二次函数的实际应用(典型例题分类)

艾雯思 1 二 次 函 数 与 实 际 问 题 1 理论应用 基本性质的考查 解析式 图象 性质等 2 实际应用 拱桥问题 求最值 最大利润 最大面积等 类型一 最大面积问题 例一 如图在长200米 宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路 绿地面积 与路宽 m 之yx 间的关系 并求出绿地面积的最大值 变式练习1 如图 用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园 写出长方形花园的面积 与它与墙平行的边的长 m 之间的函数关系式 当x为多长时 花园面积最大 y 类型二 利润问题 例二 某商店经营 T 恤衫 已知成批购进时单价是 2 5 元 根据市场调查 销售量与销售单价满足如 下关系 在某一时间内 单价是 13 5 元时 销售量是 500 件 而单价每降低 1 元 就可以多售出 200 件 请你帮助分析 销售单价是多少时 可以获利最多 设销售单价为 x 元 0 x 13 5 元 那么 1 销售量可以表示为 2 销售额可以表示为 3 所获利润可以表示为 4 当销售单价是 元时 可以获得最大利润 最大利润是 艾雯思 2 变式训练 2 某商品现在的售价为每件 60 元 每星期可卖出 300 件 市场调查反映 每涨价 1 元 每星期少卖出 10 件 每降价 1 元 每星期可多卖出 20 件 已知商品的进价为每件 40 元 如何定 价才能使利润最大 变式训练 3 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品 年初上市后 公司经历从亏损到盈利的过程 如下图的二次函数图象 部分 刻画了该公司年初以来累积利润 y 万元 与销售时间 x 月 之 间的关系 即前 x 个月的利润之和 y 与 x 之间的关系 1 根据图上信息 求累积利润 y 万元 与销售时间 x 月 的函数关系式 2 求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元 3 求第 8 个月公司所获利润是多少万元 艾雯思 3 400 30 0 60 70 y 件 x 元 变式训练 4 某服装公司试销一种成本为每件 50 元的 T 恤衫 规定试销时的销售单价不低于成本价 又不高于每件 70 元 试销中销售量 件 与销售单价 元 的关系可以近似的看作一次函数yx 如图 1 求 与 之间的函数关系式 yx 2 设公司获得的总利润 总利润 总销售额 总成本 为 P 元 求 P 与 x 之间的函数关系式 并写出自变量 x 的取值范围 根据题意判断 当 x 取何值时 P 的值最大 最大值是多少 类型三 实际抛物线问题 例三 某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成 尺寸如图 10 所示 1 以隧道横断面抛物线的顶点为原点 以抛物线的对称轴为 y 轴 建立直角坐标系 求该抛物 线对应的函数关系式 2 某卡车空车时能通过此隧道 现装载一集装箱箱 宽 3m 车与箱共高 4 5m 此车能否通过隧道 并说明理由 艾雯思 4 变式练习 3 如图是抛物线型的拱桥 已知水位在 AB 位置时 水面宽 米 水位上升 3 米就64 达到警戒水位线 CD 这时水面宽 米 若洪水到来时 水位以每34 小时 0 25 米的速度上升 求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶 变式练习 4 如图 某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物 大门的地面高度为 8 米 两侧距 地面 4 米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环 两铁环的水平距离为 6 米 则校门的高度为 精确到 0 1 米 xy 例 2图 DC BA O 6米 4米 8米 BA O 第 3题 图 艾雯思 5 变式 1 如图 排球运动员站在点 O 处练习发球 将球从 O 点正上方 2m 的 A 处发出 把球看成 点 其运行的高度 y m 与运行的水平距离 x m 满足关系式 y a x 6 2 h 已知球网与 O 点的水平 距离为 9m 高度为 2 43m 球场的边界距 O 点的水平距离为 18m 1 当 h 2 6 时 求 y 与 x 的关系式 不要求写出自变量 x 的取值范围 2 当 h 2 6 时 球能否越过球网 球会不会出界 请说明理由 3 若球一定能越过球网 又不出边界 求 h 的取值范围 艾雯思 6 课后练习 一 利润问题 1 某商场销售一批名牌衬衫 平均每天可售出 20 件 每件盈利 40 元 为了扩大销售 增加盈利 尽快减少库存 商场决定采取适当的降价措施 经调查发现 如果每件衬衫每降价 1 元 商场 平均每天可多售出 2 件 1 若商场平均每天要盈利 1200 元 每件衬衫应降价多少元 2 每件衬衫降低多少元时 商场平均每天盈利最多 二 面积问题 2 如下图 在一个直角三角形的内部作一个长方形 ABCD 其中 AB 和 AD 分别在两直角边上 1 设长方形的一边 AB x m 那么 AD 边的长度如何表示 2 设长方形的面积为 y m2 当 x 取何值时 y 的值最大 最大值是多少 艾雯思 7 3 有一个抛物线形拱桥 其最大高度为 16m 跨度为 40m 现把它的示意图放在平面直角坐标系中 如图该抛物线的解析式为 4 教练对小明推铅球的录像进行技术分析 发现铅球行进高度 y m 与水平距离 x m 之间的关系为 y x 4 2 3 由此可知铅球推出的距离是 m 1 5 如图 一小孩将一只皮球从 A 处抛出去 它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分 如果 他的出手处 A 距地面的距离 OA 为 1 m 球路的最高点 B 8 9 则这个二次函数的表达式为 小孩将球抛出了约 米 精确到 0 1 m x y A B O 艾雯思 8 第 5题 6 有一个抛物线形的拱形桥洞 桥洞离水面的最大高度为 4 m 跨度为 10 m 如图所示 把它的 图形放在直角坐标系中 1 求这条抛物线所对应的函数关系式 2 如图 在对称轴右边 1 m 处 桥洞离 水面的高是多少