数学论文--古典概型

古典概型中样本空间的选取数学与应用数学专业学生 张媛媛指导教师 徐伟摘要：在古典概型计算中由于样本点总数的计算必须在已经确定的样本空间进行，如何选取适当的样本空间是研究古典概型的首要问题。即使为同一问题，考虑的角度不同，得到的样本空间也不同。如果对古典概型的样本空间只作抽象的描述，不便于真正理解不同问题样本空间的联系和区别，以至于在求事件概率时，选取错误的样本空间，滥用古典概型公式，论文正是基于这一目的，在正确思路和有关基础理论的基础上，通过对典型的例子进行研究，分析其一般原则和最佳样本空间的构思，通过结构对称压缩法构造恰当的样本空间，选择最佳的样本空间，简化古典概率的求解。关键词：古典概型 概率 样本空间 排列组合 The selecting of sample space in the classical probability modelStudent majoring in Mathematics and Applied Mathematics Zhang Yuanyuan Tutor XuweiAbstract: In the classical probability model，the calculation of the sample points must be conducted in sample space what have been identified .How select the appropriate sample space of classical probability model .Even for the same problem. Only for the abstract description about sample space in the probability model .Due to the different research questions，Sample space is also different. It is difficult to understand the links and differences between the different sample space .When seeking the probability of something will lead to selection the wrong sample space and abuse sample space .The purpose of this paper is based on the correct ideas and theories about the underlying .By studying about typical example to analyze the general principles and best sample space. Construct the appropriate sample space by a symmetrical compression method to choose the best sample space and simplify the solution of classical probability model .Key words: classical probability model; probability; sample space; 引言 古典概型是概率论中最重要的内容之一，在概率论中占有很重要的地位。古典概型的求解包含两个步骤：第一步：选取适当的样本空间，使它满足有限和等可能的要求， A是为的某个子集；第二步：先计算样本点总数n，然后计算事件的有利场合数m。如何构造样本空间是古典概型解题首要问题。随着科学技术的进步，概率论在科学中得到越来越广泛的应用。样本空间在概率学习中往往被忽视，但是它的选取在问题解决中至关重要，本文避开在其构造中可能会出现的总总错误，只在正确思想的前提下，通过举例说明样本空间的选取在解题过程中的重要性。1 古典概型变量古典概型也叫创痛概率，其定义是由法国数学家拉普拉斯提出的。如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，而且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。1.1古典概型的起源众所周知，最先吸引数学家研究的赌博问题就是分赌本问题：甲乙两人赌技相同，各出赌资500元。约定谁先胜3局谁就拿走1000元。现在赌了三局，甲两胜一负，因故要中止赌博，问这1000元要如何分才公平？有人认为按已胜的局数分，即甲拿三分之二，乙拿三分之一，但是这样分是不合理的，因为设想继续赌下去，结果无非以下四种：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。把已赌过的三局与此对照，可以看出，对前三个结果，都是甲先胜三局，因而得1000元，只有最后一个结果乙才得1000元，在赌技相同的情况下，这四个结果出现的可能性相等，即甲乙最终获胜的可能性之比为3：1，所以全部赌本按这个比例来分，即甲分750元，乙分250元才算公平合理。1.2古典概型的判断一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。2 古典概型的计算2.1样本空间的选择 古典概型的习题大多是求随机事件A的概率，求解包含两个步骤：首先选取适当的样本空间，使它满足有限性和等可能性，且把A表示为的某个子集；然后计算样本点总数和时间的有利场合数m。在第二部中要计算需要动用排列组合方法，但是排列组合具有技巧性和灵活性，给人难做的印象，下面则通过一些典型的例子具体讨论重视第一步，即选择适当的样本空间的重要意义。例1 袋子里有a只黑球，b只白球，一次随机摸取一个球，求第k次（1ka+b）摸出黑球的概率。 解 方法一：球依次被摸出，知道摸完为止，这就是把（a+b）个球全排列，所以这样样本点总数为（a+b）！，有利场合数为a（a+b-1）！，所以p（）=a（a+b-1）！(a+b)!=a（a+b）。 方法二：我们换一个角度看问题，即从球的角度观察哪个球第k次出现，一共有（a+b）个球，也就是一共有（a+b）总可能，有利场合数有a个，所以p（）=a（a+b）。 第一个方法用排列组合的方法，方法二没有。显然，方法二更简单一些。虽然方法一是最容易想到的，但是方法二也是比较容易掌握和理解的。到底两种方法的区别和联系在哪呢？其实就是选取的样本空间有所不同。方法二的样本空间为第k次摸出球的全部可能结果，这个样本空间是最小的，所以计算的步骤简化了例2 包括甲乙在内的n个人随机站成一圈，甲乙相邻的概率是多少？解 把这个问题看成圆周排列的一个应用，但是在这里不选择这种方法。设甲已经先坐好，再考虑乙的坐法。乙总共有(n-1)个位置都是等可能的，而有利场合有2个，即所求的概率为2 （n-1）。 把上述解法作细致的分析，即我们取样本空间=,。表示乙坐在甲左边第i个位置上，满足有限和等可能的要求，用事件A表示的子集,. 对于例2这样选取的样本空间是最小的，而且不使用排列组合。而其他方法解题选取的样本空间只会比这大，且解法复杂。 例3 有mn个球，一个是黑色，一个是白色，其余的都是红色，把这mn个球随意 的放进m个袋中，每个袋子放n个球。求黑色球和白色球放在同一个袋中的概率。解 如果此题用计算排列组合的方法去解，是很困难的。但是如果用类似前面例题的 方法来解答就容易多了，首先要注意题目所描述的条件等价于随机的把mn个球依次排列，只要我们注意黑球白球的位置。假设黑球已经先放好，那么白球的可能位置一共有(mn-1)个，而有利场合数，即白色球落入黑球所在的袋子，有（n-1）个，即所求概率为(n-1)（mn-1）。例4 任意选取一正整数，求该数的平方被5整除的概率。解 须注意到不能把全体正整数作为此题的样本空间，这样的空间是无限的，所以不是等可能的。所以首先要进行分析，正整数的平方能不能被5整除取决于此正整数的末位数，即它们可以是0，19这十个数中的一个。任取一个正整数的含义就是十个数字出现的可能性是相等的。即选取样本空间=0,1,29。所求概率事件A=0,5，即P（A）=。以上我们就是通过几个例题了解适当选择样本空间的重要性。 2.3典型例题解析对于同一个问题，样本空间也可以有不同的取法。而且在计算时应该要注意基本事件的总数和有利场合数的计算要在一个样本空空间中进行。例1 在一个盒子中有十个相同的球，分别标记为1,2，10，从中任意选取一球，则此球的号码是偶数的概率。解法一：若选择样本空间S=1,2，10，则基本事件的总数为n=10，A=选取球的号码为偶数，事件A的基本事件数m=5，因此p（A）=解法二：设A=所取的球号码为偶数，B=所取球的号码为奇数，所选取的样本空间为S=A，B，由A,B的对称性可得P(A)=例2 袋子中有a个黑球，b个白球，把球随机的摸出来（一次摸一个不放回），直到袋子中剩下的球相同，求剩下的球都是黑球的概率。解：假设摸球直到全部摸完为止，则“最后全剩下的为黑球”（事件A）和“最后摸出的为黑球”（事件B）为同一问题，可以继续这样思考：如果到最后全剩下黑球（A发生），最后摸出的必是黑球（B发生，所以AB）;反之，若最后摸出的为黑球（B发生），则最后剩下的同颜色球必包含这最后一个球，即剩下的球必是黑球（A发生，即BA）。所以这两个事件是相等的。事件B也就是在低（a+b）此摸出黑球，概率为2.3 对称压缩法在古典概型中，对等的事件发生的概率的相等的。对于结构处于完全对称和平等地位的事件，发生的概率应该是相同的，而且这样不但可以很大幅度的成倍的压缩样本空间，并且可以甩开繁琐的排列组合，从而简化计算的过程和步骤，达到事半功倍的效果。这种通过对称性成倍压缩样本的方法叫做对称压缩法。因为在古典概型中的可能性决定了在这个模型中的事件具有对称性。其优点是可以抛开种种纠缠不清的关系，直接得到结果。例1 袋子中有a个白球和b个黑球，每次从袋子里任意取出的球不再放回去，连续取出个球（a+b），求第次取出的为白球的概率。解 方法一： 设A为所求事件，把a个白球和b个黑球看作不同，而且考虑拿球的顺序，此时试验可以看成把a+b个球进行排列。则样本空间为a+b个球的所有的全排列组成，所以总样本点数有（a+b）！个，则第个位置为白球的排列法有a（a+b-1）!个，所以P（A）= 方法二： 把a个白球和b个黑球看作不相同，把试验看成观察第次选取的球的结果，则这个球是平等对称的，因为每个球第次被摸到的可能性是相同的，压缩样本空间后的总样本点数为（）个，则第个位置为白球的放置方法仅仅有种，所以P（A）= 这道题解释的抽签原理，抽签的结果与抽签的先后顺序无关，因此对于所有的人都是公平的，而且，这道题的结论有助于解类似的相关题目。例2 掷一枚均匀硬币2+1次，求出现正面多于反面的概率。 解 设A=正面数反面数，B=反面数正面数，投掷次数为奇数，所以A=，此外由于硬币是均匀的，投掷是随机的，故A，B是对称平等的，由对称性可知P（A）=P(B),所以P(A)= 此题利用事件本身的对称性简化计算过程。例3 在线段AB上任意取3个不同的点，。求位于之间的概率。解 设=位于之间，=位于之间， 位于之间，事件中任意两个事件之间是互斥的，所以取只有3个样本点的样本空间=，即所求事件P()=。 此题为无限样本空间问题在古典概型中的求解提供了一种思路，使得解法简洁、自然。例4 将标号为1、2、3、4的四个小球任意的排成一排，求1号球排在2号的右边（不一定相邻）的概率解 由于1号球不是排在2号球的右边就是排在2号球的左边，二者必居其一。而交换1号球和2号球的位置其左右也正好发生交换，所以排在左边与排在右边的排法是相同的，各占其中的，所以1号球的右边的概率是（当然1号球排在2号球的左边的概率也是）2.4 样本空间减小法在古典概型中，有一种重要的概率：条件概率。在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率P(B|A)的计算方法有两种：（1） 定义法在原样本空间中先计算P（A），P（AB）再按照P(B|A)=来计算其概率。（2） 样本空间缩小法考虑在事件A发生的条件下，原样本空间 缩小为子事件A，在缩小之后的新的样本空间中再计算B发生的概率，即P(B|A)= 利用方法2计算的条件概率P（B|A）仅需要用事件A的范围来考查事件B的发生概率，从而，这样样本空间就减小到了最小。这种利用条件概率的特殊性来缩小样本空间的方法称为样本空间缩小法，这种方法能使计算变得简单、巧妙。例1 盒子中装有2-1个黑球和2个白球，从中任取个球，结果都是同一颜色的球，球这些球都是白球的概率。解 设A=抽取的个球为白球，B=抽取的个球为同一颜色，AB，则所求的概率为P（A|B）方法一 在原有的样本空间中，考虑P(A|B)=,P(AB)=,然后计算P（A|B）=例3 同时掷两颗骰子，计算出现点数之和为偶数的概率。方法一：若选取样本空间S=（1,1）（1,2）（1,6） （2,1）（2,2）（2,6） （6,1）(6,2)（6,6）基本事件的总数为n=36，设A=出现点数之和为偶数，事件A的基本事件数m=18，所以P=(A)=方法二：试验的结果为（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），则样本空间为S=（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），样本总数为n=4，则事件A=出现点数之和为偶数中含有基本事件数m=2，即P(A)= 方法三：把试验的结果取（出现的点数之和为奇数），（出现的点数之和为偶数），样本空间S=（出现的点数之和为奇数），（出现的点数之和为偶数），样本总数n=2，而事件A=出现的点数之和为偶数，所包含事件数为m=1，因此P=此题说明，即使是同一个问题，样本空间的选取不同，解法也会不同，难易程度也会不一样，计算效果就会不同。选取的样本空间越小，计算也就会越简单。例2 袋子中有个白球，b个红球，k个人依次在袋子中抽取一个球：（1）作放回抽样；（2）作不放回抽样，计算第i（i=1,2k）个人抽到白球（事件A）的概率。（ka+b）解 (1)在放回抽样情况下，有P(B)= (2)在不放回抽样的情况下， 解法一：每个人各抽取一个球，每一种取法就是一个基本事件，则基本事件共有(a+b)(a+b-1)（a+b-k+1）=个，又因为每个基本事件的可能性是相同的，所以当事件B发生时，第i人取的应该是白球，当然它可以是a个白球中的任意一个，共有a钟抽取方法，则其余的k-1个球可以是a+b-1个球中的任意k-1个，总共有，因此P(B)= 解法二：选取样本空间为第k此取出球的全部可能结果（形象的说，不从摸球的角度看待问题，而是从球的角度看待问题，即哪一个球第k此被摸到），也就是说，把（a+b）个球编号，前a个球是白球，后b个球是红球，样本空间为S=,表示第i=k次摸到第i号球，可见每一个球都有可能在第k次被摸到，且被摸到的可能性是相同的。则要求的事件B=概率P= 2.4 事件对等转化法 两个事件相等，它们的概率也是相等的，所谓的对等事件转化法就是利用了这一性质，当事件A的样本空间样本点的总数不但庞大而且复杂难求时，与之相等的另外一个事件B样本空间却比较小而且比较好求时，可以巧妙地将之进行对等转化，把求事件A的概率转化成求事件B的概率。一、 古典概型在公式计算中分子分母应对等古典概型计算公式为P(A)=，n为有限样本空间包含的样本点个数，m为相同的样本空间中的事件A所包含的样本点的个数，而且各样本点是等可能发生的。因为每一个事件的解题方法千变万化，样本空间就会千变万化，假若先找出样本空间，再去求事件个数的做法显然比较麻烦。但是如果事件A与作为样本空间的总事件做法相同，它们就一定在相同的样本空间。这样可以先求出样本空间的个数，再用相同的做法求事件做法的个数。例1 一个口袋中装有大小相同的2个红球、3个黑球、4个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回，连续摸球2次，求第一次摸出黑球和第二次摸出白球的概率。从袋子中一次摸出2个球共有种可能，第一次摸出的为黑球，第二次的为白球有种可能，所求概率为二、 两个事件相等，它们的概率也是相等的，所谓的对等事件转化法就是利用了这一性质，当事件A的样本空间样本点的总数不但庞大而且复杂难求时，与之相等的另外一个事件B样本空间却比较小而且比较好求时，可以巧妙地将之进行对等转化，把求事件A的概率转化成求事件B的概率。例1 二人掷一枚均匀硬币，其中甲掷n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数的概率。 此题的情况比较多，它的对立事件的情况也比较多，正面解答 特别麻烦，但是如果我们巧妙地利用对称性就能容易的解决问题，下面就利用对称性进行解答。 解 设，则-（）=（）=（)有硬币的均匀性知和具有对称性，即P（）=P(),又P（）+P（）=1，即P（）=0.5例2 袋子中有1个黑球和9个白球，它们除了颜色不同之外都相同，现在由10个人依次摸出一个球，设第一个人摸出的是黑球的概率为，设第10个人摸出的球的颜色是黑球概率为，这种情况下和是什么关系？分析：此类题一般用乘法公式计算，但是如果注意到题中的对称性用来解题，则可以轻而易取的得出结果。解 题中第1个人和第10个人是有顺序的，但是球是没有顺序的，固定第1个人和第10个人，让球排列，则是对称的，所以=.由于第29个人取到黑球与后面的人取什么球没有关系，所以同理可得.又由于，所以=例3 袋子中有a个白球，b个红球，从中逐个取出不放回，则第k次取得白球的概率是多少？解 显然ka+b，对a个白球编号为1,2，a，则白球就有了区别，同上一题一样，第k次取得1号白球的概率为，同理取到2a号白球的概率也为，所以第k次取得白球的概率是. 致谢 本论文完成之际，我要由衷感谢徐伟老师在课题设计和论文写作上的悉心指导，同时对所有帮助过我们的老师和同学致以谢忱.参考文献：1 茆诗松，程依明，濮晓龙，概率论与数理统计教程M.北京：高等教育出版社，20042 邓天炎，叶留青，概率统计M.徐州：中国矿业大学出版社，2004.3 魏宗舒，概率论与数理统计教程M.北京：高等教育出版社，1983.4 复旦大学编.概率论M.人民教育出版社，1979.5 何声武，概率论与数理统计M.经济科学出版社，1991.7