二次函数典型例题及练习题

1 二次函数 专题一 二次函数的图象与性质 考点 1 二次函数图象的对称轴和顶点坐标 例 1 已知 在同一直角坐标系中 反比例函数 与二次函数 的图像交于点5yx 2yxc Am 1 求 的值 c 2 求二次函数图像的对称轴和顶点坐标 考点 2 抛物线与 a b c 的关系 例 2 已知 的图象如图 1 所示 则 的图象一定过 2yx yaxb A 第一 二 三象限 B 第一 二 四象限 C 第二 三 四象限 D 第一 三 四象限 考点 3 二次函数的平移 例 3 把抛物线 y 3x2 向上平移 2 个单位 得到的抛物线是 A y 3 x 2 2 B y 3 x 2 2 C y 3x2 2 D y 3x2 2 专题练习一 1 对于抛物线 y x2 x 下列说法正确的是 13 06 A 开口向下 顶点坐标为 5 3 B 开口向上 顶点坐标为 5 3 C 开口向下 顶点坐标为 5 3 D 开口向上 顶点坐标为 5 3 2 若抛物线 y x2 2x c 与 y 轴的交点为 0 3 则下列说法不正确的是 A 抛物线开口向上 B 抛物线的对称轴是 x 1 C 当 x 1 时 y 的最大值为 4 D 抛物线与 x 轴交点为 1 0 3 0 3 将二次函数 y x2 的图象向左平移 1 个单位长度 再向下平移 2 个单位长度后 所得图象的函数 表达式是 2 4 小明从图 2 所示的二次函数 的图象中 观察得出2yaxbc 了 下面五条信息 0c c 0 230ab 你认为其中正确信息的个数有 填序号 4c 5 函数 Y X2 2X 3 2 X 2 的最大值和最小值分别是 6 已知二次函数 y x2 bx 8 的最大值为 8 则 b 的值为 7 已知函数 y x2 x 12 当函数 y 随 x 的增大而减小时 x 的取 值范围是 1 专题二 二次函数表达式的确定 考点 1 根据实际问题模型确定二次函数表达式 例 1 如图 1 用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙 墙 的长度不限 的矩形菜园 设 边长为 米 则菜园的ABCDx 面积 单位 米 与 单位 米 的函数关系式为 y2x 不要求写出自变量 的取值范围 考点 2 根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式 1 若已知抛物线上三点的坐标 则可用一般式 y ax 2 bx c a 0 2 若已知抛物线的顶点坐标或最大 小 值及抛物线上另一个点的坐标 则可用顶点式 y a x h 2 k a 0 3 若已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标及另一个点 则可用交点式 y a x x 1 x x 2 a 0 例 2 已知抛物线的图象以 A 1 4 为顶点 且过点 B 2 5 求该抛物线的表达式 例 3 已知一抛物线与 x 轴的交点是 A 2 0 B 1 0 且经过点 C 2 8 1 求该抛物线的解析式 2 求该抛物线的顶点坐标 专项练习二 1 由于世界金融危机的不断蔓延 世界经济受到严重冲击 为了盘活资金 减少损失 某电器商场决 定对某种电视机连续进行两次降价 若设平均每次降价的百分率是 x 降价后的价格为 y 元 原价为 a 元 图 2 2 10yx3 A B CD 图 1 菜园 墙 3 则 y 与 x 之间的函数表达式为 A y 2a x 1 B y 2a 1 x C y a 1 x 2 D y a 1 x 2 专题三 二次函数与一元二次方程的关系 考点 1 根据二次函数的自变量与函数值的对应值 确定方程根的范围 一元二次方程 ax2 bx c 0 就是二次函数 y ax2 bx c 当函数 y 的值为 0 时的情况 例 1 根据下列表格中二次函数 y ax2 bx c 的自变量 与函数值 的对应值 判断方程xy ax2 bx c 0 a 0 a b c 为常数 的一个解 的范围是 xx 6 17 6 18 6 19 6 202yabc 0 3 0 1 0 20 4 6 17x 6178x 89 9 2 考点 2 根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根 二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴的交点有三种情况 有两个交点 一个交点 没有交点 当二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴有交点时 交点的横坐标就是当 y 0 时自变量 x 的值 即一元二次方程 ax2 bx c 0 的根 例 2 已知二次函数 y x2 3x m 的部分图象如图 1 所示 则关于 x 的一元二次方 程 x 2 3x m 0 的解为 练习 已知抛物线 y x2 x 15 1 用配方法求它的顶点坐标和对称轴 2 若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A B 求线段 AB 的长 考点 3 抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况 例 3 在平面直角坐标系中 抛物线 与 轴的交点的个数是 21yx A 3 B 2 C 1 D 0 专项练习三 1 抛物线 y kx2 7x 7 的图象和 x 轴有交点 则 k 的取值范围是 2 已知二次函数 的部分图象如图 2 所示 则关于 的一元二2ym x 次方程 的解为 20 x yxO1 图 2 yxO32 4 图 1 4 3 已知函数 2yaxbc 的图象如图 3 所示 那么关于 x的方程 20abxc 的根的情况 是 A 无实数根 B 有两个相等实数根 C 有两个异号实数根 D 有两个同号不等实数根 4 不论 x 为何值 函数 y ax2 bx c a 0 的值恒大于 0 的条件是 A a 0 0 B a 0 0 C a 0 0 D a 0 0 5 二次函数 的图象如图 4 所示 根据图象解答下列问题 2 0 yaxbc 1 写出方程 的两个根 2 2 写出不等式 的解集 0axbc 3 写出 随 的增大而减小的自变量 的取值范围 yx 4 若方程 有两个不相等的实数根 求 的取值范围 2k k 专题四 二次函数的应用 例 4 某产品每件成本 10 元 试销阶段每件产品的销售价 x 元 与产品的日销售量 y 件 之间的关 系如下表 x 元 15 20 30 y 件 25 20 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 1 求出日销售量 y 件 与销售价 x 元 的函数关系式 2 要使每日的销售利润最大 每件产品的销售价应定为多少元 此时每日销售利润是多少元 练习 1 如图是二次函数 2y ax bc的部分图象 由图象可知不等式 2ax bc 0的解集是 A 15 C x5 D 15 图 4 xy321 O图 3 xy0 5 2 教练对小明推铅球的录像进行技术分析 发现铅球行进高度 y m 与水平距离 x m 之间的关系为21 4 3yx 由此可知铅球推出的距离是 m 3 某一型号飞机着陆后滑行的距离 y 单位 m 与滑行时间 x 单位 s 之间的函数关系式是 y 60 x 1 5x 2 该型号飞机着陆后滑行 m 才能停下来 4 如图 济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁 抛物线的表达式为 y ax2 bx 小强骑自行车从拱梁一端 O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面 OC 当小强骑自行车行驶 10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同 则小强 骑自行车通过拱梁部分的桥面 OC 共需 秒 5 若矩形的周长为 1 则可求出该矩形面积的最大值 我们可以设矩形的一边长为 x 面积为 s 则 s 与 x 的函数关系式为 2sx0 利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值 5 如图有一座抛物线形拱桥 桥下面在正常水位是 AB 宽 20m 水位上升 3m 就达到警戒线 CD 这是 水面宽度为 10m 1 在如图的坐标系中求抛物线的解析式 2 若洪水到来时 水位以每小 时 0 2m 的速度上升 从警戒线开始 再持续多少小时才能 到拱桥顶 6 某商店经营儿童益智玩具 已知成批购进时的单价是 20 元 调查发现 销售单价是 30 元时 月销售 量是 230 件 而销售单价每上涨 1 元 月销售量就减少 10 件 但每件玩具售价不能高于 40 元 设每件 玩具的销售单价上涨了 x 元时 x 为正整数 月销售利润为 y 元 6 1 求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围 2 每件玩具的售价定为多少元时 月销售利润恰为 2520 元 3 每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大 最大的月利润是多少 7 已知抛物线 y ax 2 bx c 经过 A 1 0 B 3 0 C 0 3 三点 直线 l 是抛物线的对称轴 1 求抛物线的函数关系式 2 设点 P 是直线 l 上的一个动点 当 PAC 的周长最小时 求点 P 的坐标 3 在直线 l 上是否存在点 M 使 MAC 为等腰三角形 若存在 直接写出所有符合条件的点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 8 如图 抛物线 经过直线 与坐标轴的两个2yxbc 3yx 交点 A B 此抛物线与 轴的另一个交点为 C 抛物线顶点为 D 1 求此抛物线的解析式 2 点 P 为抛物线上的一个动点 求使 5 4 的点 P 的坐标ACS D 7 9 某工厂生产一种合金薄板 其厚度忽略不计 这些薄板的形状均为正方形 边长 单位 cm 在 5 50 之间 每张薄板的成本价 单位 元 与它的面积 单位 cm 2 成正比例 每张薄板的出厂价 单位 元 由基础价和浮动价两部分组成 其中基础价与薄板的大小无关 是固定不变的 浮动价与 薄板的边长成正比例 在营销过程中得到了表格中的数据 薄板的边长 cm 20 30 出厂价 元 张 50 70 1 求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式 2 已知出厂一张边长为 40cm 的薄板 获得的利润为 26 元 利润 出厂价 成本价 求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式 当边长为多少时 出厂一张薄板所获得的利润最大 最大利润是多少 参考公式 抛物线 y ax 2 bx c a 0 的顶点坐标为 2b4ac