初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

第 1 页 共 22 页 初二二次根式所有知识点总结和常考题 知识点 1 二次根式 形如 的式子 二次根式必须满足 含有 0 a 二次根号 被开方数 a 必须是非负数 非负性 2 最简二次根式 满足 被开方数不含分母 被开方数中不含 能开得尽方的因数或因式的二次根式 3 化最简二次根式的方法和步骤 1 如果被开方数含分母 先利用商的算数平方根的性质把它写成 分式的形式 然后利用分母有理化进行化简 2 如果被开方数含能开得尽方的因数或因式 先将他们分解因数 或因式 然后把能开得尽方的因数或因式开出来 3 二次根式有关公式 1 2 0 2 a a 2 3 乘法公式 0 bab 4 除法公式 4 二次根式的加减法则 先将二次根式化为最简二次根式 再将被 开方数相同的二次根式进行合并 5 二次根式混合运算顺序 先乘方 再乘除 最后加减 有括号的 先算括号里的 常考题 一 选择题 共 14 小题 1 下列二次根式中属于最简二次根式的是 A B C D 2 式子 有意义的 x 的取值范围是 A x 且 x 1 B x 1 C D 3 下列计算错误的是 A B C D 4 估计 的运算结果应在 A 6 到 7 之间 B 7 到 8 之间 C 8 到 9 之间 D 9 到 10 之间 第 2 页 共 22 页 5 如果 1 2a 则 A a B a C a D a 6 若 x y 2 则 x y 的值为 A 1 B 1 C 2 D 3 7 是整数 则正整数 n 的最小值是 A 4 B 5 C 6 D 7 8 化简 的结果是 A B C D 9 k m n 为三整数 若 k 15 6 则下列有关 于 k m n 的大小关系 何者正确 A k m n B m n k C m n k D m k n 10 实数 a 在数轴上的位置如图所示 则 化简后为 A 7 B 7 C 2a 15 D 无法确定 11 把 根号外的因式移入根号内得 A B C D 12 已知 是正整数 则实数 n 的最大值为 A 12 B 11 C 8 D 3 13 若式子 有意义 则点 P a b 在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 14 已知 m 1 n 1 则代数式 的值为 A 9 B 3 C 3 D 5 二 填空题 共 13 小题 15 实数 a 在数轴上的位置如图所示 则 a 1 16 计算 的结果是 17 化简 3 18 如果最简二次根式 与 是同类二次根式 则 a 第 3 页 共 22 页 19 定义运算 的运算法则为 x y 则 2 6 8 20 化简 4 1 0 的结果是 21 计算 22 三角形的三边长分别为 则这个三角形的周长为 cm 23 如果最简二次根式 与 能合并 那么 a 24 如图 矩形内两相邻正方形的面积分别是 2 和 6 那么矩形内阴影部分的 面积是 结果保留根号 25 实数 p 在数轴上的位置如图所示 化简 26 计算 27 已知 a b 为有理数 m n 分别表示 的整数部分和小数部分 且 amn bn2 1 则 2a b 三 解答题 共 13 小题 28 阅读下列材料 然后回答问题 在进行二次根式的化简与运算时 我们有时会碰上如 一样的式 子 其实我们还可以将其进一步化简 一 二 1 三 以上这种化简的步骤叫做分母有理化 还可以用以下方法化简 1 四 1 请用不同的方法化简 第 4 页 共 22 页 2 参照 三 式得 参照 四 式得 3 化简 29 计算 1 1 2 1 2 0 30 先化简 再求值 其中 31 先化简 再求值 其中 x 1 y 1 32 先化简 再求值 其中 33 已知 a 求 的值 34 对于题目 化简并求值 其中 a 甲 乙两人的解答不 同 甲的解答 a a 乙的解答 a a 请你判断谁的答案是错误的 为什么 35 一个三角形的三边长分别为 1 求它的周长 要求结果化简 2 请你给一个适当的 x 值 使它的周长为整数 并求出此时三角形周长的 值 36 我国古代数学家秦九韶在 数书九章 中记述了 三斜求积术 即已知三 角形的三边长 求它的面积 用现代式子表示即为 其中 a b c 为三角形的三边长 s 为 面积 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式 s 其中 p 1 若已知三角形的三边长分别为 5 7 8 试分别运用公式 和公式 计 第 5 页 共 22 页 算该三角形的面积 s 2 你能否由公式 推导出公式 请试试 37 已知 求代数式 x2 xy y2 值 38 计算或化简 1 2 a 0 b 0 39 先阅读下列的解答过程 然后再解答 形如 的化简 只要我们找到两个数 a b 使 a b m ab n 使得 m 那么便有 a b 例如 化简 解 首先把 化为 这里 m 7 n 12 由于 4 3 7 4 3 12 即 7 2 由上述例题的方法化简 40 阅读材料 小明在学习二次根式后 发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方 如 3 1 2 善于思考的小明进行了以下探索 设 a b m n 2 其中 a b m n 均为整数 则有 a b m2 2n2 2mn a m 2 2n2 b 2mn 这样小明就找到了一种把类似 a b 的式子化为平方式 的方法 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题 1 当 a b m n 均为正整数时 若 a b 用含 m n 的式子 分别表示 a b 得 a b 2 利用所探索的结论 找一组正整数 a b m n 填空 2 3 若 a 4 且 a m n 均为正整数 求 a 的值 第 6 页 共 22 页 初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题 练习 含答案解析 参考答案与试题解析 一 选择题 共 14 小题 1 2005 岳阳 下列二次根式中属于最简二次根式的是 A B C D 分析 B D 选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式 C 选项的被开方 数中含有分母 因此这三个选项都不是最简二次根式 解答 解 因为 B 4 C D 2 所以这三项都不是最简二次根式 故选 A 点评 在判断最简二次根式的过程中要注意 1 在二次根式的被开方数中 只要含有分数或小数 就不是最简二次根式 2 在二次根式的被开方数中的每一个因式 或因数 如果幂的指数等于或 大于 2 也不是最简二次根式 2 2013 娄底 式子 有意义的 x 的取值范围是 A x 且 x 1 B x 1 C D 分析 根据被开方数大于等于 0 分母不等于 0 列式进行计算即可得解 解答 解 根据题意得 2x 1 0 且 x 1 0 解得 x 且 x 1 故选 A 点评 本题考查的知识点为 分式有意义 分母不为 0 二次根式的被开方 数是非负数 3 2007 荆州 下列计算错误的是 A B C D 分析 根据二次根式的运算法则分别计算 再作判断 解答 解 A 7 正确 B 2 正确 C 3 5 8 正确 D 故错误 故选 D 点评 同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后 被开方数相 第 7 页 共 22 页 同的二次根式 二次根式的加减运算 先化为最简二次根式 再将被开方数相同的二次根式进 行合并 合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数 根指数与被开方数不 变 4 2008 芜湖 估计 的运算结果应在 A 6 到 7 之间 B 7 到 8 之间 C 8 到 9 之间 D 9 到 10 之间 分析 先进行二次根式的运算 然后再进行估算 解答 解 4 而 4 5 原式运算的结果在 8 到 9 之间 故选 C 点评 本题考查了无理数的近似值问题 现实生活中经常需要估算 夹逼法 是估算的一般方法 也是常用方法 5 2011 烟台 如果 1 2a 则 A a B a C a D a 分析 由已知得 1 2a 0 从而得出 a 的取值范围即可 解答 解 1 2a 0 解得 a 故选 B 点评 本题考查了二次根式的化简与求值 是基础知识要熟练掌握 6 2009 荆门 若 x y 2 则 x y 的值为 A 1 B 1 C 2 D 3 分析 先根据二次根式的性质 被开方数大于或等于 0 可求出 x y 的值 再代入代数式即可 解答 解 x y 2 有意义 x 1 0 且 1 x 0 x 1 y 1 x y 1 1 2 第 8 页 共 22 页 故选 C 点评 本题主要考查了二次根式的意义和性质 概念 式子 a 0 叫二次根式 性质 二次根式中的被开方数必须是非负数 否则二次根式无意义 7 2012 秋 麻城市校级期末 是整数 则正整数 n 的最小值是 A 4 B 5 C 6 D 7 分析 本题可将 24 拆成 4 6 先把 化简为 2 所以只要乘以 6 得出 62 即可得出整数 由此可得出 n 的值 解答 解 2 当 n 6 时 6 原式 2 12 n 的最小值为 6 故选 C 点评 本题考查的是二次根式的性质 本题还可将选项代入根式中看是否能 开得尽方 若能则为答案 8 2013 佛山 化简 的结果是 A B C D 分析 分子 分母同时乘以 1 即可 解答 解 原式 2 故选 D 点评 本题考查了分母有理化 正确选择两个二次根式 使它们的积符合平 方差公式是解答问题的关键 9 2013 台湾 k m n 为三整数 若 k 15 6 则下列有关于 k m n 的大小关系 何者正确 A k m n B m n k C m n k D m k n 分析 根据二次根式的化简公式得到 k m 及 n 的值 即可作出判断 解答 解 3 15 6 可得 k 3 m 2 n 5 则 m k n 故选 D 点评 此题考查了二次根式的性质与化简 熟练掌握二次根式的化简公式是 解本题的关键 10 2011 菏泽 实数 a 在数轴上的位置如图所示 则 化 简后为 第 9 页 共 22 页 A 7 B 7 C 2a 15 D 无法确定 分析 先从实数 a 在数轴上的位置 得出 a 的取值范围 然后求出 a 4 和 a 11 的取值范围 再开方化简 解答 解 从实数 a 在数轴上的位置可得 5 a 10 所以 a 4 0 a 11 0 则 a 4 11 a 7 故选 A 点评 本题主要考查了二次根式的化简 正确理解二次根式的算术平方根等 概念 11 2013 秋 五莲县期末 把 根号外的因式移入根号内得 A B C D 分析 根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答 解答 解 成立 0 即 m 0 原式 故选 D 点评 正确理解二次根式乘法 积的算术平方根等概念是解答问题的关键 二次根式成立的条件 被开方数大于等于 0 含分母的分母不为 0 12 2009 绵阳 已知 是正整数 则实数 n 的最大值为 A 12 B 11 C 8 D 3 分析 如果实数 n 取最大值 那么 12 n 有最小值 又知 是正整数 而 最小的正整数是 1 则 等于 1 从而得出结果 解答 解 当 等于最小的正整数 1 时 n 取最大值 则 n 11 故选 B 点评 此题的关键是分析当 等于最小的正整数 1 时 n 取最大值 第 10 页 共 22 页 13 2005 辽宁 若式子 有意义 则点 P a b 在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 分析 根据二次根式的被开方数为非负数和分母不为 0 对 a b 的取值范围 进行判断 解答 解 要使这个式子有意义 必须有 a 0 ab 0 a 0 b 0 点 a b 在第三象限 故选 C 点评 本题考查二次根式有意义的条件 以及各象限内点的坐标的符号 14 2013 上城区一模 已知 m 1 n 1 则代数式 的值为 A 9 B 3 C 3 D 5 分析 原式变形为 由已知易得 m n 2 mn 1 1 1 然后整体代入计算即可 解答 解 m n 2 mn 1 1 1 原式 3 故选 C 点评 本题考查了二次根式的化简求值 先把被开方数变形 用两个数的和 与积表示 然后利用整体代入的思想代入计算 二 填空题 共 13 小题 15 2004 山西 实数 a 在数轴上的位置如图所示 则 a 1 1 分析 根据数轴上表示的两个数 右边的数总比左边的大 分别得出 a 1 与 0 a 2 与 0 的关系 然后根据绝对值的意义和二次根式的意义化简 解答 解 根据数轴上显示的数据可知 1 a 2 a 1 0 a 2 0 a 1 a 1 2 a 1 故答案为 1 第 11 页 共 22 页 点评 本题主要考查了数轴 绝对值的意义和根据二次根式的意义化简 二次根式 的化简规律总结 当 a 0 时 a 当 a 0 时 a 16 2013 南京 计算 的结果是 分析 先进行二次根式的化简 然后合并同类二次根式即可 解答 解 原式 故答案为 点评 本题考查了二次根式的加减运算 属于基础题 关键是掌握二次根式 的化简及同类二次根式的合并 17 2013 泰安 化简 3 6 分析 根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分 别化简整理得出即可 解答 解 3 3 2 3 6 故答案为 6 点评 此题主要考查了二次根式的化简与混合运算 正确化简二次根式是解 题关键 18 2006 广安 如果最简二次根式 与 是同类二次根式 则 a 5 分析 根据最简二次根式和同类二次根式的定义 列方程求解 解答 解 最简二次根式 与 是同类二次根式 3a 8 17 2a 解得 a 5 点评 此题主要考查最简二次根式和同类二次根式的定义 19 2007 芜湖 定义运算 的运算法则为 x y 则 2 6 8 6 分析 认真观察新运算法则的特点 找出其中的规律 再计算 解答 解 x y 2 6 8 8 4 8 6 故答案为 6 点评 解答此类题目的关键是认真观察新运算法则的特点 找出其中的规律 再计算 第 12 页 共 22 页 20 2014 荆州 化简 4 1 0 的结果是 分析 先把各二次根式化为最简二次根式 再根据二次根式的乘法法则和零 指数幂的意义计算得到原式 2 然后合并即可 解答 解 原式 2 4 1 2 故答案为 点评 本题考查了二次根式的混合运算 先把各二次根式化为最简二次根式 再进行二次根式的乘除运算 然后合并同类二次根式 也考查了零指数幂 21 2014 广元 计算 2 分析 分别进行分母有理化 二次根式的化简 然后合并求解 解答 解 2 故答案为 2 点评 本题考查了二次根式的加减法 本题涉及了分母有理化 二次根式的 化简等运算 属于基础题 22 2013 宜城市模拟 三角形的三边长分别为 则 这个三角形的周长为 5 cm 分析 三角形的三边长的和为三角形的周长 所以这个三角形的周长为 化简合并同类二次根式 解答 解 这个三角形的周长为 2 2 3 5 2 cm 故答案为 5 2 cm 点评 本题考查了运用二次根式的加减解决实际问题 23 2012 秋 浏阳市校级期中 如果最简二次根式 与 能合并 那么 a 1 分析 根据两最简二次根式能合并 得到被开方数相同 然后列一元一次方 程求解即可 解答 解 根据题意得 1 a 4a 2 第 13 页 共 22 页 移项合并 得 3a 3 系数化为 1 得 a 1 故答案为 1 点评 本题考查了最简二次根式 利用好最简二次根式的被开方数相同是解 题的关键 24 2006 宿迁 如图 矩形内两相邻正方形的面积分别是 2 和 6 那么矩形 内阴影部分的面积是 2 2 结果保留根号 分析 根据题意可知 两相邻正方形的边长分别是 和 由图知 矩形的 长和宽分别为 所以矩形的面积是为 2 6 即可 求得矩形内阴影部分的面积 解答 解 矩形内阴影部分的面积是 2 6 2 6 2 6 2 2 点评 本题要运用数形结合的思想 注意观察各图形间的联系 是解决问题 的关键 25 2003 河南 实数 p 在数轴上的位置如图所示 化简 1 分析 根据数轴确定 p 的取值范围 再利用二次根式的性质化简 解答 解 由数轴可得 1 p 2 p 1 0 p 2 0 p 1 2 p 1 点评 此题从数轴读取 p 的取值范围是关键 26 2009 泸州 计算 2 分析 运用二次根式的性质 a 由于 2 故 2 解答 解 原式 2 2 点评 合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数 根指数与被开 方数不变 第 14 页 共 22 页 27 2011 凉山州 已知 a b 为有理数 m n 分别表示 的整数部分和小 数部分 且 amn bn2 1 则 2a b 2 5 分析 只需首先对 估算出大小 从而求出其整数部分 a 其小数部分用 a 表示 再分别代入 amn bn2 1 进行计算 解答 解 因为 2 3 所以 2 5 3 故 m 2 n 5 2 3 把 m 2 n 3 代入 amn bn2 1 得 2 3 a 3 2b 1 化简得 6a 16b 2a 6b 1 等式两边相对照 因为结果不含 所以 6a 16b 1 且 2a 6b 0 解得 a 1 5 b 0 5 所以 2a b 3 0 5 2 5 故答案为 2 5 点评 本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算 能够正确 估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键 三 解答题 共 13 小题 28 2009 邵阳 阅读下列材料 然后回答问题 在进行二次根式的化简与运算时 我们有时会碰上如 一样的式 子 其实我们还可以将其进一步化简 一 二 1 三 以上这种化简的步骤叫做分母有理化 还可以用以下方法化简 1 四 1 请用不同的方法化简 2 参照 三 式得 参照 四 式得 第 15 页 共 22 页 3 化简 分析 1 中 通过观察 发现 分母有理化的两种方法 1 同乘分母的有 理化因式 2 因式分解达到约分的目的 2 中 注意找规律 分母的两个被开方数相差是 2 分母有理化后 分母都 是 2 分子可以出现抵消的情况 解答 解 1 2 原式 点评 学会分母有理化的两种方法 29 2014 张家界 计算 1 1 2 1 2 0 分析 根据零指数幂 负整数指数幂和平方差公式得到原式 5 1 9 1 1 2 然后合并即可 解答 解 原式 5 1 9 1 1 2 7 3 点评 本题考查了二次根式的混合运算 先把各二次根式化为最简二次根式 再进行二次根式的乘除运算 然后合并同类二次根式 也考查了零指数幂 负 整数指数幂 30 2009 广州 先化简 再求值 其中 分析 本题的关键是对整式化简 然后把给定的值代入求值 解答 解 原式 a 2 3 a2 6a 6a 3 当 a 时 原式 6 3 3 6 第 16 页 共 22 页 点评 本题主要考查整式的运算 平方差公式等基本知识 考查基本的代数 计算能力 注意先化简 再代入求值 31 2005 沈阳 先化简 再求值 其中 x 1 y 1 分析 这是个分式除法与减法混合运算题 运算顺序是先做括号内的减法 此时要注意把各分母先因式分解 确定最简公分母进行通分 做除法时要注意 先把除法运算转化为乘法运算 而做乘法运算时要注意先把分子 分母能因式 分解的先分解 然后约分 解答 解 原式 当 x 1 y 1 时 原式 点评 分式混合运算要注意先去括号 分子 分母能因式分解的先因式分解 除法要统一为乘法运算 32 2010 莱芜 先化简 再求值 其中 分析 这道求代数式值的题目 不应考虑把 x 的值直接代入 通常做法是先 把代数式去括号 把除法转换为乘法化简 然后再代入求值 本题注意 x 2 看 作一个整体 解答 解 原式 x 4 当 时 原式 点评 分式混合运算要注意先去括号 分子 分母能因式分解的先因式分解 第 17 页 共 22 页 除法要统一为乘法运算 33 2008 余姚市校级自主招生 已知 a 求 的 值 分析 先化简 再代入求值即可 解答 解 a a 2 1 原式 a 1 a 1 2 1 2 4 1 3 点评 本题考查了二次根式的化简与求值 将二次根式的化简是解此题的关 键 34 2002 辽宁 对于题目 化简并求值 其中 a 甲 乙 两人的解答不同 甲的解答 a a 乙的解答 a a 请你判断谁的答案是错误的 为什么 分析 因为 a 时 a 5 4 0 所以 a 故错误的是 乙 解答 解 甲的解答 a 时 a 5 4 0 所以 a 正确 第 18 页 共 22 页 乙的解答 因为 a 时 a 5 4 0 所以 a 错误 因此 我们可以判断乙的解答是错误的 点评 应熟练掌握二次根式的性质 a a 0 35 2011 上城区二模 一个三角形的三边长分别为 1 求它的周长 要求结果化简 2 请你给一个适当的 x 值 使它的周长为整数 并求出此时三角形周长的 值 分析 把三角形的三边长相加 即为三角形的周长 再运用运用二次根式的 加减运算 先化为最简二次根式 再将被开方数相同的二次根式进行合并 解答 解 1 周长 2 当 x 20 时 周长 或当 x 时 周长 等 点评 对于第 2 答案不唯一 但要注意必须符合题意 36 2005 台州 我国古代数学家秦九韶在 数书九章 中记述了 三斜求积术 即已知三角形的三边长 求它的面积 用现代式子表示即为 其中 a b c 为三角形的三边长 s 为 面积 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式 s 其中 p 1 若已知三角形的三边长分别为 5 7 8 试分别运用公式 和公式 计 算该三角形的面积 s 2 你能否由公式 推导出公式 请试试 分析 1 代入计算即可 2 需要在括号内都乘以 4 括号外再乘 保持等式不变 构成完全平方公 式 再进行计算 第 19 页 共 22 页 解答 解 1 s p 5 7 8 10 又 s 2 c a b c a b a b c a b c 2p 2a 2p 2b 2p 2p 2c p p a p b p c 说明 若在整个推导过程中 始终带根号运算当然也正确 点评 考查了三角形面积的海伦公式的用法 也培养了学生的推理和计算能 力 37 2009 秋 金口河区期末 已知 求代数 式 x2 xy y2 值 分析 观察 显然 要求的代数式可以变成 x y 的差与积的形式 从而简便 计算 解答 解 xy 2 x y 原式 x y 2 xy 5 点评 此类题注意变成字母的和 差或积的形式 然后整体代值计算 38 2010 秋 灌云县校级期末 计算或化简 第 20 页 共 22 页 1 2 a 0 b 0 分析 1 先化简 再运用分配律计算 2 先化简 再根据乘除法的法则计算 解答 解 1 原式 6 12 6 6 18 2 原式 3a2b2 a2b 点评 熟练化简二次根式后 在加减的过程中 有同类二次根式的要合并 相乘的时候 被开方数简单的直接让被开方数相乘 再化简 较大的也可先化 简 再相乘 灵活对待 39 2013 秋 故城县期末 先阅读下列的解答过程 然后再解答 形如 的化简 只要我们找到两个数 a b 使 a b m ab n 使得 m 那么便有 a b 例如 化简 解 首先把 化为 这里 m 7 n 12 由于 4 3 7 4 3 12 即 7 2 由上述例题的方法化简 分析 应先找到哪两个数的和为 13 积为 42 再判断是选择加法 还是减 法 解答 解 根据 可得 m 13 n 42 6 7 13 6 7 42 点评 解题关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式 40 2013 黔西南州 阅读材料 第 21 页 共 22 页 小明在学习二次根式后 发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方 如 3 1 2 善于思考的小明进行了以下探索 设 a b m n 2 其中 a b m n 均为整数 则有 a b m2 2n2 2mn a m 2 2n2 b 2mn 这样小明就找到了一种把类似 a b 的式子化为平方式 的方法 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题 1 当 a b m n 均为正整数时 若 a b 用含 m n 的式子 分别表示 a b 得 a m 2 3n2 b 2mn 2 利用所探索的结论 找一组正整数 a b m n 填空 4 2 1 1 2 3 若 a 4 且 a m n 均为正整数 求 a 的值 分析 1 根据完全平方公式运算法则 即可得出 a b 的表达式 2 首先确定好 m n 的正整数值 然后根据 1 的结论即可求出 a b 的值 3 根据题意 4 2mn 首先确定 m n 的值 通过分析 m 2 n 1 或者 m 1 n 2 然后即可确定好 a 的值 解答 解 1 a b a b m2 3n2 2mn a m 2 3n2 b 2mn 故答案为 m 2 3n2 2mn 2 设 m 1 n 1 a m 2 3n2 4 b 2mn 2 故答案为 4 2 1 1 3 由题意 得 a m2 3n2 b 2mn 4 2mn 且 m n 为正整数 m 2 n 1 或者 m 1 n 2 a 2 2 3 12 7 或 a 12 3 22 13 第 22 页 共 22 页 点评 本题主要考查二次根式的混合运算 完全平方公式 解题的关键在于 熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则