二次函数中考考点+例题-全面解析

1 二次函数中考考点分析 考点 1 确定 a b c 的值 二次函数 y ax 2 bx c a b c是常数 且 a 0 开口向上 开口向下 抛物线的对称轴为 由图像确定 的正负 由 a的符号确定出 b的符号 a b 符号左 b 右 即当抛物线的对称轴在 y轴的左边时 a b 号 由 x 0时 y 知 c的符号取决于图像与 y 轴的交点纵坐标 与 y轴交点在 y轴的正半轴时 c 0 与 y轴交点在 y轴的负半轴时 c 0 确定 了 a b c 的符号 易确定 abc的符号 考点 2 确定 a b c的符号 x 1 时 y 由图像 y的值确定 a b c的符号 与之类似的还 经常出现判断 4a 2b c的符号 易知 x 2时 y 由图像 y的值确定 4a 2b c的符号 还有判 断 a b c 的符号 x 1 时 y 等等 考点 3 与抛物线的对称轴有关的一些值的符号 抛物线的对称轴为 x 根据对称性知 取到2ba 对称轴 距离相等 的两个不同的 x值时 值相等 即当 x m或 x m 时 y 值相等 中考考查时 通常知道 x m时 y值的符号 让确定出 x m 时 y值的符号 2ba 考点 4 由对称轴 x 的确定值判断 a与 b的关系 如 1能判断出 a b 2ba 考点 5 顶点与最值 若 x可以取全体实数 开口向下时 y 在顶点处取得最大值 开口向上时 y 在顶点处取得最小值 例 1 已知二次函数 的图象如图所示 有下列 5 个结论 0 2 cba 0 c 的实数 其中正确的结cab 04 c3 bam 1 论有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 解析 此题考查了考点 1 2 3 4 5 错误 因为 开口向下 0 对称轴 x 1 可以得出 b 0 x 0 时 y c 0 故 abc 0 错误 因为 ba 由图知 x 1 时 y a b c 0 即 b a c 正确 因为 由对称轴 x 1知 x 0时和 x 2时 y值相等 由 x 0时 y 0 知 x 2时 y 4a 2b c 0 正确 因为 由对称轴 x 1 可以得出 a 0 5 b 代入前面已经证出 b a c 得出 1 5b c 即 3b 2c 正确 因为 2 抛物线开口向下 故顶点处 y值最大 即 x 1 y a b c最大 此时 a b c am 2 bm c 即1 m 答案 B bma 1 考点 6 图象与 x轴交点 0 ax 2 bx c 0有两个不相等的实根 0 ax 2 bx c 0无实根 0 ax 2 bx c 0有两个相等的实根 b 2 4ac 0 抛物线与 x轴有 个交点 b 2 4ac 0 抛物线与 x轴 交点 b 2 4ac 0 抛物线与 x轴 个交点 例 2 二次函数 与 x 轴的交点个数是 21y A 0 B 1 C 2 D 3 解析 求图象与 x轴的交点应令 y 0 即 x2 2x 1 0 b 2 4ac 4 4 0 二次函数图象与 x轴只有 一个交点 答案 B 考点 7 判断在同一坐标系中两种不同的图形的正误 如 在同一种坐标系中正确画出一次函数 2 和二次函数 关键是 两个式子中的 a b 值应相同 yaxb 0 2 acbxy 例 3 在同一坐标系中一次函数 和二次函数 的图象可能为 y 2yaxb 解析 二次函数 过点 0 0 故排除答案 B与 C 若 a 0 抛物线开口向上 一次函数2yaxb 的 y值随着 x值的增大而增大 若 a 0 抛物线开口向下 一次函数 的 y值随着 xyaxb yaxb 值的增大而减小 答案 A 考点 8 能分别判断出在对称轴的左右两侧二次函数 y值随 x值的变化而变化情况 抛物线当开口向 上时 在对称轴的左侧二次函数 y值随 的增大而减小 在对称轴的 侧二次函数 y值随 x值的增 大而增大 抛物线开口 时 在对称轴的左侧二次函数 y值随 x值的增大而增大 在对称轴的右侧 二次函数 y值随 x值的增大而减小 例 4 已知二次函数 a 0 的图象经过点 1 2 1 0 下列结论正确的是 2xbc A 当 x 0 时 函数值 y 随 x 的增大而增大 B 当 x 0 时 函数值 y 随 x 的增大而减小 C 存在一个负数 x0 使得当 x x0时 函数值 y 随 x 的增大而增大 D 存在一个正数 x0 使得当 xx0时 函数值 y 随 x 的增大而增大 解析 二次函数 a 0 的图象没说明开口方向 故过2bc 点 1 2 1 0 的抛物线有可能开口向上或向下 见图再结合选项 抛物线当开口向上时 在对称轴 x x0 x 0 0 的左侧二次函数 y 值随 x 值的增大而减小 在对称轴的右侧二次函数 y 值随 x 值的增大而增 大 抛物线开口向下时 在对称轴 x x0 x 0 0 的左侧二次函数 y 值随 x 值的增大而增大 在对称轴的右 侧二次函数 y 值随 x 值的增大而减小 答案 D 考点 9 二次函数解析式的几种形式 1 一般式 y ax 2 bx c a b c 为常数 a 0 2 顶点式 y a x h 2 k a h k为常数 a 0 抛物线的顶点坐标是 h k h 0 时 抛物线 y ax 2 k 的顶点在 轴上 当 k 0 时 抛物线 y a x h 2的顶点在 x轴上 当 h 0 且 k 0 时 抛物线 y ax 2的顶点在 3 3 两根式 y a x x 1 x x2 其中 x1 x2是抛物线与 x轴的交点的横坐标 即一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两个根 求解析式时若已知抛物线过三点坐标一般设成一般式 已知抛物线过的 顶点坐标时设成顶点式 已知抛物线与 x轴的两个交点的横坐标时设成两根式 例 5 在直角坐标平面内 二次函数图象的顶点为 且过点 求该二次函数的解析 4 A 30 B 式为 解析 1 设二次函数解析式为 二次函数图象过点 得2 1 yax 4a O x y O x y O x y O x y A B C D 3 二次函数解析式为 即 1a 2 1 4yx 23yx 知识梳理 1 定义 一般地 如果 是常数 那么 叫做 的二次函数 2 二次函数 用配方法可化成 的形式 其中 3 抛物线的三要素 开口方向 对称轴 顶点 的符号决定抛物线的开口方向 当 时 开口向上 当 时 开口向下 相等 抛物线的开口大小 形状相同 平行于 轴 或重合 的直线记作 特别地 轴记作直线 4 顶点决定抛物线的位置 几个不同的二次函数 如果二次项系数 相同 那么抛物线的开口方向 开口大小完全相同 只是顶点的位置不同 5 求抛物线的顶点 对称轴的方法 1 公式法 顶点是 对称轴 是直线 2 配方法 运用配方的方法 将抛物线的解析式化为 的形式 得到顶点为 对称轴是直线 3 运用抛物线的对称性 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形 所以对称轴的连线的垂直 平分线是抛物线的对称轴 对称轴与抛物线的交点是顶点 用配方法求得的顶点 再用公式法或对称性进 行验证 才能做到万无一失 6 抛物线 中 的作用 1 决定开口方向及开口大小 这与 中的 完全一样 2 和 共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线 的对称轴是直线 故 时 对称轴为 轴 即 同号 时 对称轴在 轴左侧 即 4 异号 时 对称轴在 轴右侧 3 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置 当 时 抛物线 与 轴有且只有一个交点 0 抛 物线经过原点 与 轴交于正半轴 与 轴交于负半轴 以上三点中 当结论和条件互换时 仍成立 如抛物线的对称轴在 轴右侧 则 7 用待定系数法求二次函数的解析式 1 一般式 已知图像上三点或三对 的值 通常选择一般式 2 顶点式 已知图像的顶点或对称轴 通常选择顶点式 3 交点式 已知图像与 轴的交点坐标 通常选用交点式 12 直线与抛物线的交点 1 轴与抛物线 得交点为 0 2 与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点 3 抛物线与 轴的交点 二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 是对应一元二次方程 的两个实数根 抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定 有两个交点 抛物线与 轴相交 有一个交点 顶点在 轴上 抛物线与 轴相切 没有交点 抛物线与 轴相离 4 平行于 轴的直线与抛物线的交点 同 3 一样可能有0个交点 1个交点 2个交点 当有2个交点时 两交点的纵坐标相等 设纵坐标 为 则横坐标是 的两个实数根 5 一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点 由 方程组 的解的数目来确定 方程组有两组不同的解时 与 有两个交点 方程 组只有一组解时 与 只有一个交点 方程组无解时 与 没有交点 5 6 抛物线与 轴两交点之间的距离 若抛物线 与 轴两交点为 由于 是方程 的两个根 故 练一练 1 如图 二次函数 的图象开口向上 图像经过点 1 2 和 1 0 且与 y轴交cbxay 2 于负半轴 以下有 1 2 两问 每个考生只须选答一问 若两问都答 则只以第 2 问计分 第 1 问 给出四个结论 0 0 0 c a b c 0 其中正确的结论的序号是 答对得 3分 少选 错选均不得分 第 问 给出四个结论 abc 0 2a 0 a c 1 a 1 其中正确的结论的序号是 b 答对得 5分 少选 错选均不得分 2 二次函数 的图像可能是 22 axy 3 如图 已知二次函数 的图像经过点 A 和24yaxc 点 B 1 求该二次函数的表达式 2 写出该抛物线的对称轴及顶点坐标 3 点 P m m 与 点 Q 均 在 该 函 数 图 像 上 其 中 m 0 且 这 两 点 关 于 抛 物 线 的 对 称 轴 对 称 求 m 的 值 及 点 Q 到 x 轴 的距 离 4 有一抛物线的拱形桥洞 桥洞离水面的最大高度为 4m 跨度为 10m 如图所示 把它的图形放在直角坐标系中 求这条抛物线所对应的函数关系式 如图 在对称轴右边 1m 处 桥洞离水面的高是多少 x y O 3 9 1 1A B A x y B x y C x y D x y 6 参考答案 1 1 2 2 B 3 解 1 将 x 1 y 1 x 3 y 9 分别代入 得cxay 42 解得 349 2ca 6 1ca 二次函数的表达式为 42xy 2 对称轴为 顶点坐标为 2 10 x 3 将 m m 代入 得 6 642 m 解得 m 0 不合题意 舍去 12 6 1 m 6 点 P 与点 Q 关于对称轴 对称 2 x 点 Q 到 x 轴的距离为 6 4 y 0 16x 2 1 6x 3 84m