高中物理解题中数学方法的应用

高中物理解题中数学方法的应用.中学物理考试大纲明确要求考生必须具备 ：“ 应用数学处理物理问题的能力 能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论，必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。”一、高考命题特点高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题.可以说任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题经过求解再次还原为物理结论的过程.二、数学知识与方法物理解题运用的数学方法通常包括几何(图形辅助)法、图象法、函数法、方程(组)法、递推法、微元法等. 比例法等1.几何的知识应用BOGFNFAC图1A1相似三角形法：相似三角形法通常寻找的是一个矢量三角形与一个几何三角形相似。利用相似三角形对应边的比例关系求解力的大小，特别是当几何三角形的边长己知时。【例1】 如右图1A所示，轻绳的A端固定在天花板上，B端系一重为G的小球，小球静止在固定的光滑大球表面上，己知AB绳长为l，大球半径为R，天花板到大球顶点的竖直距离AC=d,角ABO90。求绳中张力和大球对小球的支持力（小球直径忽略不计）【解析】选小球为研究对象，受到重力G、绳的拉力F和 GFNF图1B大球支持力FN的作用(如图1B示)。由于小球处于平衡状态，所以G、F、FN组成一个封闭三角形。根据数学知识可以看出三角形AOB跟三角形FGFN相似，根据相似三角形对应边成比例得F/L=G/(d+R)=FN/R解得 F=GL/(d+R) FN=GR/(d+R)讨论 由此可见，当绳长L减小时F变小，FN不变。2正弦定理（拉密定理）：如果在共点的三个力作用下，物体处于平衡状态，那么各力的大小分别与另外两个力夹角的正弦成正比。如右F3F1F2图2图2所示，表达式为： F1/Sin=F2/Sin=F3/Sin此法适用于三力构成的是锐角或钝角三角形。文字【例2】如图，船A从港口P出发支拦截正以速度沿直线航行的船B，P与B所在航线的垂直距离为，A船启航时，B船与P的距离为，如果略去A船启动时的加速过程，认为它一启航就做匀速运动，求：（1）A船能拦到B船的最小速率；（2）A船拦到B船时两船的位移解析：（1）设两船在C相遇在PBC中，式中当=900时，即跟PB垂直时，最小，最小速率为（2）拦到船时，A船位移为B船位移为答案：（1）（2）【练习】如图所示，临界角C为450的液面上有一点光源S发出一束光垂直人射到水平放置于液体中且距液面为d的平面镜M上当平面镜M绕垂直过中心O的轴以角速度做逆时针匀速转动时，观察者发现水面上有一光斑掠过则观察者观察到的光斑在水面上掠过的最大速度为多少? 解析：当平面镜M以角速度逆时针转动时，反射光线将以角速度2同向转动反射光线射到水面形成的光斑(应是人看到折射光线出射处)由S向左沿水面移动将其移动速度分解如图由图可知越大，OP越大，越大但当450时，反射光线OP将在水面上发生全反射观察者将看不到光斑，因此，当角非常接近450时观察者看到的光斑移动速度最大，其值为答案：【练习】 如图3所示，小球质量为m，置于倾角为的光滑斜面上，mgFNF图3悬线与竖直方向的夹角为，系统处于静止状态。求斜面对小球的支持力FN和悬线对小球的拉力F。【解析】 选小球为研究对象，小球受力如图所示，球受三个力作用而处于平衡状态。根据正弦定理得： F/sin(180)=FN/sin(180)=mg /sin(+) 即 F/sin=FN/sin=mg/sin(+) 所以 F=mgsin/sin(+) FN=mgsin/sin(+)3.圆的知识应用与圆有关的几何知识在物理解题中力学部分和电学部分均有应用，尤其带电粒子在匀强磁场中做圆周运动应用最多，其难点往往在圆心与半径的确定上，其方法有以下几种：(1)依切线的性质定理确定：从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点做切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径.(2)依垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦，并平分弦所对的弧)和相交弦定理(如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项)来确定半径：如图24-3.由BCCE（RC）得R也可用勾股定理得到：图24-3B（CC）B，R2（RC）B得，R.此两种求半径的方法，常用于带电粒子在匀强磁场中运动的习题中.MNBOv【例3】 如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解：由公式知，它们的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径，由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相距2r，由图还可看出，经历时间相差2T/3。答案为射出点相距，时间差为。关键是找圆心、找半径和用对称。OMNLAO【练习】圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的O处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿OO方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图所示，求OP的长度和电子通过磁场所用的时间。P解析 ：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O，半径为R。圆弧段轨迹AB所对的圆心角为，电子越出磁场后做速率仍为v的匀速直线运动， 如图4所示，连结OB，OAOOBO，又OAOA，故OBOB，由于原有BPOB，可见O、B、P在同一直线上，且OOP=AOB=，在直角三角形P中，OP=（L+r）tan，而，所以求得R后就可以求出OP了，电子经过磁场的时间可用t=来求得。 由得R=MNO,LAOR/2/2BPO/，2图象法物理图像能形象地表达物理规律、直观地描述物理过程、鲜明地表示物理量之间的相互关系.因此, 图像在中学物理中应用广泛，是分析物理问题的有效手段之一.高考考纲明确指出，必要时考生能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。在高考试题中对图像问题的考查主要集中在作图（即直接根据题目要求作图）、用图（包括从题给图像中获取信息帮助解题以及根据题意作出相关图像来帮助解题）两个方面。对作图题，在描绘图像时，要注意物理量的单位、坐标轴标度的适当选择及函数图像的特征等,特别要注意把相关物理量的数值在坐标轴上标示清楚.对用图题中要求从题给图像获取信息帮助解题类问题，要注意正确理解图像的内涵：如明确图像所代表的物理过程；弄清坐标所代表的物理量及其单位，进而弄清图线上各点读数的物理意义；弄清图线与坐标轴上的截距的物理意义；弄清图线与坐标轴所围面积的物理意义；弄清图线渐近线的物理意义；弄清图线上一些特殊点（如图线的拐点、端点、极值点及两条图线的交点等）的物理意义等.对用图题中要求根据题意作出相关图像来帮助解题类问题，要根据题意把抽象的物理过程用图线表示出来，将物理量间的代数关系转化为几何关系,运用图像直观、简明的特点，分析解决物理问题.高考解题方法指导：图象专题课时综述1“图”在物理学中有着十分重要的地位，它是将抽象的物理问题直观化、形象化的最佳工具。作为一种解决问题的方法，图解法具有简易、方便的特点，学习中应通过针对性训练、强化对图像的物理意义的理解，以达到熟练应用图像处理物理问题，熟能生巧的目的。2.中学物理常用的“图”有示意图、过程图、函数图、矢量图、电路图和光路图等。若题干和选项中已给出函数图，需从图像横、纵坐标所代表的物理意义，图线中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”等诸多方面寻找解题的突破口。即使题干和选项中没有出现函数图，有时用图象法解题不但快速、准确，而且还可以避免繁杂的中间运算过程，甚至可以解决用计算分析无法解决的问题。【例4】一位蹦床运动员仅在竖直方向上运动，弹簧床对运动员的弹力F的大小随时间t的变化规律通过传感器用计算机绘制出来，如图所示.重力加速度g取10m/s2,试结合图象，求运动员在运动过程中的最大加速度第14题图解：由图象可知，运动员的重力为mg500N 弹簧床对运动员的最大弹力为Fm2500N 由牛顿第二定律得Fmmgmam 则运动员的最大加速度为am40m/s2 （ 本题也可以求上升的最大高度）0123369P (W)I (A)cab【练习】某同学将一直流电源的总功率PE、输出功率PR和电源内部的发热功率Pr随电流I变化的图线画在了同一坐标上，如右图中的a、b、c所示。以下判断正确的是 （ ABC ）A. 直线a表示电源的总功率；B. 曲线c表示电源的输出功率；C. 电源的电动势e = 3 V，内电阻r = 1 W；D. 电源的最大输出功率Pm= 9w。【练习】质量相等的A、B两物体放在同一水平面上，分别受到水平拉力F1和F2的作用做匀加速直线运动。在t0和4t0时速度达到2v0和v0时，撤去F1和F2后，继续做匀减速运动直到停止，其速度随时间变化情况如图所示，若F1、F2做的功分别为W1和W2，F1、F2的冲量分别为I1和I2 , 则有 （ ）A、W1W2，I1I2 B、W1W2，I1I2 C、W1W2，I1I2 D、W1W2，I1I2解:由图可知,摩擦力f相同,对全过程, 由动能定理 W - fS=0 W= Fs S1 S2 W1W2 由动量定理 I - ft=0 I= ft t1 t2 I1I24t05t03t02t0t0tv2v0v00AB【练习】“神舟”六号飞船完成了预定的空间科学和技术实验任务后返回舱开始从太空向地球表面按预定轨道返回，返回舱开始时通过自身制动发动机进行调控减速下降，穿越大气层后，在一定的高度打开阻力降落伞进一步减速下落，这一过程中若返回舱所受空气摩擦阻力与速度的平方成正比，比例系数（空气阻力系数）为k，所受空气浮力恒定不变，且认为竖直降落。从某时刻开始计时，返回舱的运动vt图象如图中的AD曲线所示，图中AB是曲线在A点的切线，切线交于横轴一点B，其坐标为（8，0），CD是曲线AD的渐进线，假如返回舱总质量为M=400kg，g=10m/s2，求（1）返回舱在这一阶段是怎样运动的？（2）在初始时刻v=160m/s，此时它的加速度是多大？（3）推证空气阻力系数k的表达式并计算其值。【练习】用伏安法测一节干电池的电动势和内电阻，伏安图象如图5所示，根据图线回答：（1）干电池的电动势和内电阻各多大？（2）图线上a点对应的外电路电阻是多大？电源此时内部热耗功率是多少？图5（3）图线上a、b两点对应的外电路电阻之比是多大？对应的输出功率之比是多大？（4）在此实验中，电源最大输出功率是多大？命题意图：考查考生认识、理解并运用物理图象的能力B级要求错解分析：考生对该图象物理意义理解不深刻无法据特殊点、斜率等找出E、r、R，无法结合直流电路的相关知识求解解题方法与技巧：利用题目给予图象回答问题，首先应识图（从对应值、斜率、截面、面积、横纵坐标代表的物理量等），理解图象的物理意义及描述的物理过程：由U-I图象知E=15 V，斜率表内阻，外阻为图线上某点纵坐标与横坐标比值；当电源内外电阻相等时，电源输出功率最大（1）开路时（I=0）的路端电压即电源电动势，因此E=15 V，内电阻r= =02 也可由图线斜率的绝对值即内阻，有r= =02 （2）a点对应外电阻Ra= =04 此时电源内部的热耗功率Pr=Ia2r=25202=125 W，也可以由面积差求得Pr=IaE-IaUa=25(15-10) W=125 W（3）电阻之比：=输出功率之比：=（4）电源最大输出功率出现在内、外电阻相等时，此时路端电压U=E/2，干路电流I=I短/2，因而最大输出功率P出m= W=281 W当然直接用P出m=E2/4r计算或由对称性找乘积IU（对应于图线上的面积）的最大值，也可以求出此值3函数法（极值问题），数学方法包括（1）用三角函数关系求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式“和积不等式”的性质求极值。NFfmg【例5】物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为，物体重为G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F为多大？该题的已知量只有和G，说明最小拉力的表达式中最多只含有和G ，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F可由夹角的不同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到F与夹角有关的关系式再作分析。解：设拉力F与水平方向的夹角为，根据题意可列平衡方程式， 即由联立解得：,其中, vmgABCOLT【例6】：一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？ 解：当小球运动到绳与竖直方向成角的C时，重力的功率为：P=mg cos=mgsin小球从水平位置到图中C位置时，机械能守恒有：解可得：令y=cossin根据基本不等式，定和求积知：当且仅当，y有最大值结论：当时，y及功率P有最大值。t020V/m.s-1【练习】（作图法）从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用20秒，前进了50米。求这过程中汽车达到的最大速度。解：设最大速度为vm,即加速阶段的末速度为vm：画出其速度时间图象如右图所示，图线与t轴围成的面积等于位移。即：即：【练习】如图所示，光滑水平面上，质量为2m的小球B连接着轻质弹簧，处于静止；质量为m的小球A以初速度v0向右匀速运动，接着逐渐压缩弹簧并使B运动，过一段时间，A与弹簧分离，设小球A、B与弹簧相互作用过程中无机械能损失，弹簧始终处于弹性限度以内（1）求当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能E第18题图m2mABv0（2）若开始时在小球B的右侧某位置固定一块挡板(图中未画出)，在小球A与弹簧分离前使小球B与挡板发生正撞，并在碰后立刻将挡板撤走设小球B与固定挡板的碰撞时间极短，碰后小球B的速度大小不变、但方向相反。设此后弹簧弹性势能的最大值为，试求可能值的范围解：（1）当A球与弹簧接触以后，在弹力作用下减速运动，而B球在弹力作用下加速运动，弹簧势能增加，当A、B速度相同时，弹簧的势能最大设A、B的共同速度为v，弹簧的最大势能为E，则A、B系统动量守恒，有 由机械能守恒 联立两式得 （2）设B球与挡板碰撞前瞬间的速度为vB，此时A的速度为vA系统动量守恒 B与挡板碰后，以vB向左运动，压缩弹簧，当A、B速度相同（设为v共）时，弹簧势能最大，有 由两式得 联立式，得 当弹簧恢复原长时与小球B挡板相碰，vB有最大值vBm，有 联立以上两式得vBm 即vB的取值范围为 结合式知，当vB时Em有最大值为Em1 当vB时，Em有最小值为Em2 4.方程法物理习题中，方程组是由描述物理情景中的物理概念，物理基本规律，各种物理量间数值关系，时间关系，空间关系的各种数学关系方程组成的.列方程组解题的步骤(1)弄清研究对象，理清物理过程和状态，建立物理模型.(2)按照物理情境中物理现象发生的先后顺序，建立物理概念方程，形成方程组骨架.(3)据具体题目的要求以及各种条件，分析各物理概念方程之间、物理量之间的关系，建立条件方程，使方程组成完整的整体.(4)对方程求解，并据物理意义对结果作出表述或检验.【例7】如图所示，竖直固定的光滑绝缘的直圆筒底部放置一场源A，其电荷量Q = 4103 C，场源电荷A形成的电场中各点的电势表达式为，其中k为静电力恒量，r为空间某点到A的距离有一个质量为m = 0.1 kg的带正电小球B，B球与A球间的距离为a = 0.4 m，此时小球B处于平衡状态，且小球B在场源A形成的电场中具有的电势能表达式为，其中r为q与Q之间的距离有一质量也为m的不带电绝缘小球C从距离B的上方H = 0.8 m处自由下落，落在小球B上立刻也小球B粘在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动，它们向上运动到达的最高点P（取g = 10 m/s2，k = 9109 Nm2/C2），求：（1）小球C与小球B碰撞后的速度为多少？（2）小球B的带电量q为多少？（3）P点与小球A之间的距离为多大？（4）当小球B和C一起向下运动与场源A距离多远时，其速度最大？速度的最大值为多少？解：（1）小球C自由下落H距离的速度v0 = = 4 m/s小球C与小球B发生碰撞，由动量守恒定律得：mv0 = 2mv1，所以v1 = 2 m/s（2）小球B在碰撞前处于平衡状态，对B球进行受力分析知：，代入数据得：C（3）C和B向下运动到最低点后又向上运动到P点，运动过程中系统能量守恒，设P与A之间的距离为x，由能量守恒得：代入数据得：x = (0.4) m（或x = 0.683 m）（4）当C和B向下运动的速度最大时，与A之间的距离为y，对C和B整体进行受力分析有：，代入数据有：y = m（或y = 0.283 m）由能量守恒得：代入数据得：（或vm = 2.16 m/s）【练习】如图所示，ABC为光滑轨道，AB部分呈水平状态，BC部分为半径为R的半圆环，整个装置处于竖直平面内。AB上静止一个质量M=0.99千克的木块，一颗质量为0.01千克的子弹以400米/秒的水平速度打入木块且不穿出，然后沿轨道运动到半圆最高点，要使木块平抛的水平位移最大，半圆环BC的半径应多大？最大水平位移多大？（g取10m/s2）(1R=0.2m Smax=0.8m ) 5. 递推法、凡涉及数列求解的物理问题具有多过程、重复性的共同特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，是一种变化了的重复，随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着“前后有联系的变化”.该类问题求解的基本思路为：(1)逐个分析开始的几个物理过程(2)利用归纳法从中找出物理量的变化通项公式(是解题的关键)，最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律解决物理问题；无穷数列的求和，一般是无穷递减等比数列，有相应的公式可用.【例8】如图所示，n个相同的木块(可视为质点)，每块的质量都是m，从右向左沿同一直线排列在水平桌面上，相邻木块间的距离均为l，第n个木块到桌边的距离也是l,木块与桌面间的动摩擦因数为开始时，第1个木块以初速度0向左滑行，其余所有木块都静止，在每次碰撞后，发生碰撞的木块都粘在一起运动最后第n个木块刚好滑到桌边而没有掉下(1)求在整个过程中因碰撞而损失的总动能(2)求第i次(in一1)碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比(3)若n= 4，l=0.10 m，0一3.0ms，重力加速度g=10 ms2，求的数值解：(1)整个过程木块克服摩擦力做功 w=mgl +mg2l +mgnl= 根据功能关系，整个过程中由于碰撞而损失的总动能为 Ek =Ek0一W 得 (2)设第i次(in一1)碰撞前木块的速度为i，碰撞后速度为i，则 (i +1)mi=imi 碰撞中损失的动能E时与碰撞前动能Eki之比为 (in-1) (in-1) (3)初动能 第1次碰撞前 第1次碰撞后 = 第2次碰撞= 第2次碰撞后=第3次碰撞前 = 第3次碰撞后 =据题意有 带人数据，联立求解得 =015 6、微元法微元法就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一微元加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量。【例9】如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：A 0焦耳 B 20焦耳 C 10焦耳 D 20焦耳解： 分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故W=FS，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F2R=102J=20J，故B正确。【例10】在光滑的水平面上,有一竖直向下的匀强磁场，分布在宽度为L 的区域内, 现有一边长为d (dL 的正方形闭合线框以垂直于磁场边界的初速度v0滑过磁场，则线框在滑进磁场时的速度是多少?v0 d L解:设线框即将进入磁场时的速度为v0,全部进入磁场时的速度为vt将线框进入的过程分成很多小段,每一段的运动可以看成是 速度为vi 的匀速运动, 对每一小段，由动量定理: f1t=B2 L2 v0t /R = mv0 mv1 （1） f2t=B2 L2 v1t /R = mv1 mv2 （2）f3t=B2 L2 v2t /R = mv2 mv3 （3）f4t=B2 L2 v3t /R = mv3 mv4 （4） fnt=B2 L2 vn-1t /R = mvn-1 mvt （n）v0t+ v1t + v2t + v3t + vn-1t + vnt =d 将各式相加，得B2 L2 d /R = mv0 mvt【练习】 半径为r的均匀带电圆环，电量为+q， 求在其轴线上距环心O距离为x的一点p的场强方向 ？分析：可将带电圆环看作由n个点电荷组成的，任意点电荷都能找到与之对称的另一点电荷，这两个点电荷在p点产生的电场强度的矢量和的方向沿轴线方向。所以，p点的电场强度的方向必沿轴线且由o指向p。7、比例法比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化.应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，清楚公式的物理意义，每个量在公式中的作用，所要讨论的比例关系是否成立.同时要注意以下几点：(1)比例条件是否满足：物理过程中的变量往往有多个.讨论某两个量比例关系时要注意只有其他量为常量时才能成比例.(2)比例是否符合物理意义：不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系，要注意每个物理量的意义(例：不能据R认定为电阻与电压成正比).(3)比例是否存在：讨论某公式中两个量的比例关系时，要注意其他量是否能认为是不变量，如果该条件不成立，比例也不能成立.(例在串联电路中，不能认为中，P与R成反比，因为R变化的同时，U随之变化而并非常量)【例11】如图1所示电路中，R=10欧，滑动变阻器RW的最大阻值为20欧，U=6伏。当滑动片p从a滑至b时，电压表示数如何变化？分析：电压表测的是R两端的电压，要知电压表示数变化范围，首先要画出滑片p在a和b时的等效电路，分别求出电压表在这两种情况下的示数。p在a时的等效电路如图甲所示，因RW被短路，所以RW接入电路的电阻为零，这时电压表示数即为电源电压，p在b端的等效电路见图乙，这时RW与R串联，RW接入电路的电阻为它的最大值20欧。p在a端时，UR=6伏，p在b端时，因为R与RW串联，所以R与RW两端的电压UR、UW的关系是 ，当U=6伏时， ，因此当p从a滑至b时电压表示数变化为6伏至2伏。说明：在p在b端时的解法，也可应用比例式 来求解，所以 UR=2伏。 【练习】列车从车站出发做匀加速直线运动，一位旅客站在站台上列车的最前端，测得第一节车厢经过他的身旁的时间是4秒，假设各节车厢长度相同且不计车厢连接处的长度，则第9节车厢经过他的身旁所用的时间是多少？（0.68秒）16