因式分解拔高题专项练习

因式分解的 八个注意 事项及 课本未拓展的 五个的方法 在因式分解这一章中 教材总结了因式分解的四个步骤 可概括为四句 话 先看有无公因式 再看能否套公式 十字相乘试一试 分组分解要合适 然而在初学因式分解时 许多同学在解题中还是会出现一些这样或那样的错误 或者都学透了 但是试卷上给出的题目却还是不会分解 本文提出以下 八个 注意 事项及 五大课本未总结的方法 以供同学们学习时参考 一 八个注意 事项 一 首项有负常提负 例 1 把 a 2 b 2 2ab 4 分解因式 解 a 2 b 2 2ab 4 a 2 2ab b 2 4 a b 2 a b 2 这里的 负 指 负号 如果多项式的第一项是负的 一般要提出负 号 使括号内第一项系数是正的 防止出现诸如 a 2 b 2 a b a b 的错误 二 各项有公先提公 例 2 因式分解 8a4 2a 2 解 8a 4 2a 2 2a2 4a2 1 2a 2 2a 1 2a 1 这里的 公 指 公因式 如果多项式的各项含有公因式 那么先提取 这个公因式 再进一步分解因式 防止出现诸如 4a4 a2 2a 2 a 2a 2 a 而又 不进一步分解的错误 三 某项提出莫漏 1 例 3 因式分解 a3 2a2 a 解 a 3 2a2 a a a2 2a 1 a a 1 2 这里的 1 是指多项式的某个整项是公因式时 先提出这个公因式后 括号内切勿漏掉 1 防止学生出现诸如 a3 2a2 a a a2 2a 的错误 四 括号里面分到 底 例 4 因式分解 x4 3x 2 4 解 x 4 3x2 4 x 2 4 x 2 1 x 2 4 x 1 x 1 这里的 底 指分解因式 必须进行到每一个多项式因式都不能再 分解为止 即分解到底 不能半途而废的意思 其中包含提公因式要一次性提 干净 不留 尾巴 并使每一个括号内的多项式都不能再分解 如上例 中许多同学易犯分解到 x4 3x2 4 x 2 4 x 2 1 而不进一步分解的错误 因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中 与因式分解 的四个步骤是一脉相承的 五 各式之间必须是连乘积的形式 例 5 分解因式 x2 9 8x 解 x 2 9 8x x 2 8x 9 x 1 x 9 这里的 连乘积 是指因式分解的结果必须是几个整式的连乘积的形式 否则不是因式分解 有些同学只注意到前两项运用平方差公式 得 x 3 x 3 8x 结果从 形式上看右式不是乘积形式 显然是错误的 正解应是 原式 x2 8x 9 x 1 x 9 六 数字因数在前 字母因数在后 例 6 因式分解 xx27183 解 3x x2 6x 9 3x x 3 2 这里的 数字因数在前 字母因数x23 在后 指分解因式中不能写成 x3 x2 6x 9 x3 x 3 2xx7183 七 单项式在前 多项式在后 例 7 因式分解 3xy 解 xy x2 y2 xy x y x y 这里的 单项式在前 多项式在后 3yx 指分解因式中不能把单项式写在后面 即不能写成 x2 y2 xy x y 3xy x y xy 八 相同因式写成幂的形式 例 8 因式分解 x4y x2y3 解 x 4y x2y3 x2y x2 y2 x2y x y x y 这里的 相同因式写成幂的形式 指分解因式中不能相同的因式写成乘的形式 而应该写成幂的形式 即不能写 成 x4y x2y3 x2y x2 y2 xxy x y x y 二 课本未拓展的五个的方法 以下五个方法是因式分解中比较难的一些 需要大家熟练掌握因式分解 基本方法 1 提公因式 2 公式法 平方差公式 完全平方公式及常用 公式 3 十字相乘 只有熟练掌握了以上三种方法 你才能更好的理解这五 种拓展方法 一 巧拆项 在某些多项式的因式分解过程中 若将多项式的某一项 或几项 适当拆成几项的代数和 再用基本方法分解 会使问题化难为易 迎刃而解 例 1 因式分解 3242 ba 解析 根据多项式的特点 把 3 拆成 4 1 则 42 ba 12 4 1422 ba 1 1 2 ba 例 2 因式分解 63xx 解析 根据多项式的特点 把 拆成 把 拆成224x1x38 则 6123 xx 63 8 3 x 2 2 4 xxx 二 巧添项 在某些多项式的因式分解过程中 若在所给多项式中加 减相同的项 再用基本方法分解 也可谓方法独特 新颖别致 例 3 因式分解 4yx 解析 根据多项式的特点 在 中添上 两项 4yx224 yx 则 4yx 22 2 2yx 例 4 因式分解 43 解析 根据多项式的特点 将 拆成 再添上 两项 则2x 24x x4 432 x44223 xx 1 21x 三 巧换元 在某些多项式的因式分解过程中 通过换元 可把形式复 杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式 会使问题化繁为简 迅捷获解 例 5 因式分解 24 6 43 22 xx 解析 2 24 3 1 x 1 1 22 xxx 设 则 2 y 02 y 于是 原式 62 42 6 4104 10 2 xxy 83 8 622 xxx 例 6 因式分解 1 2 yy 解析 设 则nxmy 2 1 2 yx 2 nm 1 n 2222 1 yxyxyxm 四 展开巧组合 若一个多项式的某些项是积的形式 直接分解比较困 难 则可采取展开重组合 然后再用基本方法分解 可谓匠心独具 使问题巧 妙得解 例 7 因式分解 22nmxyn 解析 将多项式展开再重新组合 分组分解 22nmxyn 222xynmnyx 2 nymxmx 例 8 因式分解 22 yxyx 解析 2 mn 222 yxnynx 222 myxm 2y 五 巧用主元 对于含有两个或两个以上字母的多项式 若无法直接分 解 常以其中一个字母为主元进行变形整理 可使问题柳暗花明 别有洞天 例 9 因式分解 xyyx2324 解析 将多项式以 为主元 进行整理 yx324 23 42 x 1 2yxx 例 10 因式分解 abccbacba22 解析 这是一个轮换对称多项式 不妨以 为主元进行整理cba222 cbb 22cc 2bcaab bacc