高三数学压轴小题训练(十)

高三数学小题冲刺训练（十）姓名：_班级：_考号：_一、填空题（共16小题，每小题5分，共计80分） 1集合x|1log10，xN*的真子集的个数是 2复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，z2的实部为零，z1的辐 角主值为，则z2=_ 3.曲线C的极坐标方程是=1+cos，点A的极坐标是(2,0)，曲线C在它所在的平面内绕A 旋转一周，则它扫过的图形的面积是_4.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是_5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每 面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_种(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同)6.在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为_7. 若,则= .8. 在复数集C内,方程的解为 .9. 设，求数x的个位数字.10. 设，则集合A中被7除余2且不能被57整除的数的个数为_.11. 设P是抛物线上的动点,点A的坐标为,点M在直线PA上,且分所成的比为2:1,则点M的轨迹方程是 .12.为上在轴两侧的点，过的切线与轴围成面积的最小值为_13.为边长为的正五边形边上的点则最长为_14. 正四棱锥S-ABCD中，侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，侧面等腰三角形的底角为，相邻两侧面所成的二面角为，则、的大小关系是_15. 在数1和2之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记为An，令an=log2An，nN（1） 数列An的前n项和Sn为_（2）Tn=tana2tana4+tana4tana6+tana2ntana2n+2=_16.已知数列A：a1，a2，an（n3），令TA=x|x=ai+aj.1ijn，car（TA）表示集合TA中元索的个数若A：2，4，8，16，则card（TA）=_；若ai+1-ai=c（c为非零常数1in-1），则card（TA）=_参考答案1. 解 由已知，得logx1011lgx210x100故该集合有90个元素其真子集有290-1个2. 解：z1满足|zi|=1；argz1=，得z1=+i，=cos()+isin()设z2的辐角为(0)，则z2=2sin(cos+isin)z2=2sincos()+isin()，若其实部为0，则=，于是=z2=+i3. 解：只要考虑|AP|最长与最短时所在线段扫过的面积即可设P(1+cos，)，则|AP|2=22+(1+cos)222(1+cos)cos=3cos22cos+5=3(cos+)2+且显然|AP|2能取遍0，内的一切值，故所求面积=4. 解：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a，侧棱为b取CD中点G，则AGCD，EGCD，故AGE是二面角ACDE的平面角由BDAC，作平面BDF棱AC交AC于F，则BFD为二面角BACD的平面角AG=EG=，BF=DF=，AE=2=2由cosAGE=cosBFD，得= =9b2=16a2，b=a，从而b=2，2a=3AE=2即最远的两个顶点距离为35. 解：至少3种颜色：6种颜色全用：上面固定用某色，下面可有5种选择，其余4面有(41)!=6种方法，共计30种方法；用5种颜色：上下用同色：6种方法，选4色：C(41)! =30；6302=90种方法；用4种颜色：CC=90种方法用3种颜色：C=20种方法共有230种方法6. 解：把圆心平移至原点，不影响问题的结果故问题即求x2+y2=1992的整数解数显然x、y一奇一偶，设x=2m，y=2n1且1m，n99则得4m2=1992(2n1)2=(198+2n)(2002n)m2=(99+n)(100n)(n1)(n) (mod 4)由于m为正整数，m20，1 (mod 4)；(n1)(n)二者矛盾，故只有(0，199)，(199，0)这4解 共有4个(199，199)，(0，0)，(398，0)7. 由,得,有,即.则,原式=.8. 设,代入原方程整理得有,解得或,所以或.9. 直接求x的个位数字很困难，需将与x相关数联系，转化成研究其相关数.【解】令，由二项式定理知，对任意正整数n. 为整数，且个位数字为零.因此，是个位数字为零的整数.再对y估值，因为， 且，所以 故x的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.10. 解：被除余的数可写为. 由.知. 又若某个使能被57整除，则可设=57n. 即. 即应为7的倍数. 设代入，得. . m=0,1.于是所求的个数为11. 设点P,M,有,得,而,于是得点M的轨迹方程是.【解析】 12.不妨设过点的切线交轴于点，过点的切线交轴于点，直线与直线相交于点如图设，且有由于，于是的方程为；的方程为 联立的方程，解得对于，令，得；对于，令，得于是不妨设，则 不妨设，则有 6个 9个 又由当时，处的等号均可取到注记：不妨设，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解由知当时；当时则在上单调减，在上单调增于是当时取得最小值13.以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系当中有一点位于点时，知另一点位于或者时有最大值为；当有一点位于点时，；当均不在轴上时，知必在轴的异侧方可能取到最大值（否则取点关于轴的对称点，有）不妨设位于线段上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使最大的点必位于线段上且当从向移动时，先减小后增大，于是；对于线段上任意一点，都有于是由，知不妨设为下面研究正五边形对角线的长如右图做的角平分线交于易知于是四边形为平行四边形由角平分线定理知解得14. 15.16. 6；2n-3