出来 6 观察下列不等式 猜想规律并填空 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 3 82 2 8 4 3 2 4 3 2 a b a b 7 观察下面一列数 2 5 10 x 26 37 50 65 根据规律 其中 x 表示的数 是 8 观察数列 1 1 2 3 5 8 x 21 y 则 2x y 9 观察下列等式 102 32 52 7342 用含自然数 n 的等式表示这种规律为 10 已知 若 a b 为32 82 142 210 正整数 则 a b 11 如果有 2007 名学生排成一列 按 1 2 3 4 5 4 3 2 1 2 3 4 5 4 3 2 1 的规律报数 那么第 2007 名学生所报的数是 16 12 数字解密 第一个数是 3 2 1 第二个数是 5 3 2 第三个数是 9 5 4 第四个数是 17 9 8 观察并猜想第六个数是 10 观察下列等式 21 23 235 根据观察可得 n 为正整数 151n 13 古希腊数学家把数 1 3 6 10 15 21 叫做三角形数 它有一定的规律性 则第 24 个三角形数与第 22 个三角形数的差为 14 观察下列等式 9 1 8 16 4 12 25 9 16 36 16 20 这些等式反映自然数间的某种规律 设 n n 1 表示自然数 用关于 n 的等式表示这个规律为 15 观察下列等式 第一行 3 4 1 第二行 5 9 4 第三行 7 16 9 第四行 9 25 16 按照上述规律 第 n 行的等式为 16 有一列数 从第二个数开始 每一个数都等于 与它前面那个数的倒数1a23 na1 的差 若 则 为 07 207121 17 观察下列等式 23941 4850 25640 657052397 请你把发现的规律用字母表示出来 mnA 18 观察下列各式 321 32 3216 3321410 猜想 0 19 观察下列等式 16 1 15 25 4 21 36 9 27 49 16 33 用自然数 n 其中 表示上面一系列等式所反映出来的规律是 1 20 按一定的规律排列的一列数依次为 按此规律排列下去 这列数中11 230563 的第 7 个数是 17 21 观察下列不等式 猜想规律并填空 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 3 8 2 8 4 3 2 4 3 2 a b a b 22 观察下面一列数 2 5 10 x 26 37 50 65 根据规律 其中 x 表示的数 是 23 观察数列 1 1 2 3 5 8 x 21 y 则 2x y 24 观察下列等式 102 32 52 7342 用含自然数 n 的等式表示这种规律为 25 小王利用计算机设计了一个计算程序 输入和输出的数据如下表 输入 输出 12531047526 26 观察下列各式 你会发现什么规律 3 5 4 2 1 5 7 6 2 1 11 13 12 2 1 请将你发现的规律用只含一个字母的表达式表示出来 27 我国宋朝数学家杨辉在他的著作 祥解九章算法 中提出右表 此表揭示了 n 为非负ba 数 展开式的各项系数的规律 例如 它只有一项 系数为 1 1 0 ba 它有两项 系数分别为 1 1 它有三项 系数分别为 1 2 1 22 ba 它有四项 系数分别为 1 3 3 1 33ba 根据以上规律 展开式共有五项 系数分别为 4 ba 18 28 德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形 单位分数是分子为 1 分母为正整数的分数 第一行 1 第二行 2 第三行 363 第四行 1414 第五行 520205 根据前五行的规律 可以知道第六行的数依次是