二次函数的图象和性质-培优教案

1 二次函数的图象和性质 培优教案 一 课前训练 1 已知抛物线 上一部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值2yaxbc xy 如表所示 则下列说法中正确的是 填写序号 2 1 0 1 2 0 4 6 6 4 抛物线与 轴的一个交点为 x 3 函数 的最大值为 6 2yabc 抛物线的对称轴是直线 12x 在对称轴的左侧 随 的增大而增大 y 2 若二次函数 的图象如图所示 20ca 则下列结论中正确的个数是 40bac b 8 930abc A 1 B 2 C 3 D 4 二 知识结构 2221204 yaxbcabyx 定 义 一 般 式 二 次 函 数 解 析 式 顶 点 式 交 点 式 图 象 开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标增 减 性 最 值性 质 224000aybyaxccxyCcc 开 口 方 向同 号 对 称 轴 在 轴 的 左 侧 异 号 对 称 轴 在 轴 的 右 侧与 轴 的 交 点 个 数与 轴 交 于 正 半 轴 的 点 与 轴 交 于 原 点与 轴 交 于 负 半 轴 的 点 三 题型讲练 例 1 已知抛物线 2yxm 写出它的开口方向 对称轴及顶点坐标 当 为何值时 抛物线的顶点在 轴上方 x 过抛物线与 轴的交点 作直线 轴 交抛物线于另一点 AB B 当 时 求此抛物线的解析式 4AOBS 分析 考察配方法 欲使抛物线顶点在 轴上方 必使顶点纵坐标为正 由直线 轴可知 两点的纵坐标相等 进而可以求出 值 x m 解 在 中 二次项系数 开口向上 2ym 10 20 5 对称轴是直线 顶点坐标为 x 5 2 欲使抛物线的顶点在 轴上方 必使顶点的纵坐标为正数 令 则 此时抛物线的顶点在 轴上方0 25 x 令 则 抛物线 与 轴交于点x y2yxm y 0Am 直线 轴 B BA 令 则 解得 2xm 102 1B 在 中 RtAO 01ABx A y xO 1x 1 2 2 142AOBS 142m 8 抛物线的解析式为 或 8yx 2yx 练习 1 右图是二次函数 在平面直角坐标系中 20abc 的图象 则下列结论中正确的是 填写序号 0c 284bac 2 若抛物线 与 轴的一个交点的坐标为 则此抛物线24myx x 10 与 轴的另一个交点的坐标为 3 如图 抛物线 经过点 与 轴交于 两点 cxy 21932D xAB 求 的值 c 如图 设点 为该抛物线在 轴上方的一点 若直线 将四边形CC 的面积二等分 试证明线段 被直线 平分并求此时直线ABDB 的函数解析式 设点 是该抛物线在 轴上方的两个动点 试猜想 是否存在这样PQ x 的点 使得 若存在 请举例验证你的猜想 若不 AP 存在 请说明理由 图 供选用 解 抛物线经过点 932D 213c 6 作 于点 作 于点 设 与 交于点BEAC FAC BDM 直线 将四边形 的面积二等分 B 即 ACBDS 12E EF M 90M 线段 被直线 平分EF BAC 由 知 抛物线的解析式为6c 216yx 令 则 0y 23x 0A 3 43AB 点 是线段 的中点 DBD 32Mx 924My 3924 设直线 的解析式为 ACkxb 3 直线 经过点 和点AC 230 3924M 直线 的解析式为 231945kbk AC510 xy 存在 设抛物线的顶点为 06N 在 中 RtAO 22364AOAB 以点 为圆心 为半径作圆 与抛物线在 轴的上方43Bx 一定有交点 即点 连接 再作 的平分线QQ 交抛物线于点 连接 此时由 得PP S 例 2 已知抛物线 与 轴交于 242yxm x 120ABx 两点 其中 且 与 轴交于点 1 10 yC 求抛物线的解析式 能否找到直线 与抛物线交于 两点且使 轴恰好平分kbPQ y 的面积 若能 求出 满足的条件 若不能 说明理由 CPQ 解 令 则有 0y 2420 x 2413mm 对于一切实数 抛物线与 轴恒有两个交点 x 由根与系数的关系 得 12x 124x 把 代入 得 0 2 把 代入 得 1218 把 代入 得 124xm 28424m 化简整理得 解得 90127 当 时 与 相符 1m12 x 当 时 与 不符 舍去 2763 抛物线的解析式为 8y 能 理由如下 如图 假设符合题意的直线 与 轴交于点 kxbyD 即 CDPQS 12PQCxAPQx 由题意知 两点必在 轴的两侧 即 0PQx 由 得 28ykxb 280 xkb 一定是方程 的两根 PQ 2PQxk 2k 直线 与抛物线 有两个交点ykxb 2y 即 解得0 2480 8b 且 为所求 8 练习 1 已知抛物线 与 轴分别交于 两点21ykxx 120AxB 其中 则下列结论中正确的是 只需填写序号 1 当 时 当 时 方程 2 y 有两个不相等的实数根 20kx 12x 1 21 214kx 4 2 已知直线 与 轴交于点 与 轴交于点 另一条 02 bxyxAyB 抛物线的解析式为 c 12 若该抛物线经过点 且抛物线的顶点 在直线 上 试确定BPbx 2 抛物线的解析式 过点 作直线 交 轴于点 若抛物线的对称轴经过点 CA xCC 试确定直线 的解析式 by 2 例 3 如图 直线 与抛物线交于点 和点 点 在 轴上 mxy 34A By 点 是抛物线的顶点 10C 求 的值及抛物线的解析式 过线段 上的动点 与 不重合 作 轴的垂线 与抛物线ABPB x 交于点 设线段 的长为 点 的横坐标为 求 与 之Ehhx 间的函数关系式并写出自变量 的取值范围 x 设点 是直线 与抛物线对称轴的交点 则在线段 上是否存DAB 在一点 使得四边形 是平行四边形 若存在 求出此时点PDCEP 的坐标 若不存在 说明理由 解 点 在直线 上 34A mxy 有直线 11yx 点 是抛物线的顶点0 设所求抛物线的解析式为 2a 点 在抛物线 上 34A yx 所求抛物线的解析式为21a 21yx 设 两点的纵坐标分别为 和 则 PE PE 其中 213pEhyxx 03 存在 理由如下 欲使四边形 是平行四边形 必使DC DCPEDC 点 在直线 上且 令 则 12y 12 20yh 令 即 解得 不合题意 舍去 h23x 1x2x 点 在直线 上 令 则 P1y 3y 2P 当点 的坐标为 时 四边形 是平行四边形 DCE 练习 1 已知抛物线 2yxm 若抛物线与 轴的交点 分别在原点的两侧且 求 的值 AB 5AB m 设抛物线与 轴交于点 若抛物线上存在关于原点对称的两点C 5 使得 的面积等于 求 的值 MN C 27m 解 设 两点的坐标分别为 AB 10Ax 2B 则 分别是方程 的两根 12x 由根与系数的关系知 1212 两点分别在原点两侧 即 0 2m 2121212145ABxxx 解得 与 矛盾 舍去 2430m m 3 的值为 两点关于原点对称MN 设 两点的坐标分别为 MabN 两点都在抛物线 上 2yx 2am 2402am 当 时才存在满足条件的 两点 N 2 两点到 轴的距离均为MN y 两点之间的水平距离为 令 则 点 的坐标为 0 x 2 C 0 2OCm 11227MNSmm A 解得97 2 已知抛物线 恰好经过 轴正半轴上的 两点 20yaxbc xAB 点 在点 的左侧 且与 轴交于点 AByC 的符号之间有何关系 c 若线段 的长度是线段 长度的比例中项 证明 互为倒数 OCAOB ac 在 的条件下 若 且 求 的值 4b 3c 解 时抛物线开口向上 由题意知此时抛物线与 轴正半轴相交 0a y 0 时抛物线开口向下 由题意知此时抛物线与 轴负半轴相交 c 综上所述 的符号之间的关系是 同号 ac ac 设 两点的坐标分别为 其中 AB 10Ax 2B 210 x 1xO 2OC 由题意知 是方程 的两根 bc 12ca A 由题意知 即 221x2ca 由 知 两边同时除以 得 即 互为倒数 0c c 当 时 由 知 4b 1240bxa 解法一 2211ABxx 2222634ccaa 3 3a c 解法二 24416432cxa 点 在点 的左侧 AB1x x 6 21323ABOxaa 43412c 四 课堂小结 二次函数与几何的综合应用是历届中考的重点 应该认真深入的探究 五 作业布置 1 若二次函数 的图象如图所示 20yaxbc 则下列结论中不正确的是 A 0c B 4b C D 关于 的方程 的根是 x20abxc 125x 2 若二次函数 的图象如图所示 y 则下列结论正确的是 A 0 24a B a b 0c 0bc C D 2 3 若抛物线 经过 2yxa 四点 则 与 的大小关系是 1203OAByC 1y2 A B C D 不能确定12 2 4 若二次函数 的图象如图所示 0 xbc 则下列结论中错误的有 当 时 0ac x 0y 方程 有两个大于 的实数根 2a 1 A B C D 5 如图 抛物线 的图象与 轴交于2yxab x 两点 与 轴交于点 102AB yC 求该抛物线的解析式并判断 的形状 AB 若在 轴上方的抛物线上存在一点 使得xD 以 为顶点的四边形是等腰梯形 CD 请直接写出点 的坐标 抛物线上是否存在点 使得以PCP 为顶点的四边形是直角梯形 如果存在 求出点 的坐标 若不存在 说明理由 解 抛物线 的图象与 轴交于 两点2yxab x 102AB 抛物线的解析式为 104 31 31yx 抛物线与 轴交于点 令 则 点 的坐标为yC0 x1C 01 在 中 RtAO 22 5AO 在 中 B21B152 有 222 4ACAB RtC 点 的坐标是 D312 存在 理由如下 7 由 知 90ACB 欲使以 为顶点的四边形是直角梯形 只需 或P APBC BP 若 则以 为底边 直线 与 轴交于点 与 轴交于点x 2 y 01 直线 的解析式为 即C1 2x 设直线 的解析式为APB AP1yb 直线 经过点 02 0 4 直线 的解析式为 14yx 抛物线 与直线 交于点23yx AP 或 点 的坐标为 11024yyx 523x153P 若 则以 为底边 BAC 直线 与 轴交于点 与 轴交于点x102 y 01C 直线 的解析式为 即 2x 设直线 的解析式为BPAC BPyb 直线 经过点 20 20 24 直线 的解析式为BP24yx 抛物线 与直线 交于点231yx BP 或 点 的坐标为 549y 0259P 综上所述 符合题意的点 的坐标为 或 P132 2