二进制与十进制数间的转换、二进制数的四则运算

1 一 二进制数与十进制数间的转换方法 1 正整数的十进制转换二进制 要点 除二取余 倒序排列 解释 将一个十进制数除以二 得到的商再除以二 依此类推直到商等于一或零时为止 倒 取将除得的余数 即换算为二进制数的结果 例如把 52 换算成二进制数 计算结果如图 52 除以 2 得到的余数依次为 0 0 1 0 1 1 倒序排列 所以 52 对应的二进制数就是 110100 由于计算机内部表示数的字节单位都是定长的 以 2 的幂次展开 或者 8 位 或者 16 位 或者 32 位 于是 一个二进制数用计算机表示时 位数不足 2 的幂次时 高位上要补足若干个 0 本文 都以 8 位为例 那么 52 10 00110100 2 2 负整数转换为二进制 要点 取反加一 解释 将该负整数对应的正整数先转换成二进制 然后对其 取补 再对取补后的结果加 1 即可 例如要把 52 换算成二进制 1 先取得 52 的二进制 00110100 2 对所得到的二进制数取反 11001011 3 将取反后的数值加一即可 11001100 即 52 10 11001100 2 3 小数转换为二进制 要点 乘二取整 正序排列 解释 对被转换的小数乘以 2 取其整数部分 0 或 1 作为二进制小数部分 取其小数部分 再乘以 2 又取其整数部分作为二进制小数部分 然后取小数部分 再乘以 2 直到小数部 分为 0 或者已经去到了足够位数 每次取的整数部分 按先后次序排列 就构成了二进制小 数的序列 3 例如把 0 2 转换为二进制 转换过程如图 0 2 乘以 2 取整后小数部分再乘以 2 运算 4 次后得到的整数部分依次为 0 0 1 1 结 果又变成了 0 2 若果 0 2 再乘以 2 后会循环刚开始的 4 次运算 所以 0 2 转换二进制后将是 0011 的循环 即 0 2 10 0 0011 0011 0011 2 循环的书写方法为在循环序列的第一位和最后一位分别加一个点标注 4 二进制转换为十进制 整数二进制用数值乘以 2 的幂次依次相加 小数二进制用数值乘以 2 的负幂次然后依次相加 比如将二进制 110 转换为十进制 首先补齐位数 00000110 首位为 0 则为正整数 那么将二进制中的三位数分别于下边对 应的值相乘后相加得到的值为换算为十进制的结果 如果二进制数补足位数之后首位为 1 那么其对应的整数为负 那么需要先取反然后再换算 比如 11111001 首位为 1 那么需要先对其取反 即 00000110 00000110 对应的十进制为 6 因此 11111001 对应的十进制即为 6 换算公式可表示为 4 11111001 00000110 6 如果将二进制 0 110 转换为十进制 将二进制中的三位数分别于下边对应的值相乘后相加得到的值为换算为十进制的结果 二 二进制的四则运算 二进制四则运算和十进制四则运算原理相同 所不同的是十进制有十个数码 满十进一 二进制只有两个数码 0 和 1 满二进一 二进制运算口诀则更为 简单 1 加法 二进制加法 在同一数位上只有四种情况 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 10 只要按从低位到高位依次运算 满二进一 就能很容易地完成加法运算 例 1 二进制加法 1 10110 1101 2 1110 101011 解 加法算式和十进制加法一样 把右边第一位对齐 依次相应数位对齐 每个数位 满二向上一位进一 5 10110 1101 100011 1110 101011 111001 通过计算不难验证 二进制加法也满足 交换律 如 101 1101 1101 101 10010 多个数相加 先把前两个数相加 再把所得结果依次与下 一个加数相加 例 2 二进制加法 1 101 1101 1110 2 101 1101 1110 解 1 101 1101 1110 2 101 1101 1110 10010 1110 101 11011 100000 100000 从例 2 的计算结果可以看出二进制加法也满足 结合律 巩固练习 二进制加法 1 1001 11 2 1001 101101 3 1101 110 110 4 10101 110 1101 2 减法 二进制减法也和十进制减法类似 先把数位对齐 同一数位不够减时 从高一位 借位 借一当二 例 3 二进制减法 1 11010 11110 2 10001 1011 解 1 110101 11110 10111 2 10001 1011 110 6 例 4 二进制加减混合运算 1 110101 1101 11111 2 101101 11011 11011 解 1 110101 1101 11111 1000010 11111 100011 2 101101 11011 11011 10011 11011 101101 巩固练习 二进制运算 1 11010 1101 2 11001 111 3 110101 1111 101 4 1001 1110 10011 3 乘法 二进制只有两个数码 0 和 1 乘法口诀只有以下几条 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 概括成口诀 零零得零 一零得零 一一得一 二进制乘法算式和十进制写法也一样 例 5 二进制乘法 1 1001 101 2 11001 1010 7 解 1 1011 101 110111 2 11001 1010 11111010 例 6 二进制运算 1 101 1101 2 1101 101 3 101 11 1010 4 101 1010 11 1010 解 1 2 101 1101 1000001 1101 101 1000001 3 101 11 1010 1010000 4 8 101 1010 11 1010 1010000 从例 6 的计算结果可以看出 二进制乘法满足 交换律 乘法对加法也满足 分配律 对这一结论 大家还可以进行多次验证 巩固练习 二进制运算 1 1011 1101 2 11101 1001 3 10101 111 101 4 11001 1111 101 4 除法 除法是乘法的逆运算 二进制除法和十进制除法也一样 而且更简单 每一位商 数不是 0 就是 1 例 7 二进制除法 1 10100010 1001 2 10010011 111 解 1 2 10100010 1001 10010 10010011 111 10101 例 8 求二进制除法的商数和余数 111010 101 1 解 111010 101 所得商数是 1011 余数是 11 巩固练习 二进制除法 1 1101110 101 2 1010110001 1101 3 求商数和余数 1101001 1001 在二进制除法中 被除数 除数 商数和余数的关系和十进制除法的关系是相同 的 被除数 除数 商数 余数 如例 8 111010 101 1011 11