二次函数知识点难点总结

1 二次函数难点总结 知识点利用二次函数解决实际问题 由于抛物线的顶点总是抛物线的最高点或最低点 故在顶点处函数取最大值或最 小值 因此对于某些与二次函数有关的牵涉到最大 小 值的实际问题 我们可将实 际问题抽象为二次函数的数学模型 求出二次函数的解析式 借助最值求法解决实 际问题 求解此类问题的一般步骤如下 1 列出二次函数解析式 2 结合实际意义 确定自变量的取值范围 3 求二次函数的最大值或最小值 4 解决实际问题 拓展点一求自变量的取值有一定范围的二次函数的最值 例 1 已知二次函数的图象 y ax2 bx c 0 x 3 如图所示 关于该函数在所给自 变量的取值范围内 下列说法正确的是 A 有最小值 0 有最大值 3 B 有最小值 1 有最大值 0 C 有最小值 1 有最大值 3 D 有最小值 1 无最大值 例题 1 为了落实国务院的指示精神 某地方政府出台了一系列 三农 优惠政 策 使农民收入大幅度增加 某农户生产经销一种农产品 已知这种产品的成本价 为每千克 20 元 市场调查发现 该产品每天的销售量 y 千克 与销售价 x 元 千克 有如下关系 y 2x 80 设这种产品每天的销售利润为 w 元 1 求 w 与 x 之间的函数解析式 2 该产品销售价定为每千克多少元时 每天的销售利润最大 最大利润是多少元 分析 1 根据销量乘以每千克利润等于总利润进而得出答案 2 利用二次函数最值求法得出 x b 2a 时 w 取到最值 进而得出答案 2 拓展点利用二次函数确定最大利润问题 例 3 某商店如果将进货价为 8 元的商品按每件 10 元售出 每天可销售 200 件 现在采用提高售价 减少进货量的方法增加利润 已知这种商品每涨价 0 5 元 其销 量就减少 10 件 1 要使每天获得利润 700 元 请你帮忙确定售价 2 问售价定在多少时能使每天获得的利润最多 并求出最大利润 解 1 设每件商品涨价 x 元 则每件利润为 10 x 8 x 2 元 每天销售量为 200 20 x 件 依题意 得 x 2 200 20 x 700 整理得 x2 8x 15 0 解得 x1 3 x2 5 把售价定为每件 13 元或 15 元能使每天利润达到 700 元 答 把售价定为每件 13 元或 15 元能使每天利润达到 700 元 2 设应将售价定为 x 元时 才能使每天获得的利润最大为 y 元 根据题意得 y x 8 20 x2 560 x 3 200 20 x2 28x 3 200 20 x2 28x 196 3 200 20 196 20 x 14 2 720 x 14 时 y 最大 最大值为 720 答 应将售价定为 14 元时 才能使每天获得的利润最大 最大利润为 720 元 拓展点利用二次函数解答运动路线或运动距离问题 例 4 立定跳远时 以小明起跳时重心所在竖直方向为 y 轴 假设起跳时重心与起 跳点在同一竖直方向上 地平线为 x 轴 建立平面直角坐标系 如图 则小明此跳 重心所走过的路径是一条形如 y 0 2 x 1 2 0 7 的抛物线 在最后落地时重心离 地面 0 3 m 假如落地时重心与脚后跟在同一竖直方向上 3 1 小明在这一跳中 重心离地面最高时距离地面多少米 此时他离起跳点的水平 距离有多少米 2 小明此跳在起跳时重心离地面有多高 3 小明这一跳能得满分吗 2 40 m 为满分 解 1 y 0 2 x 1 2 0 7 2 当 x 0时 y 0 2 0 1 2 0 7 0 5 小 明 此 跳 在 起 跳 时 重 心 离 地 面 有 0 5 m高 3 当 y 0 3时 0 3 0 2 x 1 2 0 7 解 得 x1 1 2 舍 去 x2 1 2 小 明 的 成 绩 为 1 2 m 1 2 2 4 小 明 这 一 跳 能 得 满 分 拓展点利用二次函数解决方案选择问题 例 5 某超市计划上两个新项目 项目一 销售 A 种商品 所获得利润 y 万元 与投资金额 x 万元 之间存在正比例函 数关系 y kx 当投资 5 万元时 可获得利润 2 万元 项目二 销售 B 种商品 所获得利润 y 万元 与投资金额 x 万元 之间存在二次函数 关系 y ax2 bx 当投资 4 万元时 可获得利润 3 2 万元 当投资 2 万元时 可获得利 润 2 4 万元 1 请分别求出上述的正比例函数解析式和二次函数解析式 2 如果超市同时对 A B 两种商品共投资 12 万元 请你设计一个能获得最大利润 的投资方案 并求出按此方案获得的最大利润是多少 解 1 销售 A 种商品 所获得利润 y 万元 与投资金额 x 万元 之间存在正比例 函数关系 y kx 当投资 5 万元时 可获得利润 2 万元 yA 0 4x 销售 B 种商品 所获得利润 y 万元 与投资金额 x 万元 之间存在二次函数关系 y ax2 bx 当投资 4 万元时 可获得利润 3 2 万元 当投资 2 万元时 可获得利润 2 4 万元 3 2 16 4 2 44 2 解 得 0 2 1 6 y B 0 2x2 1 6x 4 2 设投资 B 种商品 x 万元 则投资 A 种商品 12 x 万元 由 1 可知所获得的利润 W 0 2x2 1 6x 0 4 12 x 0 2 x 3 2 6 6 当 x 3 时 W 取最大值 投资 A B 两种商品的金额分别为 9 万元 3 万元 可获得最大利润 6 6 万元 例 2 把一张边长为 40 cm 的正方形硬纸板 进行适当的裁剪 折成一个长方体盒 子 纸板的厚度忽略不计 1 如图 若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形 将剩余部分折 成一个无盖的长方体盒子 要使折成的长方体盒子的底面积为 484 cm2 那么剪掉的正方形的边长为多少 折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值 如果有 求出这个最大值和此时剪 掉的正方形的边长 如果没有 说明理由 2 若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形 即剪掉的矩形至少有一条边在正方形 硬纸板的边上 将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子 若折成的一个长方体盒 子的表面积为 550 cm2 求此时长方体盒子的长 宽 高 只需求出符合要求的一 种情况 解 1 设剪掉的正方形的边长为 x cm 则 40 2x 2 484 即 40 2x 22 解得 x1 31 不合题意 舍去 x2 9 答 剪掉的正方形的边长为 9 cm 侧面积有最大值 设剪掉的小正方形的边长为 a cm 盒子的侧面积为 y cm2 则 y 与 a 的函数关系为 y 4 40 2a a 即 y 8a2 160a 8 a 10 2 800 8 0 y 有最大值 即当 a 10 时 y 最大 800 即当剪掉的正方形的边长为 10 cm 时 长方体盒子的侧面积最大为 800 cm2 2 设长方体盒子的高为 x cm 则长为 40 2x 宽为 20 x 表面积为 2 40 2x 20 x 2x 20 x 2x 40 2x 550 解得 x1 35 不合题意 舍去 x2 15 即长方体盒子的高为 15 cm 则长为 40 2x 40 2 15 10 cm 宽为 20 x 20 15 5 cm 此时长方体盒子的长为 10 cm 宽为 5 cm 高为 15 cm