大学物理简明教程(吕金钟)第四章习题答案

第四章 电磁学基础 静电学部分 4 2 解 平衡状态下受力分析 q 受到的力为 20 41rqFq 2041lqFq 处于平衡状态 4 qq 1 041 2020 lr 同理 4q 受到的力为 20 44 1rlqFq 2044lqFq 04 4 qqF 2 1 12020 lrl 通过 1 和 2 联立 可得 3lr q94 4 3 解 根据点电荷的电场公式 reqE 204 点电荷到场点的距离为 2lr 2041lrq 两个正电荷在 P 点产生的电场强度关于中垂线对称 cos E0 2lr 所以 230220141cos lrqlrlqE q q4 lr E Orlq lq P 当 与点电荷电场分布相似 在很远处 两lr 202041rqrE 个正电荷 q 组成的电荷系的电场分布 与带电量为 2q 的点电荷的电场分布一样 4 4 解 取一线元 在圆心处 Rdq 产生场强 202041dE 分解 垂直 x 方向的分量抵消 沿 x 方向 的分量叠加 Rddx 002sin41 方向 沿 x 正方向 4 5 解 1 两电荷同号 电场强度为零的点在内侧 2 两电荷异号 电场强度为零的点在外侧 4 7 解 线密度为 分析半圆部分 rdlq 点电荷电场公式 reE 2041 在本题中 20rd 电场分布关于 x 轴对称 sin41sin20rdEx 0 yE 进行积分处理 上限为 下限为 2 rdrrdE 000 2sin4sin41sin 方向沿 x 轴向右 正方向 分析两个半无限长 cos 4si 210021 xxdExx in sidco4120021 yy Odlr xEy xy RdE xO 21 xEx04 xy04 两个半无限长 关于 x 轴对称 在 y 方向的分量为 0 在 x 方向的分量 rE0042 在本题中 r 为场点 O 到半无限长线的垂直距离 电场强度的方向沿 x 轴负方 向 向左 那么大 O 点的电场强度为 020 rE 4 8 解 E 的方向与半球面的轴平行 那么 通过以 R 为半径圆周边线的任意曲面的 电通量相等 所以 通过 S1 和 S2 的电通量等效于通过以 R 为半 径圆面的电通量 即 E 21 4 9 解 均匀带电球面的场强分布 Rr Q 0 42 球面 R1 R 2 的场强分布为 101 4r qE 2202 4rqE 根据叠加原理 整个空间分为三部分 2202021 12140RrrqEr 根据高斯定理 取高斯面求场强 20124RrqrErSd 图 4 94 习题 4 8 用图 E S1 S 2 R O 12Rq 场强分布 21204RrrqE 方向 沿径向向外 4 10 解 1 这是个球对称的问题 24rEdSESe 当 时 高斯面对包围电荷为 QRr 024 Q02 r 当 高斯面内包围电荷为 qr 334Rq 3024RrE 304RQrE 方向沿径向 2 证明 设电荷体密度为 34Q 这是一个电荷非足够对称分布的带电体 不能直接用高斯定理求解 但可以把这一带 电体看成半径为 R 电荷体密度为 的均匀 带电球体和半径为 R 电荷体密度为 的 均匀带电体球相叠加 相当于在原空腔同时 补上电荷体密度为 和 的球体 由电场 叠加原理 空腔内任一点 P 的电场强度为 21E 在电荷体密度为 球体内部某点电场为 rE 31 在电荷体密度为 球体内部某点电场为 2 所以 aRQrE 300021 43 r a RrE 4 11 解 利用高斯定理 把空间分成三部分 23120 124104 RrRrrErSd 场强分布 2312013RrRrrE 方向 沿径向向外 4 12 解 取闭合圆柱面为高斯面 高斯定理 RrlrESd022 场强分布 rR02 方向沿径矢方向 4 14 解 无限大带电平面的电场分布为 场强叠加02 E 1 电荷面密度均为 在一区 02 E 在二区 0 在三区 02 E 2 电荷面密度分别为 和 在一区 0 12R R2r 0 02 E00 02 E 0 002 E 在二区 002 E 在三区 0 方向为垂直于平面方向 4 16 解 把总的电场力做功看做是正电荷 q 电场力做功和负电荷 q 电场力做功的叠加 得用公式 4 14 bar rQqdAba 14020 1 把单位正电荷从 O 点沿 OCD 移到 D 点 电场力做功 设试验电荷电量为 q0 正电荷 q 的电场力做功 lqlqA006314 负电荷 q 的电场力做功 0 l 总的电场力做功 lqA006 对单位正电荷做功为 l00 2 把单位负电荷从 AB 的延长线移到无穷远处 电场力对它对做功 设试验 电荷电量为 q 0 正电荷 q 的电场力做功 1340lqA 负电荷 q 的电场力做功 0l 总的电场力做功 lqllqA0000 614314 对单位负电荷做功为 l006 4 19 解 均匀带电球面内外的电势分布为 ABCDOq q l2 1R21q2 RrQrU04 结合本题 先写出各个球面的电势分布 再利用电势叠加原理 对于球面 1 对于球面 2 110104RrqU 2202204rRq 整个空间内 电势分三部分 对应于红色部分201014RqUr 对应于蓝色部分20021 rR 对应于外部空间qUr020124 那么两个球面上的电势 2010114RqRr 202022U 两个球面之间的电势差为 2102010144RqRq 此题也可得用积分来求 ldEU 4 22 解 做一闭合圆柱面为高斯面 求两个无限 长同轴圆筒间的电场强度 021 rRr 1R2 1200ln2121 RdrldEURR 4 23 解 取无穷远处为电势零点 设导体球带电量为 q 由于点电荷 q 的存在 我们并不清楚导体 球面上电荷的具体分布 但是球面上任何电荷元 dq 到球心的距离都是 R 导体球是等势体 只 需求出球心的电势就可以了 电势叠加原理 rqdUq0 04 式中两项分别是导体球面上所有电荷和点电荷 q 在球心处的电势 积分得rR00 此为点电荷 q 电场影响下的 导体球的电势 根据题设 导体球电势为 04 00 rqU 可得 R 4 28 解 基本的电容题 写出各个量 24m105 S104 d0 2 r F m1085 2 利用有介质时的平行板电容器的电容公式 1058 104420 dCr 每个极板上的电荷量为 C85 8 10 CUQ 4 30 解 充电后把电源断开 平行板电容器两个极板上的带电量不变 为 Q0 两极板距离为 d 时 dS0 0dUE0SdEW2021 两极板距离为 2d 时 021C 02Q 02EdUE 或者 0WCQ0202011WdSEdS qROr 4 33 解 在真空中导体球外的电场分布为 204rQE 有介质存在时的电场分布为 介电常数 rr20 0 r 24rQE 导体球外整个空间介电常数为 电场能量密度 21E 取一均匀半径为 r 厚度为 dr 的球壳 球壳上 E 大小相等 球壳厚度为 dV24 电场能量为 RR drQEW2241 drQR 84122 4 36 解 球形电容器的电容公式 1204RC 电容器的能量 2 21UQW 得到球形电容器所储存的能量为 21201204URR 静磁学部分 4 39 解 a 根据毕萨定律 204relIdB 对于导线 2 部分 P 点在其延长线上 rlI 所以导线 2 在 P 点的磁感应强度为 0 根据例 4 19 的结论 210cos4 aIB 对于导线 1 方向垂直纸面向外 2I0 b 对于导线 1 3 可视为半无限长载流导线 在 P 点 Rr PaI12PrI123 的磁感应强度分别为 方向均垂直纸面向里 rIB 40 对于导线 2 根据例 4 20 的结果 载流圆弧在圆心处的 磁感应强度为 导线 2 在圆心处的磁感RIO0 应强度为 方向均垂直纸面向里 rIBO210 磁场叠加 方向垂直纸面向里 rIrI424000 c 根据毕萨定律 0eldB 对于导线 1 3 部分 P 点在其延长线上 0 relI 所以导线 1 3 在 P 点的磁感应强度为 0 对于导线 2 根据例 4 20 的结果 载流圆弧在圆心处的 磁感应强度为 导线 2 在圆心处的磁RIBO0 感应强度为 方向垂直纸面向里 8 4 41 解 据毕萨定律 204relId 对于导线 A B 部分 P 点在其延长线上 0 relI 所以导线 A B 在 P 点的磁感应强度为 0 两段圆弧可以看做一个并联电路 设导线 1 对应弧度 1 导线 2 对应弧度 2 1 2 2 电阻之比为 2 R 电流之比 12 I 导线 1 在圆心处的磁感应强度为 方向垂直纸面向里 201IRBO 导线 2 在圆心处的磁感应强度为 方向垂直纸面向外 11 所以在圆心处的全磁感应强度为 0 4 42 解 根据无限长载流导线的磁场分布公式 aIB 20 导线 1 在两导线中点处的磁感应强度为 PR123IOAB12 dII1r32l 方向垂直纸面向外201dIB 导线 2 在两导线中点处的磁感应强度为 方向垂直纸面向外0I 合磁感应强度为 方向垂直纸面向外dIB 02 在矩形中取一个小的面积元 在这个小面积上导线 1 产生的 B 是相等的 lr 求磁通量 rI 201 12001ln2rIldrIr 同理可得导线 2 对这一矩形的磁通量 32002ln23 rIldIr 因为 并且磁场方向一致 31r 120lnrI 4 43 解 利用安培环路定理 本题为一圆柱体 int0IldBL 当 时 Rr 2020int02RIrrIrldBL 2020RIr 当 时 Rr IrBldL 0int0 rI20 无限长载流圆柱的磁场分布为 RrIB 20 求一段圆柱内环绕中心的磁通量 就是求圆柱内 通过阴影部分的磁通量 根据上一问的结果 在圆柱内 20IrB 在小面积元 上磁感应强度相同 磁通量为 ldr 42000 IlrdRIllISBR 4 47 解 粒子运动受到的洛仑兹力等于向心力 RrIRIlrd 可得粒子动量为 RmvqB2 qBRmv 代入数据 skg108 425106 9 4 48 解 这是一个细导线闭合回路 设电流方向为顺时针 圆弧在圆心处 RIBO0 方向垂直纸面向里 电流元 在圆心处受力 lId 即 F IdlIldF40 单位长度导线所受的力 Rl 20 4 49 解 设磁场垂直纸面向里 取直径把导线圆环分成任意两个半圆弧 分析右边圆弧的受力情况 电流元受力 BlIdF 各个电流元受力的方向不同 需要进行力的分解 对称性质分析 在 y 方向上合力为 0 RBIdIIldx 2coscscos 沿 x 轴正方向 同理可分析左边半圆弧的受力 大小相等 方向相反 导线圆环所受合力为 0 所受张力为导线圆环上各点受力 4 52 解 分析过没介质时螺绕环的磁场分布 现在是有介质的情况 用 H 的环路定理 intIldHL 本题中 取磁场线为闭合路径 磁场强度为 代入数据 NIA m40 磁感应强度为 代入数据 Br 0 T25 B 求传导电流产生的磁感应强度 利用稳恒磁场的安培环路定理 可得 int00IldL 104 50 NI 由 磁化电流产生的磁场为 T25 0 B 电磁感应部分 RI yxFd lI 4 54 解 ab 运动到与 Oc 相距 x 时 磁感应强度vktB 切割磁感线 动生电动势为 kxlvldld 方向由 b 向 a 磁场变化 法拉第感应定律 感生电动势为 kxlSttBSdg 假设与磁场方向满足右手螺旋为正方向 由 a 向 b 现在结果和假设方向相反 为由 b 向 a 动生电动势和感生电动势方向相同 叠加 方向由 b 向 akxlgd2 4 55 解 利用动生电动势的公式 LldBv 对于 ab 段 和 的夹角是 90 度 的方向与由 a 到 b 的方向夹角 Bv 为 90 度 可得 所以 ab 段上的动生电动势为 0 0 ldv 对于 bc 段 和 的夹角是 90 度 的方向与由 b 到 c 的方向夹角为 60 度 可得 Bv vLllBvLL 213coscs 代入数据 c 端的电势高 V 20103521 4 56 解 可以把圆盘分为无限多个长为 R 的金属杆 圆盘绕中心轴转动 可看 做无限多个金属杆绕中心轴 O 转动 根据例 4 26 一长为 R 的金属杆 在垂 直于均匀磁场 B 的的平面内以角速度 绕其一端均匀转动 杆中的电动势为 A 端的电势高21 1 可以利用动生电动势的公式 LldBv 2 可以利用法拉第电磁感应定律 求 OA 金属杆上的电动势dt B Oabcxv v B abc 03BB ORAv 4 58 解 根据例题 4 21 无限长载流薄圆筒内外的磁场为 rIB 20 R 4 89 磁场能量密度为 HBVWwm 12 在本题中磁场能量密度 221 rIwm 磁场能量为 12 22 44121 RInlrdlIlIdVRRm 4 88 一个自感为 L 载流为 I 的线圈中所储存的磁能为 21IWm2124IRnl 自感系数为 12IlL 另外的一封答案 问 题 4 1 电场强度的物理意义是单位正电荷量所受的力 如果说某点的电场强度等于在该点放 一个电量为一库仑的电荷所受的力 对么 为什么 答 这是不对的 电场强度是一个只与电场有关 而与电荷无关的量 4 2 如何判断负电荷在外电场中的受力方向 在地球表面上通常有一竖直方向的电场 如 果电子在此电场中受到一个向上的力 那么电场强度的方向是朝上还是朝下 答 先判断出正电荷的受力方向 然后转 即得负电荷的受力方向 如果电子在018 此电场中受到一个向上的力 那么电场强度的方向是朝下的 4 3 点电荷的电场公式为 从形式上看 当场点与点电荷无限接近时 场强204rqEe 对么 为什么 E 答 所谓点电荷是物理上的理想模型 实际并不存在 只有离带电物体足够远时才能 忽略带电物体的形状 大小 将其视为点电荷 当场点与点电荷无限接近时 任意电 荷都不能视为点电荷 上述公式不成立 所以说当场点与点电荷无限接近时 场强 是不对的 E 4 4 电场线代表点电荷在电场中的运动轨迹吗 为什么 在两个相同的点电荷的连线中点 电场线是否相交 答 电场线是为了形象地描述电场而引进的一系列的曲线 不代表点电荷在电场中的 运动轨迹 在两个相同的点电荷的连线中点 其电场强度为零 所以电场线不能相交 4 5 三个相等的点电荷放在等边三角形的三个顶点上 问是否可以以三角形中心为球心作 一个球面 利用高斯定理求出它们所产生的场强 对此球面高斯定理是否成立 答 由于此三个点电荷产生的电场不具有球对称性 在以三角形中心为球心所作的高 斯面上 各点的场强无论其大小还是与球面面元的夹角都不是常数 因此对上述球面 不能利用高斯定理求出它们所产生的场强 但高斯定理适用于一切静电场 故对此球 面高斯定理仍然成立 4 6 如果高斯面为空间任意闭合曲面 下列说法是否正确 请举一例加以论述 1 如果高斯面上电场强度处处为零 则该面内一定没有电荷 2 如果高斯面内无电荷 则高斯面上电场强度处处为零 3 如果高斯面上电场强度处处不为零 则该面内必有净电荷 4 如果高斯面内有净电荷 则高斯面上电场强度处处不为零 答 1 如果高斯面上电场强度处处为零 则该面内一定没有电荷 这句话不正确 因为高斯面上电场强度处处为零 能说明面内整个空间的电荷代数和为零 即高斯面 一定没有包围净电荷 则面内可以有电荷 只不过电荷的代数和为零 2 如果高斯面内无电荷 则高斯面上电场强度处处为零 这句话不正确 高斯面 内无电荷 只能说明通过高斯面的电通量为零 即穿出和穿入的电场线的数目一样多 而只要有穿出和穿入的电场线 面上该处的电场强度就不为零 3 如果高斯面上电场强度处处不为零 则该面内必有净电荷 这句话不正确 若 高斯面外有一点电荷 Q 高斯面内无电荷 此时高斯面上电场强度处处不为零 而面 内没有静电荷 4 如果高斯面内有净电荷 则高斯面上电场强度处处不为零 这句话不正确 若 在空间有一电偶极子 以正电荷为中心 以正负电荷的距离的一半为半径做一圆形高 斯面 则此高斯面内有净电荷 但正负电荷的连线与高斯面相交的一点电场强度为零 4 7 关于高斯定理以下说法对么 为什么 1 高斯面上各点的电场强度仅由高斯面内的 电荷决定 2 通过高斯面的电通量仅由高斯面内的电荷决定 答 1 高斯面上各点的电场强度仅由高斯面内的电荷决定的说法不正确 空间任 一点的电场强度应该是由空间所有的电荷在该点产生的电场强度的矢量和 而高斯面 是人为选取的 不能改变上述的叠加原理 所以高斯面上各点的电场强度应该是由高 斯面内外所有的电荷所决定的 2 通过高斯面的电通量仅由高斯面内的电荷决定的 这句话是正确的 高斯面外的电荷对电通量的贡献为零 所以通过高斯面的电通量仅 由高斯面内的电荷决定 4 8 以点电荷 为中心作一球形高斯面 讨论在下列几种情况下 穿过高斯面的电通量是q 否改变 1 将 移离高斯面的球心 但仍在高斯面内 2 在高斯面外附近放置 第二个点电荷 3 在高斯面内放置第二个点电荷 答 在 1 2 两种情况下穿过高斯面的电通量不发生改变 均为 在 3 0 q 种情况下穿过高斯面的电通量发生改变 应为两个电荷的代数和除 4 9 在真空中有两个相对放置的平行板 相距为 d 板面积均为 S 分别带电量 q 和 q 则两板之间的作用力大小为 C A B C D 220 4qd 20 qS 20 q 220 8d 4 10 有一个球形的橡皮气球 电荷均匀分布在表面上 在此气球被吹大的过程中 下列说 法正确的是 B A 始终在气球内部的点的场强变小 B 始终在气球外部的点的场强不变 C 被气球表面掠过的点的场强变大 4 11 带电粒子在均匀外电场中运动时 它的轨迹一般是抛物线 试问在何种情况下其轨迹 是直线 4 12 下列说法是否正确 请举一例加以论述 1 场强相等的区域 电势也处处相等 2 场强为零处 电势一定为零 3 电势为零处 场强一定为零 4 场强大处 电势一定高 答 1 不一定 场强相等的区域为均匀电场区 电场线为平行线 则沿着电场线 的方向 是电势降低的方向 而垂直电场线的方向 电势相等 例如无限大均匀带 电平板两侧为垂直板的均匀场 但离带电板不同距离的点的电势不相等 2 不正确 电势 U 是常数 但不一定是零 例如均匀带电E 0 球面内的场强为零 若取无穷远为电势零点 其球内电势不为零 3 不一定 但 U 的变化率不一定为零 即场强 E 不一定是 零 例如势函数 在 处电势为零 但此处的场强不为零 2Ux 1 4 不一定 场强大处 电势不一定高 例如负点电荷产生的电场 离E 电荷越近的点场强的值越大 但电势越低 取无穷远处电势为零 4 13 是否存在这样的静电场 其电场强度方向处处相同 而其大小在与电场强度垂直的方 向上逐渐增加 答 平行板电容器的电场强度方向处处相同 而其大小在与电场强度垂直的方向上逐 渐增加 4 14 在技术工作中常把整机机壳作为电势零点 若机壳未接地 能不能说机壳电势为零 人站在地上就可以任意接触机壳 若机壳接地则如何 答 若机壳未接地可以说机壳电势为零 但人站在地上不能任意接触机壳 因为机壳 与大地之间有电势差 若机壳接地可以把机壳作为电势零点 人站在地上可以任意接 触机壳 因为两者之间的电势差为零 4 15 两个不同电势的等势面是否可以相交 为什么 答 两个不同的等势面不能相交 因为相交点的场强就会有两个方向 这与任一点的 场强只有一个方向相矛盾 故两个不同电势的等势面不可以相交 4 16 在空间的匀强电场区域内 下列说法正确的是 C A 电势差相等的各等势面距离不等 B 电势差相等的各等势面距离不一定相等 C 电势差相等的各等势面距离一定相等 D 电势差相等的各等势面一定相交 4 17 面电荷密度为 的无限大均匀带电平面两侧场强为 而处于静电平衡的导体表0 2 面 该处表面面电荷密度为 附近场强为 为什么两者相差一倍 0 答 设导体表面某处面元 电荷面密度为 对于导体内外紧靠面元 的场点 面S S 元 可被看作无限大均匀带电平面 在它两侧紧靠面元的场点 上的电荷产生沿S 着其法线 大小为 的场强 和 设除面元 上电荷n 0 2 102En 102n 外的导体表面的其他电荷在上述场点产生的场强为 和 那它们与面元 上电 ES 荷的场强迭加结果应是使面元 内侧 导体内 场强为零 有S 即有 而导体表面的其他电荷在面元 1220EnE 20n 处附近的场强应具有连续性 有 所以紧靠面元 的导体外场点的场S 2ES 强为 和 的迭加 有 比 大了一倍 2 1100nn 102En 其原因是导体表面的其他电荷贡献的结果 4 18 若一带电导体表面上某点附近电荷面密度为 这时该点外侧附近场强为 如0 果将另一带电体移近 该点场强是否改变 公式 是否仍成立 0 E 答 该处场强改变 但场强与该处导体表面的面电荷密度的关系仍具有 的0 E 形式 只不过 将发生变化 因为另一带电体的移近会引起导体表面的电荷分布的变 化 4 19 把一个带电体移近一个导体壳 带电体单独在导体空腔内产生的电场是否为零 静电 屏蔽效应是怎样体现的 答 把一个带电物体移近一个导体壳 带电体单独在导体空腔内产生的电场并不为零 在把带电物体移近导体壳的过程中 导体空腔的外表面将出现感应电荷 感应电荷产 生的电场与带电体在导体空腔内产生的电场大小相等 方向相反 相互抵消 不管导 体壳外带电体的位置发生何种变化 因导体空腔的外表面感应电荷分布都会跟着变化 其结果是在导体壳空腔内两者的场强迭加始终保持为零 导体壳起到屏蔽外部电荷在 腔内的电场作用 同样 导体壳也会起到屏蔽腔内电荷在导体壳外面的电场作用 4 20 把一个带正电的导体 A 移近另一个接地导体 B 导体 B 是否维持零电势 B 上是否带 电 导体 A 的电势会如何变化 如果 A 带正电情况又如何 答 把一个带正电的导体 A 移近另一个接地导体 B 导体 B 维持零电势 B 上带有 感应的电荷 导体 A 的电势会越来越大 4 21 内外半径分别为 R1 和 R2 的同心金属薄球壳 如果外球壳带电量为 Q 内球壳接地 则内球壳上带电量为 C A 0 B C D Q QR21 R12 4 22 电动势与电势差有何区别与联系 答 电动势表示将单位正电荷经电源内部从负极移到正极过程中非静电力对其做的功 表征的是电源中非静电力做功的本领 是表征电源本身特征的量 电势差为恒定电场中两点之间的电势之差 表征的是单位正电荷在这两点间移动是恒 定电场力对其所做的功 反映的是恒定电场力对其做功的本领 4 23 两块平行的金属板相距为 用一电源充电 两极板间的电势差为 将电源断开 d U 在两板间平行地插入一块厚度为 的金属板 且与极板不接触 忽略边缘效应 l 两金属板间的电势差改变多少 插入的金属板的位置对结果有无影响 答 查入金属板后两金属板间的电势差为没有查入金属板的电势差的 倍 查入dl 的金属板的位置对结果没有影响 4 24 一带电为 Q 的导体球壳中心放一点电荷 q 若此球壳电势为 有人说 根据电0U 势叠加 任一距中心为 r 的 P 点的电势为 这说法对吗 如果不对 04r 那么各区域的电势是多少 答 这种说法不对 取无限远处为电势零点 则球壳外任一点的电势为 球壳内0U 距中心为 r 的 P 点的电势为 004URqr 4 25 电介质的极化和导体的静电感应微观过程有什么不同 答 处于外电场中的电介质表面出现束缚电荷的现象 叫电介质的极化 电介质的极 化是由于分子的电偶极子在外电场的作用下转向或相对位移而形成的 导体的静电感 应微观过程是在外电场与导体的共同作用下导体所带的电荷分布不随时间改变且导体 内的电场处处为零 而电介质极化时 内部始终存在两种电场 即外电场与极化束缚 电荷产生的电场 电介质内部任一点的电场都是这两种电场迭加而成 4 26 给平行板电容器充电后 在不拆除电源的条件下 给电容器充满介电常数为 的各 向同性均匀电介质 则极板上的电量变为原来未充电介质时的几倍 电场强度为原来 的几倍 若充电后拆除电源 然后充入电介质 情况如何 答 给平行板电容器充电后 在不拆除电源的条件下 给电容器充满介电常数为 的各向同性均匀电介质 则充入电介质前后 电容器的两个极板上的电势差保持不变 所以极板上的电量变为原来未充电介质时的 倍 电场强度不变 r 若充电后拆除电源 然后充入电介质 则极板上的电量不变 电场强度变为原来的 倍 r 1 4 27 真空中两个静电场单独存在时 它们的电场能量密度相等 现将它们叠加在一起 若 使它们的电场强度相互垂直或方向相反 则合电场的电场能量密度分别为多少 答 4 28 宇宙射线是高速带电粒子流 基本上是质子 它们交叉来往于星际空间并从各个方 向撞击着地球 为什么宇宙射线穿入地球磁场时 接近两磁极比其它任何地方都容易 答 因为地球磁场不均匀 除两极外的其他地方磁感应强度沿平行于地面的分量较强 而在两磁极附近磁感应强度近似与地面垂直 当宇宙射线从两极接近地球时 粒子流 的速度方向与磁场方向接近平行 所受的洛伦兹力很小 速度方向几乎不变 因此粒 子可从两极直射地球表面 4 29 考虑一个闭合的面 它包围磁铁棒的一个磁极 通过该闭合面的磁通量是多少 答 因为磁感应线总是闭合线 通过该闭合面的磁通量为零 4 30 磁场是不是保守场 为什么 答 磁场不是保守场 因根据磁场的安培环路定理 磁感应强度沿任一闭合曲线的环 流等于闭合曲线所围面积的电流的代数和的 倍 所以磁感应强度沿任一闭合曲线0 的环流一般不为零 所以磁场力为非保守力 磁场为非保守场 4 31 在无电流的空间区域内 如果磁力线是平行直线 那么磁场一定是均匀场 为什么 若存在电流 上述结论是否还对 答 在无电流的空间区域内 如果磁力线是平行直线 那么磁场一定是均匀场 作如 图所示的矩形环路 abcd 因为磁力线是平行直线 磁场沿直线一定具有平移对称性 ab 段上各点的磁感应强度应相等 同样 cd 段上各点的磁感应强度也应相等 由于该 区间无电流 由安培环路定理有 既有 0 cdBabldBabc cdabB 由于 ab 和 cd 的长度是任意选取的 所以垂直平行直线方向各处磁感应强度大小相等 由以上结论可以得出空间各处磁感应强度大小都相等的结论 若空间存在电流 上述结论不对 4 32 库仑电场公式与毕奥 萨伐尔定律表达式有何类似与不同之处 答 4 33 电流元 在磁场中某处沿直角坐标系的 轴方向放置时不受力 把这电流元转到Idl x 轴正方向时受到的力沿 轴负方向 此处的磁感应强度 方向如何 yzB 答 磁感应强度 方向沿 轴正方向 B x 4 34 试用毕奥 萨伐尔定律说明 一对镜像对称的电流元在其对称面上产生的合磁场方向 如何 答 由毕奥 萨伐尔定律可知 一对镜像对称的电流元在其对称面上产生的合磁场方 向是相反的 4 35 截面是任意形状的长直密绕螺线管 管内磁场是否是均匀场 其磁感应强度是否仍可 按照 计算 0BnI 答 管内磁场是均匀场 其磁感应强度仍按 计算 虽然截面是任意形状 0BnI 但对于长直密绕螺线管 它的电流分布对称性确定管内磁场一定是沿着管长方向且同 一磁力线上的磁感应强度相同 类似于截面为圆形的长直螺线管 可作一矩形回路 使其一边在管内且沿管内磁力线 利用安培环路定理可以证得管内是均匀场 且大小 为 0BnI 4 36 无限长螺线管外部磁场处处为零 这个结论成立的近似条件是什么 仅仅说 密绕螺 线管 条件够不够 4 37 能否利用磁场对带电粒子的作用力来增大粒子的动能 答 静磁场不能 因为静磁场对带电粒子的洛仑兹力 不做功 一直是和速fqvB 度垂直 它只改变速度的方向 不改变速度的大小 而变化的磁场可以 变化的磁场 产生电场 电场可对带电粒子做功以增大粒子动能 4 38 赤道处的地磁场沿水平面并指向北 假设大气电场指向地面 因而电场和磁场互相垂 直 我们必须沿什么方向发射电子 使它的运动不发生偏斜 答 欲使电子的运动不偏斜 要求它所受的落仑兹力与电场力大小相等方向相反 由 于大气电场指向地面 电子所受的电场力背离地面 因此要求洛仑兹力指向地面 即 向东发射电子 4 39 相互垂直的电场 和磁场 可做成一个带电粒子的速度选择器 它能使选定速度的E B 带电粒子垂直于电场和磁场射入后无偏转地前进 试叙述其中的基本原理 答 要想垂直于电场和磁场射入后的带电粒子无偏转地前进 电场力和磁场力必须大 小相等方向相反 所以 这带电粒子的速度 一定满足 带电粒子的v qEvB 速度方向一定是在垂直于 的平面内 其大小由 确定 E sinB sinE 为 与 的夹角 v B0 4 40 在电子仪器中 为了减弱与电源相连的两条导线的磁场 通常总是把他们扭在一起 为什么 答 两条导线中流有相反方向的电流 离开电源处的场是它们各自场的迭加 扭在一 起之后 它们靠得很近 在稍远处它们所产生的磁场就接近相等 并且方向相反 可 以互相抵消 从而使它们的合场减小到最小 可以避免对其他元件造成的影响 4 41 一个弯曲的载流导线在匀强磁场中应如何放置才不受磁场力的作用 答 由安培力的公式 可知 要使一个弯曲的载流导线在匀强磁场中dFIlB 不受磁场力只须使电流的方向与磁场的方向平行即可 4 42 两种磁介质的磁化与两种电介质的极化有何类似与不同之处 答 在外磁场的作用下 顺磁质的分子磁矩要转向外磁场方向 产生了磁化 而抗磁 质的分子没有固有磁矩 在外场的作用下产生一附加磁矩 产生了磁化 不管是顺磁 质还是抗磁质 磁化后都将在磁介质的表面上出现束缚电流 这一点与电介质的极化 是类似的 不管是有机分子电介质的取向极化还是无机分子电介质的位移极化都是在 电介质的表面出现了束缚电荷 顺磁质与抗磁质磁化后磁性较弱 且外磁场撤消后磁性会随之消失 虽然两种电介质 撤消外电场后极化电荷也将随之消失 但对于两种电介质来说 外电场越强 极化电 荷就越多 介质被极化的程度就越高 4 43 将磁介质样品装入试管中 用弹簧吊起来挂到一竖直螺线管的上端开口处 如图 4 88 所示 当螺线管通电流后 则可发现随样品的不同 它可能受到该处不均匀磁场向上 或向下的磁力 这是一种区分样品是顺磁质还是抗磁质的精细的实验 试述其基本原 理 答 如果是顺磁质 在外磁场中会产生与外磁场方向一致的磁化场 如果是抗磁质 在外磁场中会产生与外磁场相反方向的磁化场 根据题意 图示样品受到向上的磁力 可以判断出该样品为抗磁质 4 44 一导体圆线圈在均匀磁场中运动 在下列各种情况下哪些 会产生感应电流 为什么 1 线圈沿磁场方向平移 2 线圈沿垂直磁场方向平移 3 线圈以自身的直径为轴转动 轴与磁场方向平行 4 线圈以自身的直径为轴转动 轴与磁场方向垂直 答 一导体圆线圈在均匀磁场中运动 若圆线圈中有磁通量的 变化 线圈中就有 感应电动势 就有感应电流 1 当线圈沿磁场方向平移时 线圈中的磁通量不变 故线圈中无感应电流 2 当线圈沿垂直磁场方向平移时 线圈中的磁通量不变 故线圈中无感应电流 3 当线圈以自身的直径为轴转动时 轴与磁场方向平行 线圈中的磁通量为零 故无感应电流 4 当线圈以自身的直径为轴转动时 轴与磁场方向垂直 此时线圈平面与磁场 之间有一定的夹角 随着夹角的变化线圈中的磁通量也随之变化 故在线圈 中会产生感生交变电流 4 45 感 应 图 4 88 问题 4 43 用 图 高频电磁炉 图 4 90 问题 4 46 用图图 4 89 问题 4 45 用图 电动势的大小由什么因素决定 如图 4 89 所示 一个矩形线圈在均匀磁场中以匀角 速 旋转 试比较当它转到图示两个位置时感应电动势的大小 并判断感应电动势的 方向 答 感应电动势的大小是由线圈中的磁通量随时间的变化率所决定的 线圈中的磁通 量为 感应电动势为 是线圈平面和磁场之间cosBSt sinBSt t 的夹角 在左图中 故电动势有最大值 右图中 故2 0 0 左图中感应电动势的方向是沿线圈逆时针方向 4 46 熔化金属的一种方法是用 高频炉 它的主要部件是一个铜制线圈 线圈中有一坩 埚 埚中放待熔的金属块 如图 4 90 所示 当线圈中通以高频交流电时 埚中金属 就可以被熔化 这是什么缘故 答 当坩埚外缘绕有的线圈中通以高频交流电时 使锅中待熔的金属块处于高频交变 磁场中 在金属块内部形成自闭合的很强的感应涡电流 这种涡电流在金属块内部的 热效应使金属块自身熔化 4 47 将尺寸完全相同的铜环和铝环适当放置 使通过两环内的磁通量的变化率相等 这两 个环中的感应电流及感生电场是否相等 为什么 答 通过尺寸完全相同的铜环和铝环的磁通量的变化率相等 即两环的感应电动势相 同 但由于两环的电阻不同 则感应电流不相同 在同样环路中激发的感生电场相同 因为 同样的环路 同样的磁场变化率 环路中的感生电llBEdst A 场相同 4 48 一块金属在均匀磁场中平移 金属中是否会有涡流 若在均匀磁场中旋转 情况如何 答 一块金属在均匀磁场中平移 只会使金属两端 之间出现一电势差 不会出现涡流 一块金属在均 匀磁场中旋转 将使金属表面与转动的轴线之间出 现一电势差 也不会出现涡流 4 49 如图 4 91 所示 均匀磁场被限制在半径为 的无限长圆柱内 磁场随时间作线性变R 化 现有两个闭合曲线 为一圆周 与 为一扇形 问 1 与 上每一点1L2L1L2R图 4 91 问题 4 49 用图 O 1L2 的 是否为零 感生电场 是否为零 与 是否为零 2 dBt E 1LEdl A 2Ldl 若 与 为均匀导体回路 则回路中有无感应电流 1L2 答 4 50 动生电动势和感生电动势有何类似与不同之处 答 当导体回路整体或局部运动 而外磁场不变时 导体中的自由电子受磁场的洛仑 兹力作用 它可以被看作是一种等效 非静电场 的作用 在导体上产FevB 生的电动势称为动生电动势 当导体回路静止 外磁场变化时 穿过它的磁通量发生变化 回路内产生的电动势称 为感生电动势 一般情况下 导体回路中既有动生电动势也有感生电动势 不管动生电动势还是感生电动势都会引起回路所围面积的磁通量的变化 动生电动势 的根源是切割磁力线 感生电动势的根源是磁场的变化 4 51 一个线圈自感系数的大小由哪些因素决定 怎样绕制一个自感为零的线圈 答 一个线圈的自感系数的大小为 由线圈的匝数 体积以及相对磁导率LnV2 来决定 将一条导线折成平行的两条绕在较薄的绝缘板上 这时各段导线上电流产生 的磁场相互抵消 自感为零 4 52 一段直导线在均匀磁场中作如图 4 92 所示的四种运动 在哪种情况下导线中有感应 电 动 势 为 什 么 感应电动势的方向是怎样的 答 a c 中有感应电动势 电动势的方向均由下指向上 b d 中没有感应 电动势 由动生电动势的公式 可以判断出 a c 中有电动势 lvBdl 同理 可判断出 b 中 的方向与 的方向垂直 故 b 中无电动势 d 中v 图 4 92 问题 4 52 用图 a b c d 与 方向在一条直线上 故 d 中无电动势 v B 4 53 什么叫位移电流 什么叫传导电流 试比较两者的不同之处 答 位移电流是电位移通量的变化率 即 传导电流是电荷运动形dsIDSt 成的电流 位移电流实质上是变化的电场 并不是电荷的运动 在电介质内部 位 移电流中确有一部分是束缚电荷的定向运动 除了在产生磁场方面与传导电流等效 外 与传导电流无其他共同之处 4 54 下面的说法中正确的是 A 仅与传导电流有关 H B 不论抗磁质或顺磁质 总与 同向 B H C 通过以闭合曲线 为边线的任意曲面的 通量均相等 L D 通过以闭合曲线 为边线的任意曲面的 通量均相等 4 55 什么是玻印亭矢量 它与电场和磁场有什么关系 答 电磁波的能流密度矢量叫玻印亭矢量 它和电场与磁场的关系是 SEB01 4 56 给平行板电容器充电时 玻印亭矢量指向电容器内部 为什么 如果给电容器放电 情况又如何 答 电磁场的能流密度矢量 玻印亭矢量 的方向代表能量的传播方SEH 向 大小等于单位时间内流过与能量传播方向垂直的单位横截面的能量 所以给平行 板电容器充电时 玻印亭矢量指向电容器内部 放电时指向电容器外边 4 57 电磁波的能量中电能和磁能各占多少 答 4 58 麦克斯韦方程组中各方程的物理意义是什么 答 是电场的高斯定理 说明总的电场和电荷的关系 SVDds A 是磁场的高斯定理 磁场是无源场 说明目前自然界中没有单一的 磁sB0 荷 存在 是法拉第电磁感应定律 说明总的电场和磁场的关系 包含变lsEdt 化的磁场激发电场的规律 是一般形式下的安培环路定理 说明磁场和电流以及变化 lsDHdjdst A 电场的联系 包含变化的电场激发磁场的规律 4 59 真空中静电场的高斯定理和电磁场的高斯定理具有完全相同的形式 试问在理解上两 者有何区别 答 静电场的高斯定理 说明了静电场是有源场 指出了电荷与SVDds A 电场的关系 一般电磁场中包括静电场与感生电场 感生电场是无源场 所以对于电磁场的高斯定理就和静电场的高斯定理具有相同的形式 SDds0 A 4 60 对于真空中稳恒电流的磁场和一般电磁场都满足 在理解上有何不同 0BdS A 答 对于真空中稳恒电流的磁场的高斯定理为 说明稳恒电流的磁场是 无源场 一般电磁场包括稳恒电流的磁场和变化电场空间中的磁场 变化电场的磁场 也是无源场 所以一般电磁场也满足 0BdS 习 题 4 1 两个相距 的静止点电荷 带电量均为 1 库仑 求它们之间相互作用力的大小 1m 解 由库伦定律可得 两电荷之间相互作用力的大小为 NrqF 921201 10 085 434 4 2 两个固定的点电荷 相距为 带电量分别为 和 试问在何处放一个何种电荷可lq4 以使这三个电荷达到平衡 解 三个电荷平衡时 每个电荷都受到两个大小相等方向相反的力 由已知条件得 应该 在两固定点电荷连线之间放一个带负电的电荷 设其电量为 q 与 q 的距离为 r 0 r l q 受力平衡 由库伦定律有 结合 可得 2020 4rlqrq lr 0l31 q 受力平衡 由库伦定律有 可得 2020lr q94 故要使这三个电荷达到平衡应该在两固定电荷连线之间距带电量为 q 的电荷 处放一l31 带电量为 的电荷 q94 4 3 两个相距为 的点电荷带电量均为 试求在它们连线的中垂面上离连线的中点距2lq 离为 处的电场强度 如果 结果如何 rrl 解 P 点到两个带电量均为 q 的点电荷的距离都是 2lr 所以两个点电荷在 P 点产生的场强大小相等 即 20214lrE 但方向不同 场点 P 的场强 其两个分量 和21E x 分别等于 和 在 x y 方向投影的代数和 根据对称y1 2 性可以看出 故 P 点场强大小为 sin 01Eyx 2 3202201 4sin2 lrqlrlqy 方向沿 y 轴正方向 如果 可忽略 的高次项 有lr l 202 320 rqlrqE 4 4 半径为 的半圆环均匀带电 线电荷密度为 求其环心处的电场强度 R 解 建立如图所示的坐标系 在半圆环上取一 小段圆弧 其长度为 Rd 则其带电量为 dq 此段圆弧在环心 O 点产生的电场强度为 RE0204 由半圆环的对称性可知 O 点的电场强度 沿 yE 轴负方向 所以有 dRdEy sin4sin0 故环心处的电场强度大小 q q l l x y r E1E2 P x dq y dE dEy dEx O RdRdEyy 002sin4 4 5 两个点电荷相距为 带电量分别为 和 求在下列两种情况下两点电荷连线上1q 电场强度为零的一点的位置 1 两电荷同号 2 两电荷异号 解 1 两电荷同号时 在其连线外侧电场强度方向相同 内侧电场强度方向相反 故电 场强度为零的点在两电荷连线内侧 设该点与 距离为 由场强叠加原理有1q 0 1 r 可得0 4210210 rdqr 21qd 2 两电荷异号时 在其连线内侧电场强度方向相同 外侧电场强度方向相反 故电场强 度为零的点在两电荷连线外侧 如果该点在 外侧 设与 距离为 由场强叠1q1 0 2 r 加原理有 可得0 420201 rdqr 12qdr 如果该点在 外侧 同上可得电场强度为零的点与 的距离2 212qdr 讨论 若 则 和 的分母均为零 不存在电场强度为零的点 21q r2 若 则 故电场强度为零的点在 外侧 处 21 01 2 2q21qd 若 则 故电场强度为零的点在 外侧 处 21q1r2 112 4 6 电荷 均匀地分布在长为 的一段直线上 试求在直线的延长线上距线的中点Ql r 处的电场强度 rl 解 建立如图所示的坐标系 在带电直线 上取电荷元 它在 Odxldq2 点产生的电场强度大小为 20204xE 因为任一电荷元在 O 点产生的电场强度的方向相同 所以整个带电直线在 O 点产生的 电强度大小为 O dx r lx 2l 42020lrQxdElr 故 ilrQ 420 4 7 一无穷长均匀带电线弯成如图 4 93 所示的形状 求圆心 处的电场强度 O 解 参考习题 4 4 可得 半圆环在圆心 O 处的电场强度大小 为 R 为半圆环的半径 方向水平向右 下面我们02 来计算剩下部分在 O 点产生的场强 建立如图所示的坐 标系 在带电直线上取电荷元 它在 O 点产生dxq 的电场轻度大小为 42020RxrdqE 由带电线的对称性可知 O 点的电场强度 沿 轴负方向 所以有E x2 320220 4 4cos RxdRxddx 所以剩下部分在 O 点产生的场强大小 xExx 002 32 方向水平向左 与半圆环在圆心 O 处的电场强度大小相等方向相反 故整个带电线在圆心 O 处的电场强度为 0 4 8 在场强为 的均匀静电场中 取一半径为 的半球面 的方向和半球面的轴平行 RE 如图 4 94 所示 试求通过该半球面 的电通量 若以半球面的边线为边线 另作一1S 个任意形状的曲面 则通过 面的电通量又是多少 2S2 解 由 和以 为半径的大圆面 组成一个封闭曲面 由高1SR0 斯定理知 0 iSqdE 而 O 图 4 93 习题 4 7 用图 O O x dx R dE dEx 图 4 94 习题 4 8 用图 E S1 S 2 R O 10 0SSSdEdE 所以通过 的电通量1 ERSS210 同理 由 和以 为半径的大圆面 组成一个封闭曲面 则可得通过 的电通量2RS 2SdESS220 4 9 两个同心均匀带电球面 半径分别为 和 带电量分别为 和 1R2 12 q 试分别用场强叠加原理和高斯定理求其电场分布 解 1 场强叠加原理 两个带电球面在空间的电场分布分别为 和 04121RrqE 0422RrqE 由场强叠加原理可知 空间任一点场强为两个带电球面单独存在时在该点产生的电场强度 的矢量和 所以空间的电场为 04212RrqE或 2 高斯定理 由题意可知 两个同心均匀带电球面的电荷分布具有以自 身球心为中心的球对称性 它产生的电场一定是以球心为 中心的球对称性电场 因此 取通过空间任一点 并与带P 电球面同心的 半径为 的球面为高斯面 r 当 点在 内时 高斯面内没有电荷 当 点在P1R1 两球面之间时 高斯面内电荷为 当2rq 点在两球面 外时 高斯面内电荷为 根据静电场的高斯定理 2R 0 有 04212rqEre 或 由此可得所求的场强分布为 R1 R2r P 04212RrqE或 4 10 电荷 均匀地分布在半径为 的球体内 求其电场分布 若在该球内挖去一部分电Q 荷 挖去的体积是一个小球体 试证明挖去电荷后空腔 内的电场是均匀场 解 设挖去球体半径为 空腔内场强可视为半径为 电rR 荷体密度为 的带电球体 与半径为 电荷体密度为 r 的带电球体所产生的电场的叠加 其中 3 4Q 在空腔内任取一点 由高斯定理可得 半径为 的带电球P 体在 点的产生场强大小为 3012103144RPOE 方向沿 方向 所以PO1 PRQE13014 半径为 的带电球体在 点的产生场强大小为r 302203244OP 方向沿 方向 所以2PO2304RQE 则 点场强为 2130213021 4 ORQPO 由题意可知 为常矢量 且 为空腔内任一点 所以空腔内的电场是均匀场 21O 4 11 内外半径分别为 和 的球壳均匀带电 体电荷密度为 求其电场分1R2 12 布 o1 o2 P 解 由题意可知 均匀带电球壳的电荷分布具有以自身球心为中心的 球对称性 它产生的电场一定是以球心为中心的球对称性电场 因此 取通过空间任一点 并与带电球面同心的 半径为 的球面为高斯面 Pr 当 点在 内时 高斯面内没有电荷 当 点在两球面之1R1r P 间时 高斯面内电荷为 当 点在两2 3431Rr 球面 外时 高斯面内电荷为 根据静电场的高斯定理 有2r 2 34 0423120312 RrrEre 由此可得所求的场强分布为 3 201231RrrrE 4 12 半径为 的无限长直圆柱体均匀带电 体电荷密度为 求其电场分布 R 解 根据电场的轴对称分布 作一与圆柱体同轴的半径为 长为 的闭合圆柱面为高斯面 rl 由高斯定理有 当 时r lrlESde 2012 r0 当 时Rr lRlrESde 2012 r0 若 的方向沿径向向外 若 的方向沿径向指向轴线 E 0 E R1 R2r P 4 13 两个半径分别为 和 的无限长同轴圆柱面 带有等值异号电荷 电荷1R2 12 线密度为 和 求其电场分布 解 根据电荷的轴对称分布可知电场应是轴对称分布的 以圆柱面轴线为轴 作一半径为 高为 的闭合圆柱面为高斯面 由高斯定理有rl 1 区域1R 02 lrESde 0 2 区域21r lrESde 012 r0 3 区域2Rr 0 120 llrESde 0 4 14 两个无限大的平行平面都均匀带电 在下列两种情况下求其电场分布 1 电荷面密度 均为 2 电荷面密度分别为 和 解 取电荷面密度为 的平面为研究对象 由该平面电荷 分布的对称性可知该平面单独在空间产生的电场具有面对 称性 即平面两侧对称点处的场强大小相等 沿带电平面 具有平移对称性 与带电平面平行平面上场强应相等 因 此 取一个轴垂直于带电平面的圆柱面为高斯面 且被带 电平面平分 如图所示 设圆柱面的两个底面面积为 S 由于其侧面电通量为零 所以通过整个高斯面的电通量为 EdESdESSe 22 圆柱面在带电面上截取的面积也为 因此圆柱面内包围的电量为 根据高斯定理 S 有 SEe 02 得 E E S 02 E 如果电荷面密度大于零 场强方向应与带电平面垂直并指向两侧 如果电荷面密度小 于零 场强方向应与带电平面垂直并指向平面 根据场强叠加原理可得 1 电荷面密度均为 时 在两平面内侧 两平面各自产生的场强大小相等 方向相反 和场强 在两平面外侧 两平面各自产生的场强大小相等 方向相同 和场强0 E 方向与带电平面垂直并指向两侧 0 2 电荷面密度分别为 和 时 在两平面外侧 两平面各自产生的场强大小相等 方向相反 和场强 在两平面内侧 两平面各自产生的场强大小相等 方向相同 0 和场强 方向与带电平面垂直并由带电量为 的平面指向带电量为 的平面 0 E 4 15 把单位正电荷从电偶极子轴线的中点沿任意路径移到无限远处 求静电力对它所作的 功 解 设电偶极子两电荷电量分别为 和 距离为 选取无穷远处为系统的电势零点 q l 则两电荷在电偶极子轴线的中点的电势分别为 llqU002 4 lqlU002 4 由电势叠加原理 电偶极子在其轴线的中点的电势为 故把单位正电荷从电偶极子轴线的中点沿任意路径移到无限远处 求静电力对它所作的功 为 01 UA 4 16 如图 4 95 所示 长为 是以 为圆心 为半径的半圆 点有正电B2lOCD