抽象函数奇偶性的判定

专题一抽象函数奇偶性的判定及应用探究一：抽象函数的单调性和奇偶性问题抽象函数的具体模型 类型一：抽象函数证明函数的奇偶性问题 ，满足，如何证明为奇函数？ ，满足，如何证明为偶函数？类型二：抽象函数证明函数的单调性问题 若且、证明其单调性 若、证明其单调性探究二：函数性质（单调性、奇偶性）定义经典试题一、判断单调性和奇偶性1. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。例1如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是 A. 增函数且最小值为B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为D. 减函数且最大值为 分析：画出满足题意的示意图，易知选B。例2偶函数在上是减函数，问在上是增函数还是减函数，并证明你的结论。 分析：如图所示，易知在上是增函数，证明如下： 任取 因为在上是减函数，所以。 又是偶函数，所以， 从而，故在上是增函数。2. 判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。例3若函数与的图象关于原点对称，判断：函数是什么函数。 解：设图象上任意一点为P（）与的图象关于原点对称， 关于原点的对称点在的图象上， 又 即对于函数定义域上的任意x都有，所以是偶函数。二、证明单调性和奇偶性1.证明单调性例4已知对一切，满足，且当时，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。 证明：对一切有。 且，令，得， 现设，则， 而 ， 设且， 则 ， 即为减函数。2.证明奇偶性例5已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。 分析：在中，令，得 令，得 于是 故是偶函数。三、求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例6已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。 解：是偶函数，且在（0，1）上是增函数， 在上是减函数， 由得。（1）当时， ，不等式不成立。2）当时， （3）当时， 综上所述，所求的取值范围是。四、不等式1.解不等式 这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“”，转化为代数不等式求解。例7已知函数对任意有，当时，求不等式的解集。 解：设且 则 ， 即， 故为增函数， 又 因此不等式的解集为。2. 讨论不等式的解求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。例8，. 已知是定义在上的奇函数，若，且时，恒有.（1）判断在上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式五、比较函数值大小 利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。例9，已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，且，则的大小关系是_。 分析：且， 又时，是增函数， 是偶函数 故1. 对于定义在上的函数，给出三个命题：（1）若，则是偶函数；（2）若，则不是偶函数；（3）若，则一定不是奇函数.其中正确命题的序号为_2. 下列命题中，说法正确的是_（1）若定义在上的函数满足，则函数是上的单调增函数；（2）若定义在上的函数满足，则函数不是上的单调减函数；（3）若定义在上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则函数是上的单调增函数；（4）若定义在上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则函数是上的单调增函数；变式：若定义在上的函数对任意的都有成立，且当时，（1）求证：是奇函数；（2）求证：是上的增函数；函数f(x)，满足都有f(x1+x2)= f(x1)+ f(x2)-3, （1）判断函数f(x)-3的奇偶性并予以证明 若f(x) 最大值为M，最小值为m，求M+m分析;恰当赋值，用定义可证奇偶性，应用奇偶性可求M+m解析；令则f(0+0)= f(0)+ f(0)-3得，令则f(x-x)= f(x)+ f(-x)-3得f(x)+ f(-x)=6，令则所以f(x)-3为奇函数。，为奇函数图像关于原点对称，所以点评: 奇偶性定义是判断抽象函数奇偶性的重要方法，恰当赋值找出f(x)+ f(-x)=6是关键2，函数f(x)，满足（1）求的值，判断并证明f(x)的奇偶性解析；令则，令则=得再令，所以f(x) 为奇函数点评:要判断f(x)的奇偶性必先求出，而把1写成是关键3， 定义在R上的函数f(x)满足且在上只有，判断f(x)的奇偶性并说明理由解析； f(x)在上只有令则所以，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数。点评:判定一个命题不成立，只需举出反例即可。4， 已知定义在R上的函数f(x)满足条件，且函数是奇函数，判断f(x)的奇偶性并说明理由解析；因为是奇函数，所以，用替代得又所以f(x) 为偶函数5， 定义在R上的函数f(x)满足: 判断f(x)的奇偶性并说明理由解析；令得，只需求出，故再令得，所以所以f(x) 为偶函数6，已知偶函数f(x)在区间上单调递增求满足的取值范围解析；由偶函数性质得，又f(x)在区间上单调递增解得点评：运用偶函数性质可把变量转化为同一单调区间再利用单调性求解，本题若分类讨论，则要分四种情况繁琐，显示了运用性质的重要性。7， 函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x) g(x)在上单调递增，解不等式f(x) g(x)0解析；令f(x) g(x)，f(-x) g(-x)=-所以为奇函数，又 f(-1) g(-1)=0，在上单调递增，由奇函数在其对称区间上单调性相同得在上单调递增作出的简图所以f(x) g(x)0即的解是