导数在经济学中的应用

1 引言 近年来 随着市场经济的不断发展 经济的不断繁荣 经济活动中的实际 问题也愈加复杂 简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求 因此 有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中 对其进行定量分析 这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位 而导数 作为高等数学中的重要概念 同样也是解决经济问题的一个有力工具 在高等 数学中 导数通常被用于判断函数的单调性 求函数的最值 极值等 在实际 经济问题中 导数可作为经济分析的工具 广泛地应用到经济研究和企业管理 之中 促进经济理论朝着更加精确的方向发展 本文从边际分析 弹性分析 优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用 1 导数的概念 早在法国数学家费马探究极值问题时就将导数的思想引入了 但导数思想 是在英国数学家牛顿研究力学和德国数学家莱布尼茨研究几何学的过程中正式 建立起来的 设函数 在点 的某领域内有定义 若极限 存在 xfy 0 00limxfx 则称 在点 处可导 并称该极限为函数 在 处的导数 记作 1 f0 f0 f 于是 导数的定义从数量关系上看 所反映的是函数的自变量的变化对相 应的函数值变化快慢影响的程度 即变化率 也被称为瞬时变化率 对数学表 达式而言 所表达的是函数增量和自变量增量之比的极限问题 2 2 经济分析中常用的函数 由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题 所以 我 们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解 以便更好的理解和使 用它们 经济分析中常用的函数主要有以下四类 2 1需求函数 需求函数指在特定的时间内 各种可能的价格条件下 消费者愿意并且能 够购买该商品的数量 出处 为了使问题简单化 我们一般假设需求函数 2 的诸多自变量中除价格外其他均为常量 则函数表示为 其中 PfQd 为商品的价格 为商品的需求量 这个函数表示一种商品的需求量与价PQd 格之间存在一一对应的关系 并且通过观察可以知道商品 除某些抵挡商品 某些炫耀性商品 某些投资性商品除外 的需求量与价格成反方向变动关系 即商品本身价格上升 需求量随之减少 反之亦然 例 1 服装店销售某种衬衫的件数 与价格 是线性关系 当价格为 100QP 元一件时 可销售 120 件 当价格为 80 元时 可销售 200 件 求需求函数 解 设衬衫的件数与价格的函数关系为 ba 则 ba 102ba 802 解得 4 5 所以需求函数为 PQ 2 2供给函数 一种商品的供给函数 是指单个生产者在一定时期内在各种可能的价格下 愿意且能够提供出售的该种商品数量 3 我们通常通过将除价格外的其他因素 看成常量以达到化简问题的目的 所以 供给函数可以用 表示 其中 PfQs 为商品的价格 为商品的供给量 可以看出 商品 除单个劳动力商品 PQS 古董商品 某些投资性商品外 的价格与供给量之间成同方向变动的关系 例 2 已知大蒜的收购价为每千克 4 元 每星期能收购 2000 千克 若收购 价每千克提高 0 5 元 每星期可收购 2500 千克 求大蒜的供给函数 解 设大蒜的线性供给函数为 baPQ 则 ba 4205 420 得 1 所以供给函数为为 201 2 3成本函数 产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用 度支出 成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式 产品 3 成本可以分为固定成本和变动成本两部分 固定成本和可变成本是相对于某一 个特定的过程而言的 并不是唯一确定的 固定成本 是指在一定的时间内不F 会随着产量的变动而多支出费用 例如设备 厂房设施等的固定费用和其他管 理费用等 可变成本 是指当产品产量变动时随之变动的支出费用 如电力燃V 烧材料 原材料支出 税收等 一般来说 以货币形式计值得 总 成本 是C 产量 的函数 用 表示 称该公式为 总 成本函数 当产Q QC 0 量 时 对应的成本函数值 就是成品的固定成本 在短期生产活动过程0 当中 固定成本是不变的 所以可变成本被看成是关于产量 的函数 即 总 Q 成本函数表示为 在长期生产过程中支出都是可变的 此时 QVFC 0 F 例 3 假设某厂商的短期成本函数为 分别指出 41623 C 该短期成本函数中的可变成本部分与固定成本部分 解 当 时 0 Q 4C 所以固定成本为 44 可变成本部分为 QC16423 2 4收入函数 在贸易活动过程当中 一定时期内销售该商品后所获得的收入总额即为该 时期内的总收入 记为 而售出某商品所能获得的收入的多少则取决于该商R 品的销售数量和价格 所以 收入函数可以表示为 其中 表示商品得PQR 销售价格 表示商品销售总量 Q 例 4 由于橙子的批发价格过低 农户决定将橙子全部运往市场自行销售 一个星期内 以 6 元一斤的价格售出了全部的橙子 共计 3000 斤 求该农户这 星期的收入为多少 解 元 1803 所以该农户这星期收入 18000 元 2 5利润函数 4 利润函数是指生产问题中的价格函数 也就是是生产中所获得的纯收入的 数额 为收入总额与成本总额之间的差值 常用 来表示 L QCRL 例 5 某企业生产销售 个单位的产品 总收入函数为 总成24xR 本函数 求利润函数 最大产出水平与最大利润 2 x 解 利润函数 523524 xxCRL 当 时有最大值 解题过程要详细 须进一步完善 4 x3 所以利润函数为 最大产出水平为 4 最大利润为 43 2 x 3 导数在经济学中的应用 随着市场经济的不断发展 应用数学知识定量分析经济及管理领域中的问 题已成为经济学的一个重要部分 用数学知识来解答经济活动中的一些现象对很 多经营决策起到了非常重要的作用 导数是微积分中的一个重要概念 它是函 数关于自变量的变化率 4 在经济学中 也存在变化率问题 如 边际问题 弹性问题和优化问题 3 1边际分析 边际概念是经济学中的一个重要概念 通常指经济变量的变化率 它的提出 不仅为人们作出决策提供了一个有用的工具 而且使得数学工具能应用于经济 学 利用导数研究经济变量的边际变化的方法 即边际分析法 5 早在 19 世 纪 70 年代就出现边际分析的身影 边际分析主要用于研究自变量的单位增加量 对因变量产生的影响 偏重于自变量的最后一个单位增加量与因变量之间的数 量关系的考察 在经济学中 把函数 的导数 称为 的边际函数 xf xf f 在点 的值 称为 在 处的边际值 x0 f0 xf0 3 1 1边际成本 边际成本的定义是指每增加一单位的产量随即产生的总成本增加量即称为 边际成本 假设生产某种产品 单位时所需要的总成本函数 可导 则其边q qC 5 际成本定义为 边际成本是总成本函数 关 qCMCq 0lim qC 于产量 的导数 其经济含义是 当产量为 时 再生产一个单位 即 q 1 所增加的总成本 因此可以近似的记为 6 q qq 1 例 6 若厂商要生产某种商品 生产件数为 件时的总成本函数为Q 百元 求产量为 20 件时的边际成本 QC204 5 解 边际成本函数为 C08 百元 件 160 元 件 6 128 它的经济意义是 在产量 为 20 时的基础上再生产一个单位商品 总成本 增加 160 元 3 1 2边际收入 边际收入与边际成本类似 边际收入定义为 即边际收入是总收入函 qR 数 关于销售量 的导数 其经济含义是 当销售量为 时 再销售一个单 qRk 位 即 所增加的总收入 6 1 qR 例 7 某商店新进了一种商品 当该商品的销售量为 件时收益函数为Q 元 求销售 400 件时的边际收益为多少 4802QR 解 边际收入函数为 元 件 280 QR 元 件 6208 它的经济意义是 当该商品的销售量 为 400 时 销售量若再增加一个单 位 则收益可增加 600 元 3 1 3边际利润 边际利润指的是销售该产品所获得的收入总额与相应的可变成本之间相差 的数额 能够反映出当该产品的销售量增加或降低时企业增加或减少的收益额 与边际成本类似 边际利润 定义为总利润函数 关于销售量 的导数 MR qLq 6 其经济含义是 当销售量为 时 再销售一个单位 即 所增加的总利润q1 q 7 qL 例 8 某工厂将要生产一种商品 该商品的产量 与总利润 之间的函Q L 数关系为 求产量为 20 时的边际利润 Q250 解 边际利润函数为 L10 元 212 L 它的经济意义是 在每天生产 20 个单位的基础上 再多生产 1 个单位 总 利润将增加 50 元 3 2弹性分析 弹性问题是供求原理的深化 弹性概念描述一个经济变量对另一个经济变 量变化时 所作出反映的强弱程度 对于任何存在函数关系的经济变量之间都 可以建立二者之间的弹性关系或是进行弹性分析 假设 与 存在函数关系yx 函数 在点 处可导 函数的相对该变量 与 自变量的相 xfy xfy 对改变量之比 当 时的极限被称为函数 在点 处的相对变化率 0 xfy 也称为弹性函数 记为 8 xfEx 3 2 1需求价格弹性 需求的价格弹性通常简称为需求弹性 需求弹性是用来表示在一定时期内 一种商品的需求量变动对于该商品的价格变动的反应程度 表示为 需求的价 格弹性系数 需求量变动率 价格变动率 为方便起见 一般取绝对值 需求价格的弧弹性表示某种商品需求曲线上两点之间的需求量的变动对于 价格变动的反应程度 简单来说 它表示需求曲线上两点之间的弹性 假定需 求函数为 表示需求量的变动量 表示价格的变动量 以 表 PfQ P ed 7 示需求的价格弹性系数 则需求的价格弧弹性的公式为 9 QPed 例 9 厂商生产某种产品 假设定价为 5 元 件时市场需求量为 400 件 定 价为 4 元 件时市场需求量为 500 件 求该产品的价格弧弹性 1 4058121 QPPed 2 2212 d 由计算可知 两种计算方式所得的结果不同 这是由于两种计算所代表不 同有理量 涨价与降价 所以产生的需求价格弹性系数就不同 为了避免上述算法带来的结果不同 一般采用中点公式来计算 公式表示为 21 2QPed 当需求曲线上两点之间的变化量趋于无穷小时 需求的价格弹性要用点弹 性来表示 也就是说 她表示需求曲线上某一点上的需求量变动对于价格变动 的反应程度 则需求的价格点弹性公式可表示为 Q pdPPde 0lim 在现实生活中常常有这样的一些情况出现 有的商店将商品的价格提高了之 后所获得的收入比提价前更多了 而有的商店将提高价格之后所获得的收入不 但没有增加反而还减少了 这可用商品的需求价格弹性大小和销售收入两者之 间的相互关系来进行解释 例 10 假设某商店新到一种商品 该商品的需求函数为 21PfQ 1 确定该商品的需求弹性函数 2 当 时需求弹性是多少 3 当6 P 时 如果价格上涨 那么销售该商品总收益是增加还是减少 6 P 1 8 解 1 需求弹性函数为 Ped 2412 2 31624 ed 3 因为 所以可以知道该商品的收益函数是递增的 即价格上 涨 销售该商品所获得总收益将增加 1 3 2 2供给价格弹性 供给的价格弹性简称为供给弹性 供给弹性是表示在一定时期内一种商品 的供应量变动对于该商品的价格变动的反应程度 是商品的供应量变动率与价 格变动率之比 假设供给函数为 以 表示供给的价格弹性系数 则 PfQ es 供给的价格弧弹性的公式为 供给的价格点弹性的公式为 s QPdes 供给价格弹性的情况与需求价格弹性情况类似 在此就不再赘述了 3 2 3理论运用 1 容易腐坏的商品的售卖该如何定价才合理 答 新鲜容易腐坏的商品的需求价格弹性比较大 应该采取低差率的定价策 略能加快售卖 2 OPEC 组织为何要对石油实施限产策略 答 石油生产大国的限产行为在国际市场中经常能看到 第一 石油属于稀 缺性资源 它们的供给弹性往往趋于零 价格放开时 增减价格无法刺激供给 量的大幅度增减 第二 为了抵御通货膨胀的损失 OPEC 组织常常联手限产以 形成供不应求的势态 达到高价销售的目的 维护生产国的利益 第三 在长 时期内 作为生产方的非 OPEC 组织会为了能增加产量而改进石油生产与提炼技 术 作为需求方的消费者会寻找替代产品 OPEC 组织限产引发提价引发收益增 加的目标会大打折扣 9 3 中国政府为什么要对农产品实施价格支持 答 第一 几乎所有的农产品都是生活必需品 需求弹性往往都小于 1 价 格的涨跌对需求的影响不大 第二 农业技术进步造成农产品的产量与市场供 给量大幅度的增加 供给价格反而下降 第三 在中国 农场品一般是个体组 织生产的 农产品市场几乎是完全竞争市场 单个农户无法决定市场价格 只 能被动接受 政府如果不出面保护 容易形成 谷贱伤农 的现象 农民就会 离地而去 3 3优化分析 从古至今 企业的追求利润最大化的目标重来不曾动摇 一个企业要想在 这个以竞争性生产为原则的经济大环境中生存和发展只有以利润最大化为目标 才行 否则最终逃不过因亏损过重而被淘汰的结果 因此 每一个参与竞争生 产的企业无一不以利润最大化为基本准则 那么 企业如何才能实现利润最大 化的目标呢 优化分析不仅能够帮助企业管理者寻求企业收益的最大化 并尽 可能降低生产的成本支出和管理费用 对企业管理者来说意义十分深远 优化 分析使用导数和线性规划等数学分析工具来探求如何才能使经济活动效果达到 最好或者代价最小 为企业管理者的决策提供精确的依据 经济学中的优化问 题有很多 如成本最小化 利润最大化 贮存最优化 资源配置最佳化以及经 济效率最大化等等 企业的利润最大化原则就是边际收益等于边际成本 如果边际收益大于边 际成本 即每增加一单位产量所增加的收益大于所增加的成本 企业会增加产 量以增加利润 如果边际收益小于边际成本 即每增加一单位产量所增加的收 益小于所增加的成本 企业会减少产量以减少亏损 0因此 最大利润一定处于 边际收益与边际成本相等的点上 即 MRC 边际收益与边际成本相等的利润最大化原则也可以用数学来证明 设 为 利润 为厂商产量 为厂商总收益 为厂商总成本 即 QTRT 利润最大化的必要条件是 对 的一阶导数为零 即 CTR Q 利润最大化的充分条件还要求 的二阶导dQCdd 0 10 数为负数 它表示 利润最大化要求边际成本函数的斜率要大于边际收益函数 的斜率 即 其中 是边际QddQTCRTCRd 222220 dTR2 收益函数的斜率 是边际成本的斜率 即可得出利润最大化的原则是边2 际收益等于边际成本 例 11 已知某厂商商品的需求函数 总成本函数为 PQ5067 求 1 利润最大时的产量和价格是多少 2 最大利TC05 12 润是多少 解 1 由 可以得出PQ067 02 135 QPTR 1352 35 则 dM04 1 由 TC25 2 得出 Qd0 令 得 求出MR 05 4 135 150 Q 将 代入 得0QP2P 因此利润最大化时产量的价格分别是 1500 和 105 2 最大利润 将 的值代入上式得TCTR 8950 4 结语 综上所述 对企业经营者来说 对经济环节进行定量分析是十分有必要的 将导数作为分析工具 可以给企业经营者提供精确的数值和新的思路和视角 通过对实际问题进行边际分析 弹性分析和优化分析 衡量出如何确定最优价 11 格 从而获得最大利润 为企业经营者提供精确的数值信息 帮助其作出科学 有效的决策 以提高企业的科学管理水平 参考文献 1 华东师范大学数学系编 数学分析 第四版 高等教育出版社 1998 M 2 周晓晖 浅论导数在经济学中的应用 科技信息 2008 09 268 269 J 3 高鸿业 经济学基础 中国人民大学出版社 M 4 陈昆 导数在经济学中 边际 和 弹性 方面的应用 考试周刊 J 2009 18 38 39 5 丁瑶 格式不一致 对照样本修改 导数的经济意义及教学探讨 重庆电 子工程职业学院学报 2010 19 4 148 150 6 臧忠卿 导数在经济分析中的应用 商场现代化 2006 30 42 J 7 唐玉霞 论导数在经济分析中的应用 科教文汇 2009 19 220 8 刘云 王阳 经济分析中导数的应用探讨 科技创新导报 2008 04 96 J 97 9 高春涛 浅议需求价格弹性 经济研究导刊 2010 20 08 09 J 10 刘荣花 杨春艳 孙艳伟 导数理论在经济分析中的应用 高师理科学刊 J 2010 30 4 34 36 12