弦振动的误差分析

弦振动中误差的研究实验目的：（1） 研究弦振动中砝码的重力与绳子拉力之间的关系，测量砝码重力在多大范围内是和绳子张力相等的；（2） 研究弦振动中频率的改变对绳子张力和密度的影响，算出它们的误差。实验原理：如图（1）实验时在和间接上弦线（细铜丝），使弦线绕过定滑轮结上砝码盘并接通正弦信号源。在磁场中，通有电流的弦线就会受到磁场力（称为安培力）的作用，若细铜丝上通有正弦交变电流时，则它在磁场中所受的与电流垂直的安培力，也随着正弦变化，移动两劈尖（铜块）即改变弦长，当固定弦长是半波长倍数时，弦线上便会形成驻波。移动磁钢的位置，使弦振动调整到最佳状态（弦振动面与磁场方向完全垂直），使弦线形成明显的驻波。此时我们认为磁钢所在处对应的弦“O”为振源，振动向两边传播，在铜块A、B两处反射后又沿各自相反的方向传播，最终形成稳定的驻波。为了研究问题的方便，认为波动是从A点发出的，沿弦线朝端方向传播，称为入射波，再由端反射沿弦线朝端传播，称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉，移动劈尖到适合位置弦线上的波就形成驻波。这时，弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。驻波形成如图（2）所示。图（2）设图中的两列波是沿X轴相向方向传播的振幅相等、频率相同振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，它们的合成驻波用粗实线表示。由图可见，两个波腹间的距离都是等于半个波长，这可从波动方程推导出来。下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点 “O”，且在X0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：Y1Acos2p(ftx/ l)Y2Acos2p (ftx/)+ p式中A为简谐波的振幅，f为频率，l为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：Y1 Y22Acos2p（x/ l）+p/2Acos2pft 由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为2A cos2p（x/ l）+p/2 |，与时间无关t，只与质点的位置x有关。由于波节处振幅为零，即：cos2p（x/ l）+p/2 |02p（x/ l）+p/2(2k+1) p / 2 ( k=0. 2. 3. ) 可得波节的位置为： xkl /2 而相邻两波节之间的距离为：xk1xk (k1)l/2kl / 2l / 2 又因为波腹处的质点振幅为最大，即 cos2p（x/ l）+p/2 | =12p（x/ l）+p/2 kp ( k=0. 1. 2. 3. L L) 可得波腹的位置为： x(2k-1)l/4 这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节或相邻两波腹间的距离，就能确定该波的波长。在本实验中，由于固定弦的两端是由劈尖支撑的，故两端点称为波节，所以，只有当弦线的两个固定端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为：Lnl / 2 ( n=1. 2. 3. )由此可得沿弦线传播的横波波长为： l2L / n 式中n为弦线上驻波的段数，即半波数。 根据波速、频率及波长的普遍关系式：Vlf，将式代入可得弦线上横波的传播速度：V2Lf/n 另一方面，根据波动理论，弦线上横波的传播速度为：V(T/)1/2 式中T为弦线中的张力，为弦线单位长度的质量，即线密度。再由式可得 f =（T/）1/2（n/2L）得 由式可知，当给定T、L，频率f只有满足以上公式关系，且积储相应能量时才能在弦线上有驻波形成。实验步骤1、 连接实验装置。2、 测量弦线线密度。测出弦线的质量及其长度。根据，计算弦线密度。3、 测圆柱半径，用游标卡尺测量其直径，多次测量求平均值。4、 观测频率和绳子张力之间的关系（1）取质量为50g的砝码挂于弦线的另一端，然后调节频率，调节劈尖的位置，得到稳定的驻波。分别测量波节N=1，N=2，N=3时，劈尖与圆柱底面圆心的距离。当频率大于130Hz时，取N=1，N=3，N=5. （2）改变频率f从80Hz到150Hz,砝码质量不变，重复上述步骤（1），并记录数据。5、 观测砝码质量mg与张力之间的关系 调节频率为100Hz，砝码质量从10g到200g时调节劈尖的位置得到稳定的驻波，测量当N=1，N=2，N=3时，劈尖与圆柱底面圆心的距离。注：当砝码质量为15g时，取N=2，N=3，N=4.6、 整理数据并处理实验数据及处理（一） 砝码质量对绳子张力和密度的影响： 1、的测量 弦线 质量=0.42、弦振动实验装置圆柱的半径直径114.54114.4114.36114.645.72如下表:表中M为砝码的质量，N为波节数目，为波节长度，为波长的平均值，为绳子的密度，为绳子拉力的平均值， 绳子密度 绳子张力N=1N=2N=3(N)/%/%1016.223.73150970.3842102.043.953.9615N=2N=3N=419.270.3958148.481.050.9919.3229.0238.3225.424.7237.0724.7160.4074244.351.851.864516.6733.0249.4233.040.4039436.570.971.0155.218.4636.8255.1236.80.3994541.6960.150.1375.321.2242.4263.7342.460.4093721.032.322.3485.522.9546.1168.6245.890.3978842.480.550.54106.551.0677.0251.230.39761049.890.60.5820135.5271.0871.070.38992020.182.522.49注：仅当M=15g时，波节数目为特殊情况。其图像如下所示：（见下页）（二）振动频率对绳子密度和张力的影响：N=1N=2N=3(N)/%/%8021.5243.6366.643.920.397493.820.750.79019.2639.0258.9939.090.394495.081.51.0210017.3134.6653.1235.030.399490.840.170.1711016.0332.0247.831.950.397494.070.820.8212014.7328.8343.5329.030.4037485.420.920.94N=1N=3N=5(N)/%/%13013.541.0267.5427.120.394498.271.451.3114012.6736.8761.5624.730.4087479.602.172.5215011.6022.8234.3022.910.415472.253.723.76其图表如下图所示：在实验过程中我们发现，一方面，当固定振动的频率，改变砝码的质量。若砝码的质量过小，几乎是15g左右时，基本上无法研究，实验现象不明显，振动特别不稳定。但是，一旦砝码质量大于20g时，实验现象就明显了很多，而且绳子的张力与砝码的质量误差基本保持在2.5%以下，尤其是50g到100g之间时，误差基本保持在1%左右，可以说是非常小的。因此，我们在以后的实验过程中，只要砝码的质量大于40g往上，基本都是可取的。另一方面，当固定砝码质量为50g时，我们通过改变频率来观测对绳子密度和拉力的影响。实验发现，70Hz以前的频率是基本上不能测试的，绳子的振动非常不稳定。因此，我们在实验过程中频率选在从80Hz到150Hz,由实验结论和实验图表可得：改变振动频率产生的实验误差是先减小到100Hz后又增大，因此在以后进行实验时，频率选在100Hz时，误差最小。还有一个特殊现象，当频率过大，大于130Hz时，会出现一个特殊现象，当波节数目为偶数时，振动特别不稳定，劈尖到滑轮处也会出现微小的波节。而且，本来出现的两个波节会慢慢的合成一个波节，合成后的波节长度几乎和原来两个波节的长度相等，且振动幅度特别大，但是当出现奇数波节时，则不会出现这种情况，实验现象也相对稳定。这对实验带来了难度，因此，我们为了避免这种情况，减小实验误差，测量时，我们只选取奇数波节时的波节长度，这样，得出的结论就相当准确。当然，由于实验室的实验仪器本身用于教学，不属于研究器材，因此，实验精度本身就不是很高，所以所测的实验数据也不是非常精确，导致实验出现误差，当然这个误差是无法避免的。同时，在测量波节长度l时，用于人肉眼原因，测量的数据相对也会出现偏差。实验心得 这次实验中，我们组成员分工明确，齐力配合，取得的成绩非常明显。实验过程中，由于实验数据的巨大性，我们走了不少弯路，经过小组成员讨论，查阅资料，然后以严谨的态度测量每一组实验数据，终于，功夫不负有心人。我们终于得出了绳子拉力和砝码重力的关系，以及砝码的重力在什么情况下和绳子的张力近乎相等。同时，也研究了圆柱震动频率和绳子的张力及密度之间的关系，实验结论效果相当明显。通过本次实验，我们体验到团队合作的重要性和必要性。没有队友的努力，根本不会有我们今天的成绩，当然，还有指导老师的指导，老师在我们都比较迷茫的时候给我们指了一条方向，实验才有了实质性的进展。在此，衷心感谢老师。 小组组长：於佩 组员：刘祥 王宝林 李佳 杨懿 2012-5-10