二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)

优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 二次函数知识点 考点 典型试题集锦 带详细解析答案 一 中考要求 1 经历探索 分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程 进一步体验如何用数学的 方法描述变量之间的数量关系 2 能用表格 表达式 图象表示变量之间的二次函数关系 发展有条理的思考和语言表达 能力 能根据具体问题 选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系 3 会作二次函数的图象 并能根据图象对二次函数的性质进行分析 逐步积累研究函数性 质的经验 4 能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向 对称轴和顶点坐标 5 理解一元二次方程与二次函数的关系 并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似 根 6 能利用二次函数解决实际问题 能对变量的变化趋势进行预测 二 中考卷研究 一 中考对知识点的考查 2009 2010 年部分省市课标中考涉及的知识点如下表 序 号 所考知识点 比率 1 二次函数的图象和性质 2 5 3 2 二次函数的图象与系数 的关系 6 3 二次函数解析式的求法 2 5 10 5 4 二次函数解决实际问题 8 10 二 中考热点 二次函数知识是每年中考的重点知识 是每卷必考的主要内容 本章主要考查二次函数 的概念 图象 性质及应用 这些知识是考查学生综合能力 解决实际问题的能力 因此 函数的实际应用是中考的热点 和几何 方程所组成的综合题是中考的热点问题 三 中考命题趋势及复习对策 二次函数是数学中最重要的内容之一 题量约占全部试题的 10 15 分值约占总 分的 10 15 题型既有低档的填空题和选择题 又有中档的解答题 更有大量的综合 题 近几年中考试卷中还出现了设计新颖 贴近生活 反映时代特征的阅读理解题 开放 探索题 函数应用题 这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法 全面地考查学 生的计算能力 逻辑思维能力 空间想象能力和创造能力 针对中考命题趋势 在复习时应首先理解二次函数的概念 掌握其性质和图象 还应 注重其应用以及二次函数与几何图形的联系 此外对各种函数的综合应用还应多加练习 I 考点突破 考点 1 二次函数的图象和性质 一 考点讲解 1 二次函数的定义 形如 a 0 a b c 为常数 的函数为二次函数 xy 2 2 二次函数的图象及性质 二次函数 y ax2 a 0 的图象是一条抛物线 其顶点是原点 对称轴是 y 轴 当 a 0 时 抛物线开口向上 顶点是最低点 当 a 0 时 抛物线开口向下 顶点是最高点 a 越小 抛物线开口越大 y a x h 2 k 的对称轴是 x h 顶点坐标是 h k 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 二次函数 的图象是一条抛物线 顶点为 对称轴 x cbxay 2 2ba 24c 当 a 0 时 抛物线开口向上 图象有最低点 且 x y 随 x 的增大而增大 2b x y 随 x 的增大而减小 当 a 0 时 抛物线开口向下 图象有最高点 且 x y 随 x 的增大而减小 x y 随 x 的增大而增大 a2b 注意 分析二次函数增减性时 一定要以对称轴为分界线 首先要看所要分析的点是否 是在对称轴同侧还是异侧 然后再根据具体情况分析其大小情况 解题小诀窍 二次函数上两点坐标为 即两点纵坐标相等 则其对yx 1 2 称轴为直线 21x 当 a 0 时 当 x 时 函数有最小值 当 a 0 时 当 x 时 函数有ba 24cb 2ba 最大值 24c 3 图象的平移 将二次函数 y ax2 a 0 的图象进行平移 可得到 y ax2 c y a x h 2 y a x h 2 k 的图象 将 y ax2 的图象向上 c 0 或向下 c 0 平移 c 个单位 即可得到 y ax2 c 的图 象 其顶点是 0 c 形状 对称轴 开口方向与抛物线 y ax2 相同 将 y ax2 的图象向左 h 0 或向右 h 0 平移 h 个单位 即可得到 y a x h 2 的图 象 其顶点是 h 0 对称轴是直线 x h 形状 开口方向与抛物线 y ax2 相同 将 y ax2 的图象向左 h0 或向下 k 0 平移 k 个单位 即可得到 y a x h 2 k 的图象 其顶点是 h k 对称轴是直线 x h 形 状 开口方向与抛物线 y ax2 相同 注意 二次函数 y ax2 与 y ax 2 的图像关于 x 轴对称 平移的简记口诀是 上加下减 左加右减 一 经典考题剖析 考题 抛物线 y 4 x 2 2 5 的对称轴是 考题 2 函数 y x2 4 的图象与 y 轴的交点坐标是 A 2 0 B 2 0 C 0 4 D 0 4 考题 在平面直角坐标系内 如果将抛物线 向右平移 2 个单位 向下平移 32xy 个单位 平移后二次函数的关系式是 3 2 xy 2xy 3 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 答案 考题 2009 贵阳 已知抛物线 的部分图象 如图 1 2 1 图象再次与21 4 3yx x 轴相交时的坐标是 A 5 0 B 6 0 C 7 0 D 8 0 解 C 点拨 由 可知其对称轴为 x 4 而图象与 x 轴已交于 1 0 则与 x21 4 3yx 轴的另一交点为 7 0 参考解题小诀窍 考题 深圳 二次函数 cbxa 2 图像如图所示 若点 是它的图像上两点 则 与 的大1y2y1y2 小关系是 1y21y2 不能确定 答案 点 均在对称轴右侧 三 针对性训练 分钟 答案 1 已知直线 y x 与二次函数 y ax2 2x 1 的图象的一个交点 M 的横标为 1 则 a 的值 为 A 2 B 1 C 3 D 4 2 已知反比例函数 y 的图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大 则二次函数 y 2kx2 kx x k 2 的图象大致为图 1 2 3 中的 y O 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 4 抛物线 y x2 x 5 的顶点坐标是 A 2 1 B 2 1 C 2 l D 2 1 二次函数 y 2 x 3 2 5 的图象的开口方向 对称轴和顶点坐标分别为 A 开口向下 对称轴 x 3 顶点坐标为 3 5 B 开口向下 对称轴 x 3 顶点坐标为 3 5 C 开口向上 对称轴 x 3 顶点坐标为 3 5 D 开口向上 对称轴 x 3 顶点 3 5 二次函数 的图象上有两点 3 8 和 5 8 则此拋物线的对称cby 2 轴是 A B 4x C D 5 1 x 7 在平面直角坐标系内 如果将抛物线 向右平移 3 个单位 向下平移 4 个单位 23xy 平移后二次函数的关系式是 4 3 2 xy 2 xy 43 8 已知 点 A 1 B C 5 在函数 的图像上 1y2y3y2x 则 的大小关系是 y23 A B 11y32 C D 3y212 9 已知二次函数 a 0 与一次函数 y kx m k 0 的图象相交于点cbxa 2 A 2 4 B 8 2 如图 1 2 7 所示 能使 y1 y 2 成立的 x 取值范围是 10 襄樊 抛物线 的图像如图所示 则抛物线的解析式为 cbxy 2 11 若二次函数 的顶点坐标是 2 1 则 b c O 3 x 1 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 12 直线 y x 2 与抛物线 y x2 2x 的交点坐标为 13 读材料 当抛物线的解析式中含有字母系数时 随着系数中的字母取值的不同 抛物线 的顶点坐标也将发生变化 例如 由抛物线 有 y 所以抛物线的顶点坐221yxm 2 1xm 标为 m 2m 1 即 当 m 的值变化时 x y 的值随之变化 因而 y 值也随 x 值的变化而变化 将 代人 得 y 2x 1l 可见 不论 m 取任何实数 抛物线顶点的纵坐标 y 和横坐标 x 都 满足 y 2x 1 回答问题 1 在上述过程中 由 到 所用的数学方法是 其中运用了 公式 由 得到 所用的数学方法是 2 根据阅读材料提供的方法 确定抛物线 顶点的纵坐标与横坐标2231yxm x 之间的关系式 14 抛物线经过第一 三 四象限 则抛物线的顶点必在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 15 已知 M N 两点关于 y 轴对称 且点 M 在双曲线 y 上 点 N 在直线上 设点 M 12x 的坐标为 a b 则抛物线 y abx 2 a b x 的顶点坐标为 16 当 b 0 时 一次函数 y ax b 和二次函数 y ax2 bx c 在同一坐标系中的图象大致是 图 1 2 9 中的 考点 2 二次函数的图象与系数的关系 一 考点讲解 1 a 的符号 a 的符号由抛物线的开口方向决定 抛物线开口向上 则 a 0 抛物线开口 向下 则 a 0 2 b 的符号由对称轴决定 若对称轴是 y 轴 则 b 0 若抛物线的顶点在 y 轴左侧 顶点 的横坐标 0 即 0 则 a b 为同号 若抛物线的顶点在 y 轴右侧 顶点的横2b 坐标 0 即 0 则 a b 异号 间 左同右异 a 3 c 的符号 c 的符号由抛物线与 y 轴的交点位置确定 若抛物线交 y 轴于正半 则 c 0 抛物线交 y 轴于负半轴 则 c 0 若抛物线过原点 则 c 0 4 的符号 的符号由抛物线与 x 轴的交点个数决定 若抛物线与 x 轴只有一个交点 则 0 有两个交点 则 0 没有交点 则 0 5 a b c 与 a b c 的符号 a b c 是抛物线 a 0 上的点 1 a b c 的纵cbxay 2 坐标 a b c 是抛物线 a 0 上的点 1 a b c 的纵坐标 根据cbxay 2 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 点的位置 可确定它们的符号 二 经典考题剖析 考题 1 2009 潍坊 已知二次函数 的图象如图 l 2 2 所示 则cbxay 2 a b c 满足 A a 0 b 0 c 0 B a 0 b 0 c 0 C a 0 b 0 c 0 D a 0 b 0 c 0 解 A 点拨 由抛物线开口向下可知 a 0 与 y 轴交于正半轴可知 c 0 抛物线的对 称轴在 y 轴左侧 可知 0 则 b 0 故选 A 2 考题 2 2009 天津 已知二次函数 a 0 且 a 0 a b c 0 则一定cx 2 有 A b 2 4ac 0 B b 2 4ac 0 C b 2 4ac 0 D b 2 4ac 0 解 A 点拨 a 0 抛物线开口向下 经过 1 a b c 点 因为cbxy 2 a b c 0 所以 1 a b c 在第二象限 所以抛物线与 x 轴有两个交点 所以 b2 4ac 0 故选 A 考题 2009 重庆 二次函数 的图象如图 1 2 10 则cxay2 点 b 在 ca A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解 点拨 抛物线开口向下 所以 a 0 顶点在 y 轴右侧 a b 为异号 所以 b 0 抛物线交 y 轴于正半轴 所以 c 0 所以 0 所以 M 在第四象限 ca 三 针对性训练 60 分钟 1 已知函数 的图象如图 1 2 11 所示 给出下列关于系数 a b c 的不等bxa 2 式 a 0 b 0 c 0 2a b 0 a b c 0 其中正确的不等式的 序号为 2 已知抛物线 与 x 轴交点的横坐标为 1 则 a c y2 3 抛物线 中 已知 a b c l 2 3 最小值为 6 则此抛物线的解析式为cbxay 2 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 4 已知二次函数的图象开口向下 且与 y 轴的正半轴相交 请你写出一个满足条件的二次 函数解析式 5 抛物线 如图 1 2 12 所示 则它关于 y 轴对称的抛物线的解析式是cbxay 2 6 若抛物线过点 1 0 且其解析式中二次项系数为 1 则它的解析式为 任 写一个 7 已知二次函数 的图象与 x 轴交于点 2 0 x 1 0 且 1 x 1 2 与cbxay 2 y 轴正半轴的交点连点 0 2 的下方 下列结论 a b 0 2a c 0 4a c 0 2a b l 0 其中的有正确的结论是 填写序号 8 若二次函数 的图象如图 则 ac 0 或 cxy2 第 8 题图 9 二次函数 的图象如图 1 2 14 所示 则下列关于 a b c 间的关系判断cbxay 2 正确的是 A ab 0 B bc 0 C a b c 0 D a b 十 c 0 10 抛物线 a 0 的顶点在 x 轴上方的条件是 xy 2 A b 2 4ac 0 B b 2 4ac 0 C b 2 4ac 0 D c 0 11 二次函数 y 3x 2 y x2 y x2 的图象的开口大小顺序应为 23 43 A 1 2 3 B 1 3 2 C 2 3 1 D 2 1 3 考点 3 二次函数解析式求法 一 考点讲解 1 二次函数的三种表示方法 表格法 可以清楚 直接地表示出变量之间的数值对应关系 图象法 可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势 表达式 可以比较全面 完整 简洁地表示出变量之间的关系 2 二次函数表达式的求法 一般式法 若已知抛物线上三点坐标 可利用待定系数法求得 将已cbxay 2 知的三个点的坐标分别代入解析式 得到一个三元一次方程组 解这个方程组即可 顶点式法 若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程 则可采用顶点式 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 其中顶点为 h k 对称轴为直线 x h 2 yaxhk 交点式法 若已知抛物线与 x 轴的交点坐标或交点的横坐标 则可采用交点式 其中与 x 轴的交点坐标为 x 1 0 x 2 0 12 解题小诀窍 在求二次函数解析式时 要灵活根据题目给出的条件来设解析式 例如 已知二次函数的顶点在坐标原点可设 已知顶点 0 c 即在 y 轴上时可设2axy 已知顶点 h 0 即顶点在 x 轴上可设 caxy 2 2 hxay 注意 当涉及面积周长的问题时 一定要注意自变量的取值范围 二 经典考题剖析 考题 1 2009 长沙 如图 1 2 16 所示 要在底边 BC 160cm 高 AD 120cm 的 ABC 铁皮余料上 截取一个矩形 EFGH 使点 H 在 AB 上 点 G 在 AC 上 点 E F 在 BC 上 AD 交 HG 于点 M 此时 AMAD HGBC 1 设矩形 EFGH 的 长 HG y 宽 HE x 确定 y 与 x 的函数关系式 2 当 x 为何值时 矩 形 EFGH 的面积 S 最大 3 以面积最大的矩形 EFGH 为侧面 围成一个圆柱形的铁桶 怎样 围时 才能使铁桶的 体积较大 请说明理由 注 围铁桶侧面时 接缝无重叠 底面另用材料配备 解 AHG ABC 所以 所以 所以AMHGDBC 120 x120 y160 16034 x 矩形的面积 S xy S 224160 3xx 360 48 所以 x 60cm S 最大 4800 2 围圆柱形铁桶有两种情况 当 x 60 时 4601 3ycm 第一种情况 以矩形 EFGH 的宽 HE 60cm 作铁桶的高 长 HG 80cm 作铁桶的底面周长 则底面半径 R 2188096V 22 A 铁 桶 体 积 第二种情况 以矩形 EFGH 的长 HG 80cm 作铁桶的高 宽 HE 60cm 作铁桶的底面周长 则底面半径 R 2260607 cm 铁 桶 体 积 因为 V1 V 2 所以以矩形 EFGH 的宽 HE 60cm 作铁桶的高 长 HG 80cm 作铁桶的底 面周长围成的圆柱形铁桶的体积较大 点拨 作铁桶时要分两种情况考虑 通过比较得到哪种情况围成的铁桶的体积大 考题 2 在直角坐标系中 AOB 的顶点坐标分别为 A 0 2 O 0 0 B 4 0 把 AOB 绕 O 点按逆时针方向旋转 900到 COD 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 1 求 C D 两点的坐标 2 求经过 C D B 三点的抛物线解析式 解 1 C 点 2 0 D 点 0 4 2 设二次函数解析式为 由点 C B 两点的坐标 得12 yax 4 xay 将点 D 0 4 代入得 a 2 即二次函数解析式为 4 1 xy 考题 3 如图 抛物线的对称轴是直线 x 1 它与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于 C 点 点 A C 的坐标分别是 1 0 0 23 1 求此抛物线对应的函数解析式 2 若点 P 是抛物线上位于 x 轴上方的一个动点 求 ABP 的面积的最大值 解 1 已知抛物线的对称轴为 x 1 设抛物线解析式为 将点 A 1 0 C 0 代入解析式 得kxay 2 1 23 23 04ka 解得 2k 2 xy 即 31 xy 2 A 点横坐标为 1 对称轴为 x 1 则点 B 的横坐标为 3 设点 P 横坐标是 m 1 m 3 则点 P 纵坐标 0 21 myppy 32 4 yBSpAP 4132 当 m 1 时 S 有最大值 为 4 解题小诀窍 当二次函数图像上出现动点时 可以先设出动点的横坐标 然后利用二次 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 函数的解析式将动点的纵坐标表示出来 如上面点 P 的纵坐标的表示方法 考题 4 2009 南宁 目前 国内最大跨江的钢管混凝土拱桥 永和大桥 是南宁市 又一标志性建筑 其拱形图形为抛物线的一部分 如图 1 2 18 在正常情况下 位于水面上的桥拱跨度为 350 米 拱高为 8 5 米 在所给的直角坐标系中 如图 1 2 19 假设抛物线的表达式为 请你根baxy 据上述数据求出 的值 并写出抛物线 的表达式 不要求写自变量的取值范围 的值保留两个有效数字 ab 七月份汛期将要来临 当邕江水位上涨后 位于水面上的桥拱跨度将会减小 当水位 上涨 4 时 位于水面上的桥拱跨度有多大 结果保留整数 m 解 1 因为桥拱高度 OC 8 5m 抛物线过点 C 0 8 5 所以 b 8 5 又由已 知 得 AB 350m 即点 A B 的坐标分另为 175 0 175 0 则有 0 1752 a 8 5 解得 a 0 00028 所求抛物线的解析式为 y 0 00028x 2 8 5 2 由 1 2 20 所示 设 DE 为水位上升 4m 后的桥拱跨度 即当 y 4 时 有 4 0 00028x 2 8 5 所以 x 126 77 所以 D E 两点的坐标为 12 6 7 7 4 12 6 7 7 4 所以 ED 12 6 7 7 12 6 77 254 米 答 当水位上涨 4m 时 位于水面上的桥拱跨度为 254m 点拨 理解桥拱的跨度 AB 即为抛物线与 x 轴两交点之间的距离 考题 5 2009 海口 已知抛物线 y x2 2n 1 x n 2 1 n 为常数 1 当该抛物线经过坐标原点 并且顶点在第四象限时 求出它所对应的函数关系式 2 设 A 是 1 所确定的抛物线上位于 x 轴下方 且在对称轴左侧的一个动点 过 A 作 x 轴的平行线 交抛物线于另一点 D 再作 AB x 轴于 B DC x 轴于 C 当 BC 1 时 求矩形 ABCD 的周长 试问矩形 ABCD 的周长是否存在最大值 如果存在 请求出这个最大值 并指出此时 A 点的坐标 如果不存在 请说明理由 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 解 由抛物线过原点 得 n2 1 0 解这个方程 得 n1 1 n2 1 当 n 1 时 得 y x2 x 此抛物线的顶点不在第四象限 当 n 1 时 得 y x2 3x 此抛 物线的顶点在第四象限 所求的函数关系为 y x2 3x 2 由 y x2 3x 令 y 0 得 x2 3x 0 解得 x1 0 x2 3 抛物线与 x 轴的另一个交点为 3 0 它的顶点为 对称轴为2349 直线 x 其大致位置如图所示 3 BC 1 由抛物线和矩形的对称性易知 OB 3 1 1 B 1 0 点 A 的横坐标21 x 1 又点 A 在抛物线 y x2 3x 上 点 A 的纵坐标 y 12 3 1 2 AB y 2 2 矩形 ABCD 的周长为 2 AB BC 2 2 1 6 点 A 在抛物线 y x2 3x 上 故可设 A 点的坐标为 x x 2 3x B 点的坐标为 x 0 0 x 3 BC 3 2x A 在 x 轴下方 x 2 3x 0 AB x 2 3x 3x x 2 矩形 ABCD 的周 长 P 2 3x x 2 3 2x 2 x 2 1 a 2 0 当 x 时 矩形 ABCD 的周长 P 最大值为 此时点 A 的坐标为 A 21321 45 解题小诀窍 在此类求三角形面积 四边形周长和面积的最值问题时 解题的关键是如 何用一个未知数将其表示出来 考题 6 2009 郸县 如图 1 2 24 OAB 是边长为 2 的等边三角形 其中 O3 是坐标原点 顶点 B 在 y 轴的正方向上 将 OA B 折叠 使点 A 落在边 OB 上 记为 A 折痕为 EF 1 当 A E x 轴时 求点 A 和 E 的坐标 2 当 A E x 轴 且抛物线 经过点 A 和 E 时 求该抛物线与 x 轴cbx 26 的交点的坐标 3 当点 A 在 OB 上运动但不与点 O B 重合时 能否使 A EF 成为直角三角 形 若能 请求出此时点 A 的坐标 若不能 请你说明理由 解 1 当 A E x 时 EA O 90 因为 AOB 为等边三角形 所以 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 A OE 60 A EO 30 A O EO 设 OA a 则 OE 2a 由勾股定 12 理得 A E 由题意意可知 A EF AEF 所以 A E A E 3 所以 A E a AE 因为 AE OE 2 3 3 所以 a OA 1 A E 3 所以 A 0 1 E 1 3 由题意知 点 A 0 1 E 1 在3 2x1y 6 的图象上 则方程组bxc 2 3b 6 c1cb 解 得 所以 当 y 0 时 得2316 y 20 x 3 x 1解 得 所以 抛物线与 x 轴的交点坐标为 2 0 0 3 3 不能 理由 因为要使 A EF 为直角三角形 则 90 角只能是 A EF 或 A FE 若 A EF 90 因为 FA 与 FAE 关于 FE 对称 所以 A EF AEF 90 AEA 180 此时 A E A 应在同一直线上 点 A 应 与 O 点重合 这与题设矛盾 所以 A EF 90 即 A EF 不能为直角三角形 同 理 A FE 90 也不成立 即 A EF 不能为直角三角形 点拨 此题是代数 几何综合题 注意利用几何图形之间的关系 考题 如图 已知二次函数图像的顶点坐标为 C 1 0 直线 与二次函数的mxy 图像交于 A B 两点 其中 A 点的坐标为 3 4 B 点在 y 轴上 1 求 m 的值及二次函数的解析式 2 P 为线段 AB 上的一个动点 点 P 与 A B 不重合 过点 P 做 x 轴的垂线与二次函 数图像交于点 E 设线段 PE 的长度为 h 点 P 的横坐标为 x 求 h 与 x 之间的函数关系 式 并写出自变量 x 的取值范围 3 D 为直线 AB 与这个二次函数图像对称轴的交点 在线段 AB 上是否存在一点 P 使得四边形 DCEP 是平行四边形 若存在 请说明理由 解 1 点 A 3 4 在直线 上 mxy 4 3 m m 1 设所求二次函数为 2 1 ay 点 A 3 4 在二次函数为 上 2 x 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 a 1 2 13 4 a 所求二次函数为 即2 xy12 xy 2 设 P E 两点的纵坐标是 EP 所以 PE h x 1 Ey 2 x x32 即 h 0 x 3 3 存在 要使四边形 DCPE 是平行四边形 必有 PE DC 点 D 在直线 上 点 D1 xy 的坐标为 1 2 所以 2 解得 不合题意舍 所以点 P 坐标为x32 1 21 x 2 3 时符合题意 三 针对性训练 45 分钟 1 二次函数的图象经过点 3 2 2 7 0 1 求其解析式 2 已知抛物线的对称轴为直线 x 2 且经过点 l 1 4 0 两点 求抛物 线的解析式 3 已知抛物线与 x 轴交于点 1 0 和 2 0 且过点 3 4 求抛物线的解析式 4 已知二次函数 的图象经过点 A 0 1 B 2 1 两点 1 求 b 和 ccbay 2 的值 2 试判断点 P 1 2 是否在此抛物线上 5 已知一个二次函数 的图象如图 1 2 25 所示 cbxay 2 请你求出这个二次函 数的表达式 并求出顶点坐标和对称轴方 程 6 已知抛物线 过三点 1 1 2 0 2 1 l 1 求抛物线所对应的二次函数的表达式 2 写出它的开口方向 对称轴和顶点坐标 3 这个函数有最大值还是最小值 这个值是多少 7 当 x 4 时 函数 的最小值为 8 抛物线过点 6 0 求 cbxay 2 1 顶点坐标和对称轴 2 函数的表达式 3 x 取什么值时 y 随 x 的增大而增大 x 取什么值时 y 随 x 增大而减小 8 在 ABC 中 ABC 90 点 C 在 x 轴正半轴上 点 A 在 x 轴负半轴上 点 B 在 y 轴正半轴上 图 1 2 26 所示 若 tan BAC 求经过 12 A B C 点的抛物线 的解析式 9 已知 如图 1 2 27 所示 直线 y x 3 与 x 轴 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 y 轴分别交于点 B C 抛物线 y x 2 bx c 经过点 B C 点 A 是抛物线与 x 轴的另 一个交点 1 求抛物线的解析式 2 若点 P 在直线 BC 上 且 S PAC S PAB 求点 P 的坐标 12 10 四边形 DEFH 为 ABC 的内接矩形 图 1 2 28 AM 为 BC 边上的高 DE 长为 x 矩形的面积为 y 请写出 y 与 x 之间的 函数关系式 并判断它是不是关于 x 的二次函数 考点 4 根据二次函数图象解一元二次 方程的近似解 一 考点讲解 1 二次函数与一元二次方程的关系 1 一元二次方程 就是二次函数 当函数 y 的值为 0 时的情20axbc cbxay 2 况 2 二次函数 的图象与 x 轴的交点有三种情况 有两个交点 有一个交y2 点 没有交点 当二次函数 的图象与 x 轴有交点时 交点的横坐标就是当cbay 2 y 0 时自变量 x 的值 即一元二次方程 ax2 bx c 0 的根 3 当二次函数 的图象与 x 轴有两个交点时 则一元二次方程x2 有两个不相等的实数根 当二次函数 的图象与 x 轴有一个交cbay 2 cbay 2 点时 则一元二次方程 ax2 bx c 0 有两个相等的实数根 当二次函数 y ax 2 bx c 的图象与 x 轴没有交点时 则一元二次方程 没有实数根 x2 解题小诀窍 抛物线与 x 轴的两个交点间的距离可以用 x 1 x 2 来表示 二 经典考题剖析 考题 1 2009 湖北模拟 关于二次函数 的图象有下列命题 当cbay c 0 时 函数的图象经过原点 当 c 0 且函数的图象开口向下时 ax bx c 0 必有 两个不等实根 函数图象最高点的纵坐标是 当 b 0 时 函数的图象关于 24 y 轴对称 其中正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 解 C 点拨 显然正确 由 a 0 及 c 0 得 b 2 4ac 0 所以 正确 由于 a 的符号不定 所以顶点是最高点或最低点不定 所以 不正确 因为 b 0 时 对称轴为 x 0 所以 正确 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 考题 2 2009 青岛模拟 8 分 已知二次函数 y x2 6x 8 求 1 抛物线与 x 轴 y 轴相 交的 交点坐标 2 抛物线的顶点坐标 3 画出此抛物线图象 利用 图象回答下列问题 方程 x2 6x 8 0 的解 是什 么 x 取什么值时 函数值大于 0 x 取什么值时 函数值小于 0 解 1 根据题意 得 x2 6x 8 0 则 x 2 x 4 0 x 1 2 x 2 4 所以与 x 轴 交点为 2 0 和 4 0 当 x1 0 时 y 8 所以抛物线与 y 轴交点为 0 8 2 抛物线的顶点坐标为 3 1 263 24bacbxya 3 图 1 2 29 所示 由图象知 x 2 6x 8 0 的解为 x1 2 x 2 4 当 x 2 或 x 4 时 函数值大于 0 当 2 x 4 时 函数值小于 0 点拨 二次函数 y x2 6x 8 与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程 x2 6x 8 0 的两个 解 用抛物线解一元二次方程需要知道抛物线与 x 轴的交点坐标 考题 3 2009 天津 已知抛物线 y x 2 2x 8 1 求证 该抛物线与 x 轴一定有两个交点 2 若该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A B 且它的顶点为 P 求 ABP 的面积 解 1 证明 因为对于方程 x2 2x 8 0 其判别式 2 2 4 8 36 0 所以方程 x2 2x 8 0 有两个实根 抛物线 y x2 2x 8 与 x 轴一定有两个交 点 2 解 因为方程 x2 2x 8 0 有两个根为 x1 2 x 2 4 所以 AB x1 x 2 6 又抛物 线顶点 P 的纵坐标 yP 9 24acb 所以 S ABP AB yP 27 12 点拨 本题主要考查了二次函数 一元二次方程等知识及它们的综合应用 三 针对性训练 45 分钟 1 已知函数 y kx2 7x 7 的图象和 x 轴有交点 则 k 的取值范围是 k044AkBCD 且且 2 直线 y 3x 3 与抛物线 y x2 x 1 的交点的个数是 A 0 B 1 C 2 D 不能确定 3 函数 的图象如图 l 2 30 那么关于 x 的方程 的根的情况是cbxay 2 20abxc A 有两个不等的实数根 B 有两个异号实数根 C 有两个相等实数根 D 无实数根 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 4 二次函数 的图象如图 l 2 31 所示 则下列结论成立的是 cbxay 2 A a 0 bc 0 0 B a 0 bc 0 0 C a 0 bc 0 0 D a 0 bc 0 0 5 函数 的图象如图 l 2 32 所示 则下列结论错误的是 cbxy 2 A a 0 B b 2 4ac 0 C 的两根之和为负2 D 的两根之积为正xc 6 不论 m 为何实数 抛物线 y x2 mx m 2 A 在 x 轴上方 B 与 x 轴只有一个交点 C 与 x 轴有两个交点 D 在 x 轴下方 7 画出函数 y x2 2x 3 的图象 利用图象回答 1 方程 x2 2x 3 0 的解是什么 2 b 取什么值时 函数值大于 0 3 b 取什么值时 函数值小于 0 8 已知二次函数 y x2 x 6 1 求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标 2 画出函数图象 3 观察图象 指出方程 x2 x 6 0 的解 4 求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形的面积 考点 5 用二次函数解决实际问题 一 考点讲解 1 二次函数的应用 1 二次函数常用来解决最优化问题 这类问题实际上就是求函数的最大 小 值 2 二次函数的应用包括以下方面 分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次 函数关系 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大 小 值 注意 二次函数实际问题主要分为两个方面的问题 几何图形面积问题和经济问题 解 几何图形面积问题时要把面积公式中的各个部分分别用同一个未知数表示出来 如三角 形 S 我们要用 x 分别把 h l 表示出来 hl21 经济 问题 总利润 总销售额 总成本 总利润 单 件 利润 销售数量 解最值问题时 一定要注意 自 变量的取值范围 分为三类 对称轴在取值 范 围内 取值范围在对称轴左边 取值范围在对称轴右边 2 解决实际问题时的基本思路 1 理解问题 2 分析问题中的变量和常量 3 用函数表达式表示出它们之间的关系 4 利用二次函数的有关性质进行求解 5 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 检验结果的合理性 对问题加以拓展等 二 经典考题剖析 考题 1 2009 贵阳 12 分 某产品每件成本 10 元 试销阶段每件产品的销售价 x 元 与产品的日销售量 y 件 之间的关系如下表 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 1 求出日销售量 y 件 与销售价 x 元 的函数关系式 2 要使每日的销售利润最大 每件产品的销售价应定为多少元 此时每日销售利润是 多少元 解 1 设 此 一 次 函 数 解 析 式 为 ykb 则 解 得 k 1 b 40 520kb 即 一 次 函 数 解 析 式 为 x 2 设 每 件 产 品 的 销 售 价 应 定 为 x 元 所 获 销 售 利 润 为 w 元 w 2 1 4504x 产 品 的 销 售 价 应 定 为 25 元 此 时 每 日 获 得 最 大 销 售 利 润 为 225 元25 点拨 求 1 2 中解析式时 可选取表格中的任意两组值即可 考题 2 2009 鹿泉 图 1 2 33 是某段河床横断面的示意图 查阅该河段的水文资 料 得到下表中的数据 x m 5 10 20 30 40 50 y m 0 125 0 5 2 4 5 8 12 5 1 请你以上表中的各对数据 x y 作为点的坐标 尝试在图 1 2 34 所示的坐标 系中画出 y 关于 x 的函数图像 2 填写下表 x 5 10 20 30 40 50 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷yx2 根据所填表中数据呈现的规律 猜想出用 x 表示 y 的二次函数关系式 3 当水面宽度为 36m 时 一般吃水深度 船底部到水面的距离 为 1 8m 的货船能否 在这个河段安全通过 为什么 解 1 图象如图 1 2 35 所示 2 如下表所示 y x2 1200 3 当水面宽度为 36m 时 相应的 x 18 则 y 182 1 62 此时该河段的最大 1200 水深为 1 62m 因为货船吃水深度为 1 8 米 而 1 62 1 8 所以当水面宽度为 36m 时 该货船不能通过这个河段 考题 3 我区某镇地理环境偏僻 严重制约经济发展 丰富的花木产品只能在本地销售 我区政府对该花木产品每投资 x 万元 所获利润为 P x 30 2 10 万元 为了 150 响应我国西部大开发的宏伟决策 我区政府在制定经济发展的 10 年规划时 拟开发此花 木产品 而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多 50 万元 若开发该产品 在 前 5 年中 必须每年从专项资金中拿出 25 万元投资修通一条公路 且 5 年修通 公路修 通后 花木产品除在本地销售外 还可运往外地销售 运往外地销售的花木产品 每投 资 x 万元可获利润 Q 50 x 2 50 x 308 万元 4950 1945 若不进行开发 求 10 年所获利润的最大值是多少 若按此规划进行开发 求 10 年所获利润的最大值是多少 根据 计算的结果 请你用一句话谈谈你的想法 解 1 若不修路 由 P x 30 2 10 知 只需从 50 万元专款中拿出 30 万元 150 投资 每年即可获得最大利润 10 万元 则 10 年的最大利润 M1 10 10 100 万元 2 若对产品开发 在前 5 年中 当 x 25 时 每年最大利润是 P 25 30 150 2 10 9 5 则前 5 年的最大利润 M2 9 5 5 47 5 万元 设 5 年中 x 万元是用于本地销售的投资 P 25 30 2 10 则将余下的 50 x 万 150 元全部用于外地的投资 Q 50 50 x 2 50 50 x 308 才有 4950 1945 可能获得最大利润 则后 5 年的利润是 M3 x 3500 故当 x 20 时 M 3 取得最大值为 3500 万2 2491 308 0 5xx 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 元 所以 10 年的最大利润为 M M2 M3 47 5 3500 3547 5 万元 3 因为 3547 5 100 故有极大的开发价值 考题 4 学校要建造一个圆形喷水池 在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA O 恰好在水面中心 安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水 水流在各个方向上沿形状相同 的抛物线路径落下 且在过 OA 的任意平面上的抛物线如图 l 2 36 所示 建立平面直 角坐标系 如图 l 2 37 水流喷出的高度 y m 与水面距离 x m 之间的函数关系式是 请回答下列问题 253yx 1 花形柱子 OA 的高度 2 若不计其它因素 水池的半径至少要多少米 才能使喷出的水不至于落在池外 把 代入抛物线 得 OA 1 5 米 0 x 253yx 1 52y 把 代入 得 y 30 x 2530 x 又 0 13x2x OB 3 半径至少是 3 米 点拨 以学校要建圆形喷水池为背景材料 将学生送到了一个 设计师 的角度 运用二 次函数解题时 应注意实际情况中的取值 考题 5 2009 青岛 某工厂现有 80 台机器 每台机器平均每天生产 384 件产品 现 准备增加一批同类机器以提高生产总量 在试生产中发现 由于其他生产条件没变 因 此每增加一台机 器 每台机器平均每天将少生产 4 件产品 1 如果增加 x 台机器 每天的生产总量为 y 件 请你写出 y 与 x 之间的关系式 2 增加多少台机器 可以使每天的生产总量最大 最大生产总量是多少 解 1 根据题意 得 y 80 x 384 4x 整理 得 y 4x2 64x 30720 2 因为 y 4x2 64x 30720 4 x 8 2 30976 所以 当 x 8 时 y 最大值 3072030976 即 增加 8 台机器 可以使每天的生产总量最大 最大生产总量是 30976 件 三 针对性训练 60 分钟 答案 270 1 小王家在农村 他家想利用房屋侧面的一面墙 围成一个矩形猪圈 以墙为长人现在已 备足可以砌 10 米长的墙的材料 他想使猪圈的面积最大 你能帮他计算一下矩形的长 和宽应当分别是多少米吗 此时猪圈的面积有多大 2 数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现 一种纯牛奶进价为每箱 40 元 厂家要求售 价在 40 70 元之间 若以每箱 50 元销售平均每天销售 90 箱 价格每降低 1 元平均每 天可多销售 3 箱 老师要求根据以上资料 解答下列问题 你能做到吗 写出平均每天销售量 y 箱 与每箱售价社元 之间的函数关系 写出平均每天销售利润 W 元 与每箱售价 x 元 之间的函数关系 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 求出 中 M 次函数的顶点坐标及当 x 40 70 时的 W 的值 3 某商人开始时 将进价为每件 8 元的某种商品按每件 10 元出售 每天可售出 100 件 他想采用提高售价的办法来增加利润 经试验 发现这种商品每件每提价 l 元 每 天的销售量就会减少 10 件 写出售价 x 元 件 与每天所得的利润 y 元 之间的函数关系式 每件售价定为多少元 才能使一天的利润最大 4 图 1 2 38 所示是一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标系上的示意图 点 A 和 A1 点 B 和 B1 分别关于 y 轴对称 隧道拱部分 BCB1 为一段抛物线 最高点 C 离路面 AA1 的距离为 8 米 点 B 离路面 AA1 的距离为 6 米 隧道的宽 AA1 为 16 米 求隧 道拱抛物线 BC B1 的函数解析式 现有 一大型运货汽车 装载某大型设备后 其宽为 4 米 车载 大型设备的顶部与路面的距离为 7 米 它能否安全通 过这个隧道 说明理由 5 启明公司生产某种产品 每件产品成本是 8 元 售价是 4 元 年销售量为 10 万件 为 了获得更好的效益 公司准备拿出一定的资金做广告 根据经验 每年投人的广告费是 x 万元 时 产品的年销售量将是原销售量的 y 倍 且 y 如果把利润看2710 x 作是销售总额减去成本费和广告费 1 试写出年利润 S 万元 与广告费 x 万元 的函数关系式 并计算广告费是多少 万元时 公司获得的年利润最大 最大年利润是多少万元 2 把 1 中的最大利润留出 3 万元做广告 其余的资金投资 新项目 现有 6 个项目 可供选择 各项目每股投资金额和预计年收益如下表 如果每个项目只能投一股 且要求所有投资项目的收益总额不得低于 1 6 万元 问 有 几种符合要求的投资方式 写出每种投资方式所选的项目 6 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫 每日最高产量为 40 只 且每日生产出的产品全部售 出 已知生产 X 只玩具熊猫的成本为 R 元 售价每只为 P 元 且 R P 与 X 的关 系式为 R 500 3 5x P 170 2x 当日产量为多少时 每日获得的利润为 1750 元 当日产量为多少时 可获得最大利润 最大利润是多少 II 2010 年新课标中考题一网打尽 回顾 1 2010 嘉峪关 3 分 抛物线 y x2 2x 3 的对称轴是直线 A x 2 B x 2 C x 1 D x 1 回顾 2 2010 嘉峪关 3 分 如图 1 2 39 半圆 O 的直径 AB 4 与半圆 O 内切的 动圆 O1 与 AB 切于点 M 设 O 1 的半径为 y AM x 则 y 关于 x 的函数关系式是 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 A 21 4yx 221 4BCyxD 回顾 3 2010 南充 3 分 二次函数 y x2 2x 7 的函数值是 8 那么对应的 x 的值是 A 3 B 5 C 3 和 5 D 3 和 5 回顾 4 2010 自贡 3 分 抛物线 y x2 x 的顶点坐标是 11 24 回顾 5 2010 自贡 3 分 二次函数 的图象 如图 1 2 40 所示 根cbay 2 据图象可得 a b c 与 0 的大小关系是 A a 0 b 0 c 0 B a 0 b 0 c 0 C a 0 b 0 c 0 D a 0 b 0 c 0 回顾 6 2010 绍兴 4 分 小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳 函数 h 3 5 t 4 9 t2 t 的单位 s h 中的单位 m 可以描述他跳跃时 重心高度的变化 如 图 1 2 41 则他起跳后到重心最高时所用的时间是 A 0 71s B 0 70s C 0 63s D 0 36s 回顾 7 2010 温州 4 分 已知抛物线的解析式为 y x 2 2 l 则抛物线的顶 点坐标是 A 2 1 B 2 l C 2 1 D 1 2 回顾 8 2010 江西 3 分 若二次函数 y x2 x 与 y x 2 k 的图象的顶点重合 则下 列结论不正确的是 A 这两个函数图象有相同的对称轴 B 这两个函数图象的开口方向相反 C 方程 x 2 k 0 没有实数根 D 二次函数 y x 2 k 的最大值为 12 回顾 9 2010 衡州 抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴的交点的个数有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 回顾 10 2010 金华 抛物线 y x l 2 2 的对称轴是 A 直线 x 1 B 直线 x 1 C 直线 x 2 D 直线 x 2 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 回顾 11 2010 湖州 3 分 已知二次函数 的图象如图 l 2 42 所示 则在 a 0 b 0 c cbxay 2 0 b 2 4ac 0 中 正确的判断是 A B C D 回顾 12 2010 武汉 3 分 已知二次函数 a 0 的图象如图 1 2 43cbxay 2 所示 则下列结论 a b 同号 当 x 1 和 x 3 时 函数值相等 4a b 0 当 y 2 时 x 的值只能取 0 其中正确的个数是 A l 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 回顾 13 2010 丽水 4 分 如图 l 2 44 抛物线的顶点 P 的坐标是 1 3 则此抛物线对应的 二次函数有 A 最大值 1 B 最小 值 3 C 最大值 3 D 最小 值 1 回顾 14 2010 杭州 3 分 用列 表法画二次函数 的图象时先列一个表 当表中对自变量 x 的值以相等间隔cbxay 2 的值增加时 函数 y 所对应的值依次为 20 56 110 182 274 380 506 650 其 中有一个值不正确 这个不正确的值是 A 506 B 380 C 274 D 182 回顾 15 2010 江西 将二次函数 y x2 4x 6 化为 y x h 2 k 的形式 y 回顾 16 2010 金华 5 分 在直角坐标系 xoy 中 O 是坐标原点 抛物线 y x2 x 6 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 与 y 轴交于点 C 如图 l 2 45 如果点 M 在 y 轴右侧的抛物线上 S AMO S COE 那么点 M 的坐标是 23 回顾 17 2010 衡州 5 分 把 二次函数 y x2 4x 5 化成 y x h 2 k 的形式 y 回顾 18 2010 温州 若 二次函数 y x2 4x c 的图象与 x 轴没有交点 其中 c 为整数 则 c 只要求写一个 回顾 19 2010 重庆 3 分 抛物线 y x 1 2 3 的顶点坐标是 回顾 20 2010 南充 已知点 P a m 和 Q 0 m 是抛物线 y 2x2 4x 3 上的两个不同点 则 a b 回顾 21 2010 嘉峪关 二次函数 y x2 2x 3 与 x 轴两交点之间的距离为 回顾 22 2010 嘉峪关 如图 l 2 46 已知两点 A 1 0 B 4 0 在 x 轴上 优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 以 AB 为直径的半圆 P 交 y 轴于点 C 1 求经过 A B C 三点的抛物线的解析式 2 设 AC 的垂直平分线交 OC 于 D 连结 AD 并延长 AD 交半圆 P 于点 E 相等吗 E与 3 设点 M 为 x 轴负半轴上一点 OM AE 是否存在过点 M 的直线 使该直线与 12 1 中所得的抛物线的两个交点到 y 轴的距离相等 若存在 求出这条直线对应函数 的表达式 若不存在 请说明 理由 回顾 23 2010 武汉 10 分 如图 1 2 47 隧道的截面由抛物线 AED 和矩形 ABCD 构成 矩形的长 BC 为 8m 宽 AB 为 2m 以 BC 所在的直线为 x 轴 线段 BC 的中垂线为 y 轴 建立平面直角坐标系 y 轴是抛物线的对称轴 顶点 E 到坐标原 点 O 的距离为 6m 1 求抛物线的解析式 2 如果该隧道内设双 行道 现有一辆货运卡车高 4 2m 宽 2 4m 这辆货运上车 能否通过该隧道 通过计算说明你的结 论 回顾 24 2010 河南 11 分 如图 l 2 48 Rt PMN 中 P 90 PM PN MN 8cm 矩形 ABCD 的长 和宽分别为 8cm 和 2cm C 点和 M 点重合 BC 和 MN 在一 条直线上 令 Rt PMN 不动 矩形 ABCD 沿 MN 所在直线向右以每秒 1cm 的速度移 动 图 l 2 49 直到 C 点与 N 点重合为止 设移动 x 秒后 矩形 ABCD 与 PMN 重 叠部分的面积为 y cm2 求 y 与 x 之间的函数关系式 回顾 25 2010 河北 12 分 某食品零售店为食品厂供销一种面包 未售出的面包可 退回厂家 经统计销售情况发现 当这种面包的单价定为 7 角时 每天卖出 160 个 在 此基础上 这种面包的单价每提高 1 角时 该零售店每天就会少卖出 20 个 考虑了所 有因素后该零售店每个面包的成本是 5 角 设这种面包的单价为 x 角 零售店每天销售这种面包所获得的利润为 y 角 用含 x 的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数 求 y 与 x 之间的函数关系式 当面包单价定为多少时 该零售店每天销售这种面包获得的利润最大 最大利润为多少 回顾 26 2010 内江 12 分 老师提出 如图 1 2 50 教师提