2017高考一轮复习教案-选修4-4极坐标与参数方程

选修 4 4 坐标系与参数方程 1 坐标系与极坐标 1 理解坐标系的作用 2 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置 理解在极坐标系和平 面直角坐标系中表示点的位置的区别 能进行极坐标与直角坐标的互 化 3 能在极坐标系中给出简单图形 如过极点的直线 过极点或圆心在极点的圆 的方 程 通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程 理解用方程表示图形时选 择坐标系的意义 2 参数方程 1 了解参数方程 了解参数的意义 2 能选择适当的参数写出直线 圆和圆锥曲线的参数方程 3 掌握直线的参数方程及参数的几何意义 能用直线的参数方程解决简单的相关问 题 知识点一 极坐标系 1 极坐标系的概念 1 极坐标系 如图所示 在平面内取一个定点 O 点 O 叫作极点 自极点 O 引一 条射线 Ox Ox 叫作极轴 再选定一个长度单位 一个角度单位及其正 方向 这样就建立了一个极坐标系 2 极坐标 极径 设 M 是平面内一点 极点 O 与点 M 的距离 OM 叫作点 M 的极径 记为 极角 以极轴 Ox 为始边 射线 OM 为终边的角 xOM 叫作点 M 的极角 记为 极坐标 有序数对 叫作点 M 的极坐标 记作 M 2 极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点 它的直角坐标是 x y 极坐标是 则它们之间的关系 为 Error Error 易误提醒 1 极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式 在解决此类问题时考生要注意 两个方面 一是准确应用公式 二是注意方程中的限制条件 2 在极坐标系下 点的极坐标不唯一性易忽视 注意极坐标 2k 2k k Z 表示同一点的坐标 自测练习 1 设平面上的伸缩变换的坐标表达式为Error 则在这一坐标变换下正弦曲线 y sin x 的方程变为 解析 由Error 知Error 代入 y sin x 中得 y 3sin 2x 答案 y 3sin 2x 2 点 P 的直角坐标为 1 则点 P 的极坐标为 3 解析 因为点 P 1 在第四象限 与原点的距离为 2 且 OP 与 x 轴所成的角为3 所以点 P 的极坐标为 3 2 3 答案 2 3 3 2015 高考北京卷 在极坐标系中 点 到直线 cos sin 6 的距离为 2 3 3 解析 点 的直角坐标为 1 直线 cos sin 6 的直角坐标方程为 x 2 3 3 3 y 6 0 所以点 1 到直线的距离 d 1 3 3 1 3 3 6 1 3 答案 1 知识点二 参数方程 参数方程的概念 一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线 C 上任意一点 P 的坐标 x y 是某个变数 t 的 函数Error 并且对于 t 的每一个允许值 由函数式 Error 所确定的点 P x y 都在曲线 C 上 那么方程Error 叫作这条曲线的参数方程 变数 t 叫作参变数 简称参数 相对于参数方 程而言 直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程 易误提醒 1 在参数方程与普通方程的互化中 必须使 x y 的取值范围保持一致 否则不等 价 2 直线的参数方程中 参数 t 的系数的平方和为 1 时 t 才有几何意义 且其几何意 义为 t 是直线上任一点 M x y 到 M0 x0 y 0 的距离 即 M0M t 自测练习 4 在平面直角坐标系中 曲线 C Error t 为参数 的普通方程为 解析 依题意 消去参数可得 x 2 y 1 即 x y 1 0 答案 x y 1 0 5 在平面直角坐标系 xOy 中 过椭圆 Error 为参数 的右焦点 且与直线Error t 为 参数 平行的直线截椭圆所得的弦长为 解析 椭圆的普通方程为 1 则右焦点的坐标为 1 0 直线的普通方程为 x24 y23 x 2y 2 0 过点 1 0 与直线 x 2y 2 0 平行的直线方程为 x 2y 1 0 由Error 得 4x2 2x 11 0 所以所求的弦长为 1 12 2 12 2 4 114 154 答案 154 考点一 曲线的极坐标方程 1 在极坐标系下 已知圆 O cos sin 和直线 l sin 4 22 1 求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程 2 当 0 时 求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标 解 1 圆 O cos sin 即 2 cos sin 圆 O 的直角坐标方程为 x 2 y 2 x y 即 x2 y 2 x y 0 直线 l sin 即 sin cos 1 则直线 l 的直角坐标方程为 4 22 y x 1 即 x y 1 0 2 由Error 得Error 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 1 2 2 2016 长春模拟 已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 2 2 2 cos 2 2 4 1 将圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程 2 求经过两圆交点的直线的极坐标方程 解 1 由 2 知 2 4 所以 x2 y 2 4 因为 2 2 cos 2 2 4 所以 2 2 2 2 cos cos 4 sin sin 4 所以 x2 y 2 2x 2y 2 0 2 将两圆的直角坐标方程相减 得经过两圆交点的直线方程为 x y 1 化为极坐标方程为 cos sin 1 即 sin 4 22 直角坐标化为极坐标的关注点 1 根据终边相同的角的意义 角 的表示方法具有周期性 故点 M 的极坐标 的 形式不唯一 即一个点的极坐标有无穷多个 当限定 0 0 2 时 除极点外 点 M 的极坐标是唯一的 2 当把点的直角坐标化为极坐标时 求极角 应注意判断点 M 所在的象限 即角 的 终边的位置 以便正确地求出角 0 2 的值 考点二 曲线的参数方程 1 已知曲线 C1 Error t 为参数 曲线 C2 Error 为参数 1 化 C1 C 2 的方程为普通方程 并说明它们分别表示什么曲线 2 若 C1 上的点 P 对应的参数为 t Q 为 C2 上的动点 求 PQ 中点 M 到直线 2 C3 Error t 为参数 的距离的最小值 解 1 曲线 C1 x 4 2 y 3 2 1 曲线 C2 1 x264 y29 曲线 C1 是以 4 3 为圆心 1 为半径的圆 曲线 C2 是以坐标原点为中心 焦点在 x 轴上 长半轴长是 8 短半轴长是 3 的椭圆 2 当 t 时 P 4 4 Q 8cos 3sin 故 M 曲线 C3 为直 2 2 4cos 2 32sin 线 x 2y 7 0 M 到 C3 的距离 d 4cos 3sin 13 从而当 cos sin 时 55 45 35 d 取最小值 855 2 已知曲线 C 1 直线 l Error t 为参数 x24 y29 1 写出曲线 C 的参数方程 直线 l 的普通方程 2 过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线 交 l 于点 A 求 PA 的最大值与最 小值 解 1 曲线 C 的参数方程为Error 为参数 直线 l 的普通方程为 2x y 6 0 2 曲线 C 上任意一点 P 2cos 3sin 到 l 的距离为 d 4cos 3sin 6 55 则 PA 5sin 6 dsin 30 255 其中 为锐角 且 tan 当 sin 1 时 PA 取得最大值 最大值为 43 2255 当 sin 1 时 PA 取得最小值 最小值为 255 参数方程化为普通方程 主要用 消元法 消参 常用代入法 加减消元法 利用三 角恒等式消元等 在参数方程化为普通方程时 要注意保持同解变形 考点三 极坐标方程 参数方程的综合应用 2015 高考全国卷 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1 Error t 为参数 t 0 其中 0 在以 O 为极点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线 C2 2sin C 3 2 cos 3 1 求 C2 与 C3 交点的直角坐标 2 若 C1 与 C2 相交于点 A C 1 与 C3 相交于点 B 求 AB 的最大值 解 1 曲线 C2 的直角坐标方程为 x2 y 2 2y 0 曲线 C3 的直角坐标方程为 x2 y 2 2 x 0 3 联立Error 解得Error 或Error 所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为 0 0 和 32 32 2 曲线 C1 的极坐标方程为 R 0 其中 0 0 又 0 且 t1 0 t 2 0 0 2 PM PN t 1 t 2 t1 t 2 4 sin cos 4 sin 2 4 由 得 0 2 4 4 3 4 0 为极坐标方程 2 化曲线的极坐标方程 8sin 为直角坐标方程 解 1 将 x cos y sin 代入 x2 y 2 r 2 得 2cos2 2sin2 r 2 2 cos2 sin 2 r 2 r 所以 以极点为圆心 半径为 r 的圆的极坐标方程为 r 0 4 直线 l 与圆 C 相离 4 5 3 2 9 32 5 倾斜角为 的直线 l 过点 P 8 2 直线 l 和曲线 C Error 为参数 交于不同的两 点 M1 M2 1 将曲线 C 的参数方程化为普通方程 并写出直线 l 的参数方程 2 求 PM 1 PM2 的取值范围 解 1 曲线 C 的普通方程为 1 直线 l 的参数方程为Error t 为参数 x232 y24 2 将 l 的参数方程代入曲线 C 的方程得 8 t cos 2 8 2 tsin 2 32 整理得 8sin 2 cos 2 t2 16cos 32sin t 64 0 由 16cos 32sin 2 4 64 8sin2 cos 2 0 得 cos sin 故 0 4 PM 1 PM2 t1t2 641 7sin2 1289 64 B 组 高考题型专练 1 2015 高考广东卷改编 已知直线 l 的极坐标方程为 2 sin 点 A 的极坐标 4 2 为 A 求点 A 到直线 l 的距离 22 7 4 解 由 2 sin 得 2 所以 y x 1 故直线 l 的直角坐 4 2 22sin 22cos 2 标方程为 x y 1 0 而点 A 对应的直角坐标为 A 2 2 所以点 A 2 2 到 22 7 4 直线 l x y 1 0 的距离为 2 2 1 2 522 2 2015 高考全国卷 在直角坐标系 xOy 中 直线 C1 x 2 圆 C2 x 1 2 y 2 2 1 以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1 求 C1 C 2 的极坐标方程 2 若直线 C3 的极坐标方程为 R 设 C2 与 C3 的交点为 M N 求 C 2MN 的 4 面积 解 1 因为 x cos y sin 所以 C1 的极坐标方程为 cos 2 C2 的极坐标方程为 2 2 cos 4 sin 4 0 2 将 代入 2 2 cos 4 sin 4 0 4 得 2 3 4 0 2 解得 1 2 2 2 2 故 1 2 即 MN 2 2 由于 C2 的半径为 1 所以 C 2MN 的面积为 12 3 2015 高考湖南卷 已知直线 l Error t 为参数 以坐标原点为极点 x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为 2cos 1 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程 2 设点 M 的直角坐标为 5 直线 l 与曲线 C 的交点为 A B 求 MA MB 的值 3 解 1 2cos 等价于 2 2 cos 将 2 x 2 y 2 cos x 代入 即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y 2 2x 0 2 将Error 代入 得 t2 5 t 18 0 设这个方程的两个实根分别为 t1 t 2 则由3 参数 t 的几何意义知 MA MB t 1t2 18 4 2015 高考陕西卷 在直角坐标系 xOy 中 直线 l 的参数方程为Error t 为参数 以 原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 C 的极坐标方程为 2 sin 3 1 写出 C 的直角坐标方程 2 P 为直线 l 上一动点 当 P 到圆心 C 的距离最小时 求 P 的直角坐标 解 1 由 2 sin 得 2 2 sin 3 3 从而有 x2 y 2 2 y 所以 x2 y 2 3 3 3 2 设 P 又 C 0 3 12t 32t 3 则 PC 3 12t 2 32t 3 2 t2 12 故当 t 0 时 PC 取得最小值 此时 P 点的直角坐标为 3 0