第三章课后习题解答

3.4.1 质量为2kg的质点的运动学方程为 （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。解：, 为一与时间无关的恒矢量，质点受恒力而运动。F=(242+122)1/2=12N，力与x轴之间夹角为：3.4.2 质量为m的质点在o-xy平面内运动，质点的运动学方程为：，a,b,为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。证明：, 作用于质点的合力总指向原点。3.4.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为m1 ,m2,如图所示，m2和桌面间的摩擦系数为2，m1和m2间的摩擦系数为1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。解：以地为参考系，隔离m1、m2，其受力与运动情况如图所示，xym1gf1N1a1a2N2N1m2gFf1f2其中，N1=N1,f1=f1=1N1,f2=2N2，选图示坐标系o-xy，对m1,m2分别应用牛顿二定律，有 解方程组，得 要把木板从下面抽出来，必须满足，即m1m2F3.4.6在图示的装置中两物体的质量各为m1,m2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为，求在力F的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。f1N1m1gTaFN2m2gTaN1f1f2解：以地为参考系，隔离m1,m2，受力及运动情况如图示，其中：f1=N1=m1g，f2=N2=(N1+m2g)=(m1+m2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律：+可求得：CAB将a代入中，可求得：Tf1N1m1ga1Tf2N2m2ga2Tm3ga33.4.7在图示的装置中，物体A,B,C的质量各为m1,m2,m3，且两两不相等. 若物体A,B与桌面间的摩擦系数为，求三个物体的加速度及绳内的张力，不计绳和滑轮质量，不计轴承摩擦，绳不可伸长。解：以地为参考系，隔离A,B,C，受力及运动情况如图示，其中：f1=N1=m1g，f2=N2=m2g，T=2T，由于A的位移加B的位移除2等于C的位移，所以（a1+a2）/2=a3. 对A,B,C分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律：,联立，可求得：t(s)F(N)98203.4.12 沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示，火箭质量为2kg，t=0时处于静止，求火箭发射后的最大速率和最大高度（注意，推力大于重力时才启动）。解：根据推力F-t图像，可知F=4.9t（t20）,令F=mg，即4.9t=29.8，t=4s。因此，火箭发射可分为三个阶段：t=04s为第一阶段，由于推力小于重力，火箭静止，v=0,y=0；t=420s为第二阶段，火箭作变加速直线运动，设t=20s时，y = y1，v = vmax ； t20s 为第三阶段，火箭只受重力作用，作竖直上抛运动，设达最大高度时的坐标 y=y2.YY2Y10第二阶段的动力学方程为：F- mg = m dv/dt第三阶段运动学方程令v=0,由（1）求得达最大高度y2时所用时间（t-20）=32，代入（2）中，得y2-y1=5030 y2=ymax=5030+1672=6702(m)3.4.13抛物线形弯管的表面光滑，沿铅直轴以匀角速率转动，抛物线方程为y=ax2，a为正常数，小环套于弯管上。弯管角速度多大，小环可在管上任一位置相对弯管静止？若为圆形光滑弯管，情况如何？xymgNa解：以固定底座为参考系，设弯管的角速度为，小环受力及运动情况如图示：为小环处切线与x轴夹角，压力N与切线垂直，加速度大小a=2x，方向垂直指向y轴。在图示坐标下应用牛顿二定律的分量式：/得：tg=2x/g ；由数学知识：tg=dy/dx=2ax；所以，若弯管为半径为R的圆形，圆方程为：x2 + (R-y)2 = R2，即代入中，得： 3.5.1 小车以匀加速度a沿倾角为的斜面向下运动，摆锤相对小车保持静止，求悬线与竖直方向的夹角（分别自惯性系和非惯性系求解）。f*=maayxTW=mg解：（1）以地为参考系（惯性系），小球受重力W和线拉力T的作用，加速度a沿斜面向下，建立图示坐标o-xy,应用牛顿第二定律： 解得 （2）以小车为参考系（非惯性系），小球除受重力W、拉力T外，还受惯性力f*的作用(见上图虚线表示的矢量)，小球在三个力作用下静止，据牛顿第二定律： m1m2T Tf1* f2* a a1 a2 m1g m2g 解得 m1m2T Tf1* f2* a a1 a2 m1g m2g 3.5.2 升降机内有一装置如图示，悬挂的两物体的质量各为m1,m2且m1m2,若不计绳及滑轮质量，不计轴承处摩擦，绳不可伸长，求当升降机以加速度a（方向向下）运动时，两物体的加速度各是多少？绳内的张力是多少？ m1m2T Tf1* f2* a a1 a2 m1g m2g解：以升降机为参考系,隔离m1,m2,受力及运动情况如图示,T为绳中张力，f1*=m1a,f2*=m2a, a1=a2=a为m1、m2相对升降机的加速度.以向下为正方向，由牛顿二定律，有：解得：设m1、m2的加速度分别为a1、a2，根据相对运动的加速度公式，m1m2T Tf1* f2* a a1 a2 m1g m2g 写成标量式：，将a代入，求得：m1m2T Tf1* f2* a a1 a2 m1g m2gm1m2T Tf1* f2* a a1 a2 m1g m2gm1m2T Tf1* f2* a a1 a2 m1g m2gm1m2T Tf1* f2* a a1 a2 m1g m2gmgNf=0Nf*=m2r3.5.4摩托车选手在竖直放置圆筒壁内在水平面内旋转。筒内壁半径为3.0m，轮胎与壁面静摩擦系数为0.6，求摩托车最小线速度（取非惯性系做）解：设摩托车在水平面内旋转的最小角速度为，以摩托车本身为参考系，车受力情况如图示，运动状态静止。在竖直方向应用平衡条件，0N = mg 在水平方向应用平衡条件，N = m2 r /得：最小线速度 3.6.2一质量为m的质点在o-xy平面上运动，其位置矢量为：，求质点的动量。解：质点速度：质点动量：大小：方向：与x轴夹角为，tg= py/px = - ctgtb/a3.6.4 棒球质量为0.14kg,棒球沿水平方向以速率50m/s投来，经棒击球后，球沿水平成30飞出，速率为80m/s，球与棒接触时间为0.02s，求棒击球的平均力。 v解：以地为参考系，把球视为质点， 30 v0由动量定理，画出矢量图，由余弦定理，代入数据，可求得F=881N.由正弦定理 mv Ft ，代入数据， 30 求得 mv03.6.6质量m1=1kg, m2=2kg, m3=3kg, m4=4kg，m1, m2和m4三个质点的位置坐标顺次是：(x,y) = (-1,1), (-2,0), (3,-2)，四个质点的质心坐标是：(x,y)=(1,-1)，求m3的位置坐标。解：由质心定义式：，有m1X3.7.1 质量为1500kg的汽车在静止的驳船上在5s内自静止加速至5m/s,问缆绳作用与驳船的平均力有多大？（分别用质点系动量定理、质心运动定理、牛顿定律求解）Fxm1m2解：（1）用质点系动量定理解：以岸为参考系，把车、船当作质点系，该系在水平方向只受缆绳的拉力F的作用， 应用质点系动量定理，有Ft=m1vF=m1v/t=15005/5=1500N（2）用质心运动定理解：F=(m1+m2)ac ,据质心定义式，有：(m1+m2)ac=m1a1+m2a2 ， a1为车对岸的加速度，a1=(v-0)/t=v/t，a2为船对地的加速度，据题意a2=0，ac=a1m1/(m1+m2)，代入a1，ac=m1v/(m1+m2)t ，F=m1v/t=1500N（3）用牛顿定律解： a2=0 a1m2m1分别分析车、船两个质点的 F f f 受力与运动情况：其中f为静摩擦力，a1=v/t，对两个质点分别应用牛顿二定律：a2ax3.7.2汽车质量m1=1500kg，驳船质量m2=6000kg，当汽车相对船静止时，由于船尾螺旋桨的转动，可使船载着汽车以加速度0.2ms-2前进. 若正在前进时，汽车自静止开始相对船以加速度0.5ms-2与船前进相反方向行驶，船的加速度如何？解：用质心定理求解 车相对船无论静止还是运动，螺旋桨的水平推力不变，即车、船系统所受外力不变，由质心运动定理可知，车运动时的质心加速度与车静止时的质心加速度相等aC=0.2m/s2设车运动时相对船的加速度为a，相对地的加速度为a1，船相对地的加速度为a2，由相对运动公式： 由质心定义式可知：将代入中，可得：，取船前进方向为正，代入数据：m/s2用质点系动量定理求解 设船所受的水平推力为F，在车静止时，可把车、船当作质量为(m1+m2)的质点，加速度为a=0.2，由牛顿第二定律：设车运动时相对船的加速度为a，相对地的加速度为a1，船相对地的加速度为a2，由相对运动公式：对车、船应用质点系动量定理的导数形式：令=，,取船前进方向为正，代入数据：m/s23.7.5 70kg重的人和210kg重的小船最初处于静止，后来人从船尾向船头匀速走了3.2m停下来，问人向哪个方向运动，移动了几米？不计船所受的阻力。m1m2x解：以地为参考系，选图示坐标o-x,设人的质量为m1=70kg，人相对地的速度为v1，相对船的速度为v1，它们的方向显然与x轴同向；设船的质量为m2=210kg，船相对地的速度为v2，（方向显然与x轴相反）；据相对运动的速度变换公式，人对地的速度v1=v1+v2.由于不计水的阻力，所以在水平方向上，人与船构成的质点系动量守恒，有：m1v1+m2 v2=0，即 m1(v1+ v2)+m2 v2=0 ，可求得v2= - v1m1/(m1+m2)，将上式两边同时乘上相互作用时间t，v2t=s2为船相对地的位移，v1t=s1=3.2m，即s2 = - s1m1/(m1+m2) = - 3.270/(70+210) = - 0.8m3.7.6 炮车固定在车厢内，最初均处于静止，向右发射一枚弹丸，车厢向左方运动，弹丸射在对面墙上后随即顺墙壁落下，问此过程中车厢移动的距离是多少？已知炮车和车厢总质量为M，弹丸质量为m，炮口到对面墙壁的距离为L,不计铁轨作用于车厢的阻力。解：以地为参考系,建立图示坐标o-x，设弹丸出口时相对车的速度为 v, 对地的速度为v, 车后退的速度为V，据相对运动的速度变换公式，可知：v=v+VxLMvmV 由于不计路轨对车的摩擦 阻力，所以，在水平方向，弹、车组成的质点系动量守恒，有 MV+m v=0，将v代入，MV+m(v+V)=0，V= - vm/(m+M) 设弹发出到与车壁相碰所用时间为t，用t乘上式两边，得：Vt= - vt m/(m+M)，其中：vt= -L，Vt即为车在此过程中前进的距离S，S=Lm/(m+M) 3.8.1 一枚手榴弹投出方向与水平面成45，投出的速率为25m/s，在刚要接触与发射点同一水平面的目标时爆炸，设分成质量相等的三块，一块以速度v3铅直朝下，一块顺爆炸处切线方向以v2=15m/s飞出，一块沿法线方向以v1飞出，求v1和v3，不计空气阻力。 解：以地为参考系，把手榴弹视为质点系，由于在爆炸过程中，弹片所受的重力远远小于弹片之间的冲力，因而在爆炸过程中可忽略重力作用，认为质点系动量守恒。设手榴弹质量为m,爆炸前速度为v，由动量守恒，有：，投影方程： ，即解得： y v v2 v1 45 45 45 x v3 v3.8.3 三只质量均为M的小船鱼贯而行，速度都是v，中间一船同时以水平速度u(相对于此船)把两质量均为m的物体抛到前后两只船上，问当两物体落入船后，三只船的速度各如何？解：以岸为参考系， M v M v M v以船前进的方向为坐标 的正方向；设物体抛出 M+m v3 M-2m v2 M+m v1后，前边船、中间船、后边船的速度变为v1、v2、v3，船的质量与速度变化情况如上图所示；在物体抛出的过程中，这个系统的总动量是守恒的，因此：前边船的动量变化应该等于中间船抛过来的物体的动量，即(M+m)v1-Mv=m(u+v)，其中(u+v)是向前抛出物相对岸的速度，由此式可求得：v1=v+um/(m+M)，说明前边船速度变快。同样，后边船的动量变化也应该等于中间船抛过来的物体的动量，即 (M+m)v3-Mv=m(-u+v)=m(v-u)，其中（v-u）是向后抛出物相对岸的速度，由此式可求得：v3=v-um/(m+M)，说明后边船速度变慢。中间船的动量变化应该等于抛出物的动量之和，即(M-2m)v2-Mv=m(u+v)+m(v-u)，由此式可求得：v2=v，说明中间船的速度没有发生变化。8