勾股定理拓展提高题

B A 6cm 3cm 1cm C BA 勾股定理拓展提高题 1 如图 长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm 高为 6cm 如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B 那么所用细线最短需要 cm 如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 3 圈到达点 B 那么所用细线最短需要 cm 2 如图 1 每个小正方形的边长为 1 A B C 是小正方形的顶点 则 ABC 的度数 图 1 图 2 图 3 3 如图 2 直线 上有三个正方形 若 的面积分别为 5 和 11 则 的面积 labc b 4 如图 3 数轴上的点 A 所表示的数为 x 则 x2 10 的立方根为 5 如图 4 一只蚂蚁沿棱长为 a 的正方体表面从顶点 A 爬到顶点 B 则它走过的最短路程为 图 4 图 5 6 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的 勾股圆 方图 它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形 如图 5 所 示 如果大正方形的面积是 13 小正方形的面积是 1 直角三角形的较短直角边为 a 较长直角边为 b 那么 的值为 2a A 13 B 19 C 25 D 169 7 已知 ABC 的三边长满足 则为 三角形18 0 abc A B A D E B C 8 如图 铁路上 A B 两点相距 25km C D 为两村庄 DA AB 于 A CB AB 于 B 已知 DA 15km CB 10km 现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E 使得 C D 两村到 E 站的距离相等 则 E 站应建在离 A 站多少 km 处 9 已知 正方形 ABCD 的边长为 1 正方形 ABCD 的边长为 1 正方形 EFGH 内接于 ABCD AE a AF b 且 求 的值 32 EFGHS正 方 形 ab 10 在等腰直角三角形中 AB AC 点 D 是斜边 BC 的中点 点 E F 分别为 AB AC 边上的 点 且 DE DF 1 说明 22EFCB 2 若 BE 12 CF 5 试求 的面积 勾股定律逆定理应用 考点一 证明三角形是直角三角形 例 1 已知 如图 在 ABC 中 CD 是 AB 边上的高 且 CD2 AD BD 求证 ABC 是直角三角形 H G F E D CB A F E D CB A 针对训练 1 已知 在 ABC 中 A B C 的对边分别是 a b c 满足 a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 试判断 ABC 的形状 2 如图 在正方形 ABCD 中 F 为 DC 的中点 E 为 BC 上一点 且 EC 4 1 BC 求证 EFA 90 3 如图 已知 在 ABC 中 C 90 M 是 BC 的中点 MD AB 于 D 求证 AD 2 AC2 BD2 4 如图 长方形 ABCD 中 AD 8cm CD 4cm 若点 P 是边 AD 上的一个动点 当 P 在什么位置时 PA PC 在 中 当点 P 在点 P 时 有 Q 是 AB 边上的一个动点 若 时 CA 415AQ 与 垂直吗 为什么 Q C A B D C F E A B C M D D C A B 考点二 运用勾股定理的逆定理进行计算 例 如图 等腰 ABC 中 底边 BC 20 D 为 AB 上一点 CD 16 BD 12 求 ABC 的周长 针对训练 1 已知 如图 四边形 ABCD AD BC AB 4 BC 6 CD 5 AD 3 求 四边形 ABCD 的面积 3 已知 如图 DE m BC n EBC 与 DCB 互余 求 BD2 CD2 考点三 与勾股定理逆定理有关的探究和应用 例 1 阅读下列解题过程 已知 a b c 为 ABC 的三边 且满足 a2c2 b 2c2 a4 b 4 试判 断 ABC 的形状 解 a 2c2 b 2c2 a4 b 4 A c 2 a2 b 2 a2 b2 a2 b 2 B c 2 a2 b2 C ABC 是直角三角形 问 上述解题 过程是从哪一步开始出现错误的 请写出该步的代号 错误的原因是 本题的正确结论是 B E C D 例 2 学习了勾股定理以后 有同学提出 在直角三角形中 三边满足 或许其22cba 他的三角形三边也有这样的关系 让我们来做一个实验 1 画出任意的一个锐角三角形 量出各边的长度 精确到 1 毫米 较短的两条边长分别是 mm mm 较长的一条边长 mm a b c 比较 填写 或 22 c 2 画出任意的一个钝角三角形 量出各边的长度 精确到 1 毫米 较短的两条边长分别是 mm mm 较长的一条边长 mm 比较 填写 或 22ba 3 根据以上的操作和结果 对这位同学提出的问题 你猜想的结论是 对你猜想 与 的两个关系 任选其中一个结论利用勾股定理证明 2ab 2c 1 C B A 2 C B A 3 C B A 例 3 如图 南北向 MN 为我国的领海线 即 MN 以西为我国领海 以东为公海 上午 9 时 50 分 我国反走私艇 A 发现正东方有一走私艇 C 以每小时 13 海里的速度偷偷向我领海 开来 便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇 B 密切注意 反走私艇 A 通知反走私艇 B A 和 C 两艇的距离是 13 海里 A B 两艇的距离是 5 海里 反走私艇 B 测得距离 C 艇 是 12 海里 若走私艇 C 的速度不变 最早会在什么时间进入我国领海 针对训练 1 观察下列各式 3 2 4 2 5 2 8 2 6 2 10 2 15 2 8 2 17 2 24 2 10 2 26 2 你有没有发现其中的规律 请用含 n 的代数式表示此规律并证明 再根据规律写出接下来 的式子 2 如图所示 有一块塑料模板 ABCD 长为 10 宽为 4 将你手中足够大的直角三角 板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上 不与 A D 重合 并在 AD 上平行移动 能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C 若能 请你求出这时 AP 的长 若不能 请说明理由 再次移动三角板位置 使三角板顶点 P 在 AD 上移动 直角边 PH 始终通过点 B 另一直角边 PF 与 DC 的延 长线交于点 Q 与 BC 交于点 E 能否使 CE 2 若能 请你求出这时 AP 的长 若不能 请说明理由 3 喜欢爬山的同学都知道 很多名山上都有便于游人观光的索道 如图所示 山的高度 AC 为 800 m 从山上 A 与山下 B 处各建一索道口 且 BC 1 500 m 一游客从山下索道口坐缆车到 山顶 知缆车每分钟走 50 m 那么大约多长时间后该游客才能到达山顶 说明理由 延伸训练 如图 在 ABC 中 ACB 90 AC BC P 是 ABC 内的一点 且 PB 1 PC 2 PA 3 求 BPC 的度数 台风是一种自然灾害 它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴 有极强 的破坏力 如图 据气象观测 距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心 其中心最大风力为 12 级 每远离台风中心 20 千米 风力就会减弱一级 该台风中心现正 以 15 千米 时的速度沿北偏东 30 方向往 C 移动 且台风中心风力不变 若城市所受风力 达到或走过四级 则称为受台风影响 1 该城市是否会受到这交台风的影响 请说明理由 2 若会受到台风影响 那么台风影响该城市持续时间有多少 3 该城市受到台风影响的最大风力为几级