全等三角形辅助线系列之二---中点类辅助线作法大全

1 13 全等三角形辅助线系列之二 与中点有关的辅助线作法大全 一 中线类辅助线作法 1 遇到三角形的中线 可以倍长中线 使延长线段与原中线长相等 构造全等三角形 通过全等 将分散的条件集中起来 利用的思维模式是全等变换中的 旋转 2 遇到题中有中点 可以构造三角形的中位线 利用中位线的性质转移线段关系 3 遇到三角形的中线或与中点有关的线段 如果有直角三角形 可以取直角三角形斜边的中点 试图构造直角三角形斜边的中线 利用斜边中线的性质转移线段关系 典型例题精讲 例 1 如图 已知在 中 是 边上的中线 是 上一点 延长 交 于 ABC DBEADBEACF 求证 AFE E FE D CB A G FE D CB A 解析 延长 到 使 连结ADGAD G BC C BEAF 又 FEF BG A 例 2 如图 在 中 交 于点 点 是 中点 交 的延长线于点 C DBEBCEFAD CF 交 于点 若 求证 为 的角平分线 EFF A F G E D CB A H A F G B E D C 2 13 解析 延长 到点 使 连结 FEHEF BH 在 和 中C BFE BH C FBG 而GEA AF 又 ED CDFBAD CB 为 的角平分线 例 3 已知 为 的中线 的平分线分别交 于 交 于 求证 AAB ABECF BEF FE A B D C FE N A B D C 解析 延长 到 使 连结 FDNF N 易证 B C 又 的平分线分别交 于 交 于 A AEF 90E 利用 证明 SDNEF 在 中 B BC 例 4 如图所示 在 中 是 的中点 垂直于 如果 ACDMN22BMCND 求证 2214DB NM D CB A E NM D CB A 3 13 解析 延长 至 使 连接 NDEN EBMN 因为 则 BCD DEC 从而 而 故 因此 90M 22ME 即 则 即 22BE E 90B 因为 故 则 D 90B A 为 Rt 斜边 上的中线 故 AC 12DC 由此可得 22214A 例 5 在 中 是斜边 的中点 分别在边 上 满足 若RtABC FBECAB90DFE 则线段 的长度为 3D 4EDE 图 6 G E FD BC A 解析 如图 延长 至点 使得 联结 DFGDF GBE 由 有AB 3 180GEC 9B 25 又 DFD 例 6 如图所示 在 中 延长 到 使 为 的中点 连接 ABC A BDAB ECE 求证 C2E E D CB A F A B C D E G A B D E C 4 13 解析 解法一 如图所示 延长 到 使 CEFCE 容易证明 从而 而 故 EBFA BABDFB 注意到 CD 故 而 公用 故 F 因此 2FE 解法二 如图所示 取 的中点 连接 GB 因为 是 的中点 是 的中点 GCDBAD 故 是 的中位线 从而 BA 12CAE 由 可得 故 CBG 从而 E 2E 例 7 已知 ABCD 是凸四边形 且 E F 分别是 AD BC 的中点 EF 交 AC 于 M EFACBD 交 BD 于 N AC 和 BD 交于 G 点 求证 MN H A B C DE F MNG GNM F E D CB A 解析 取 AB 中点 H 连接 EH FH EH BD AED B12EHD GNMHE FC FH AC 12A GMNHE ABD FGNM 例 8 在 中 以 为底作等腰直角 是 的中点 ABC 90 12ACBBCD E 求证 且 E E E D C BA F A B C E D 5 13 解析 过 作 交 于EFBC DF135AE 4 135 又 EFBC 2 12ACB A ED 又 90DBE C 故 A 且 例 9 如图所示 在 中 为 的中点 分别延长 到点 ABC DABCABEF 使 过 分别作直线 的垂线 相交于点 设线段 的中点DEF CPAPB 分别为 求证 MN 1 2 P P FE D C BA HG P FE D C BA 解析 1 如图所示 根据题意可知 且 DMBN 且 DNA 所以 P 而 分别是直角三角形 的斜边的中点 MAEP F 所以 ENFBD 又已知 D 从而 2 由 1 可知 则由 可得 AMNB AMEBNF 而 均为等腰三角形 AMEBNF 所以 P 6 13 例 10 已知 如图四边形 中 分别是 和 的中点 ABCDB EFABCDAEF 的延长线分别交于 两点 求证 BCMNAMN A CD M F E N B A H CD M F E N B 解析 连接 取 中点 连接 ACHFEH 同理 DF 12D 12 12C BE HM C A HFBNEAMBNE 例 11 已知 在 中 动点 绕 的顶点 逆时针旋转 且 C AADBC 连结 过 的中点 作直线 直线 与直线 分别相交于点 DBFDBCM N F 图3图2图1 F N M D C E BA N M D C E BA H F N D M C E BA 1 如图 1 当点 旋转到 的延长线上时 点 恰好与点 重合 取 的中点 连DCNFCH 结 根据三角形中位线定理和平行线的性质 可得结论 不需证明 HEF N 2 当点 旋转到图 2 或图 3 中的位置时 与 有何数量关系 请分别写出猜AM BE 想 并任选一种情况证明 解析 图 2 图 3 AMNB 180FEN 证明 在图 2 中 取 的中点 连结 CH 是 的中点 是 的中点FDA HA 1 MFE 同理 ECB 2NB DFHHAMF 7 13 证明图 3 的过程与证明图 2 过程相似 H A BE CD M N F H A BE C D M N F 例 12 如图所示 是 内的一点 过 作 于 PABC PCB PC 于 为 的中点 求证 PLBC DDML LPM D C BA FE LPM D C BA 解析 如图所示 取 的中点 连接 APBEFEFL 则有 且 且 DE 12 DP 12 因为 和 都是直角三角形 M L 故 从而 12 FLM 又因为 EPE FPFL 而 且 所以 2ALBEDEDFL 从而 故 D 例 13 如右下图 在 中 若 为 边的中点 求证 C2CAB C 2ABE ED CB A F A B D E C 解析 如右下图 则取 边中点 连结 ACFF 由中位线可得 且 为 斜边上的中线 12E C RtA F 又 即 DF 2E 8 13 DFE 12DEFAB 2DE 例 14 如图 中 是 中点 与 交于ABC 90C BCDF EAB 与 交于 求证 F A B CD E F F E D CB A 解析 连结 AD BC 90 45 是 中点 且AD B EF 90 BA 在 与 中 DE FDB45AFB DEAF C 例 15 在 ABCD 中 过点 D 作 且 连接 EF EC ABEF AB N P 分别为 EC BC 的中点 连接 NP 1 如图 1 若点 E 在 DP 上 EF 与 DC 交于点 M 试探究线段 NP 与线段 NM 的数量关系 及 ABD 与 MNP 满足的等量关系 请直接写出你的结论 2 如图 2 若点 M 在线段 EF 上 当点 M 在何位置时 你在 1 中得到的结论仍然成立 写出你确定的点 M 的位置 并证明 1 中的结论 图 1 A B C D P E F N M 图 2 A B C D P E F N M 1 3 24 P N A E F C D B 解析 1 180AD 2 点 M 是线段 EF 的中点 或其它等价写法 证明 如图 分别连接 BE CF 9 13 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC AB DC ADCB ABDC BD BC EFEF 即 BDC EDF 又 由 得 BDE CDF EF12 N P 分别为 EC BC 的中点 NP EB 12NPEB 同理可得 MN FC 12MNFC M NP EB 4P 4EC MN FC 321 148080NENNPDBCBDAB 1AMP 例 16 在 Rt ABC 中 点 D 在边 AC 上 不与 A C 重合 连9A 1tan2C 结 BD F 为 BD 中点 1 若过点 D 作 DE AB 于 E 连结 CF EF CE 如图 1 设 则 k FE 2 若将图 1 中的 ADE 绕点 A 旋转 使得 D E B 三点共线 点 F 仍为 BD 中点 如图 2 所示 求证 2BECF 3 若 点 D 在边 AC 的三等分点处 将线段 AD 绕点 A 旋转 点 F 始终为 BD 中6 点 求线段 CF 长度的最大值 BCADEFBDEFCBC1图 2图 备 图 解析 1 k 10 13 2 如图 2 过点 C 作 CE 的垂线交 BD 于点 G 设 BD 与 AC 的交点为 Q 由题意 1tanBA 12DEA D E B 三点共线 AE DB QC 90C QBCE AG 90AG ABCG BE 12BD F 是 BD 中点 F 是 EG 中点 在 中 RtCG 12 2BEGCF 3 情况 1 如图 当 时 取 AB 的中点 M 连结 MF 和 CM 3AD 且 90B 1tan2C 6 12C65 M 为 AB 中点 3 13ADC 4A M 为 AB 中点 F 为 BD 中点 2FM 当且仅当 M F C 三点共线且 M 在线段 CF 上时 CF 最大 此时 235CFM 情况 2 如图 当 时 取 AB 的中点 M 连结 MF 和 CM 23AD 类似于情况 1 可知 CF 的最大值为 435 综合情况 1 与情况 2 可知当点 D 在靠近点 C 的 三等分点时 线段 CF 的长度取得最大值为 435 2图 BDEAFCGQAMFCBADFCMB 11 13 12 13 课后复习 作业 1 如图 中 是中线 求证 ABC A DDACB FE D CB A G FE D CB A 解析 延长 到 使 连结 ADE E 在 和 中C B ADCB AEE 在 中 B AB 作业 2 在 中 点 为 的中点 点 分别为 上的点 且RtABC 90 DCEFABC 以线段 为边能否构成一个三角形 若能 该三角形是锐角三角形 EDF EF 直角三角形或钝角三角形 FE D CB A G A E B D C F 解析 延长 到点 使 连结 FDGF G 在 和 中C B DFG BC BD 90A 在 和 中EDF G 13 13 90EDFG E 故以线段 为边能构成一个直角三角形 BFC 作业 3 是 的中线 是 的中点 的延长线交 于 求证 ADBC FADBFACE13AC F A D E CB F A D E G CB 解析 取 的中点 连接 易得 ECGDGE 为 的中点 所以 从而可证得 FAA 13A 作业 4 如图 在五边形 中 为 的中点 求BCE90ED BCEAD FC 证 E DFC B A NM E DFC B A 解析 取 中点 中点 连结 则根据直角三角形斜边中线的性ACMDNMN 质及中位线的性质有 12FAE 12AB A N NFC B 同理可证 B DE AEDN ME 即 F BF BF